1、3.1 数列的概念 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 3.1 数列的概念双基研习面对高考 双基研习面对高考 1数列的概念按一定次序排列的一列数叫做数列数列中的每一个数叫做这个数列的_数列可以看作一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2,3，n)的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列_它的图象是_基础梳理 项函数值一群孤立的点数列an的第n项an与项数n的关系若能用一个公式anf(n)给出，则这个公式叫做这个数列的_2数列的性质(1)有界性：若存在正数A，使得|an|A，则称数列an是有界数列(2)单调性通项公式递增数列：数列an中，恒有_；递减数列：数列an中，恒有an1an(n
2、N*)；摆动数列：数列an中，有时_，有时anan1anan1(nN*)an1an(nN*)3数列的前 n 项和数列的前 n 项和 Sna1a2an，且下列关系成立anS1 n1SnSn1 n2.4递推公式如果已知数列an的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的_公式递推思考感悟(1)an与an有何关系？(2)一个数列的通项公式是否唯一？提示：(1)an与an是两个不同的概念，an表示数列a1，a2，a3，an，而an只表示数列an中的第n项(2)不一定，有的数列通项公式唯一，有的数列有多个通项公式，有的数列没有
3、通项公式课前热身 1(教材例 2 改编)数列32，83，154，245，的一个通项公式是()Aann21n Bann121n1Can(1)n1n22nn1Dan(1)nn121n1答案：C2已知a01，a13，aan1an1(1)n，(nN*)，则a3等于()A33 B21C17 D10答案：A3已知an1an2，则数列an是()A递增数列B递减数列C常数列D摆动数列答案：B4如果数列an的前n项和为Sn2n21，则an_.答案：3 n14n2 n25在数列an中，a11，a2nan110，则此数列的前 2012 项之和为_答案：1004考点探究挑战高考 考点突破 由数列的前几项写数列的通项公
4、式 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想参考教材例2.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)0.8,0.88,0.888，；(2)12，14，58，1316，2932，6164，；(3)32，1，710，917，；(4)0,1,0,1，.例1【思路分析】(1)循环数借助于10n1来解决(2)正负号交叉用(1)n或(1)n1来调节，这是因为n和n1奇偶交错(3)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系(4
5、)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法解决【解】(1)将数列变形为89(10.1)，89(10.01)，89(10.001)，an89(1 110n)(2)各项的分母分别为 21,22,23,24，易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1项变为232，至此原数列已化为21321，22322，23323，24324，an(1)n2n32n.(3)将数列统一为32，55，710，917，对于分子 3,5,7,9，是序号的 2 倍加 1，可得分子的通项公式为 bn2n1，对 于 分 母 2,5,10,17，联 想 到 数 列1,4,9,16，即数列n2，可
6、得分母的通项公式为 cnn21，可得它的一个通项公式为 an2n1n21.(4)an0 n为奇数1 n为偶数，又 01212，11212，也可为 an11n2.若考虑到三角函数的特征，此数列的通项公式也可以写为 ansin2n12或 an1cosn2(nN*)【领悟归纳】(1)借助(1)n 或(1)n1来解决项的符号问题(2)当项为分式的数列时，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系(3)对较复杂的数列通项公式的探求，可借助熟知的数列，如n2，1n，2n，(1)n等以及等差数列、等比数列和其他方法来解决已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大致分两类：一类是根据前
7、几项的特点归纳猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系式，用代数的一些变形技巧整理变形，然后采用累差法、累乘法、迭代法、换元法或转化为基本数列(等差或等比数列)等方法求得通项由数列递推关系求通项公式 根据下列条件，确定数列an的通项公式(1)a11，ann1n an1(n2)；(2)Sn3n2.例2【思路分析】(1)转化后利用累乘法求解(2)利用anSnSn1(n2)【解】(1)ann1n an1(n2)，an1n2n1an2，a212a1.以上(n1)个式子相乘得ana11223n1n a1n1n.(2)Sn3n2，当 n1 时，a1S11；当 n2 时，anSnSn
8、13n2(3n12)23n1.显然 n1 时不适合上式an1 n1，23n1 n2，且nN*.【误区警示】an与Sn的关系式anSnSn1的使用条件是n2，求an时切勿漏掉n1的情况互动探究(1)a11，anan 1n1(n2)(2)Sn123n132.求通项公式解：(1)由 anan1n1(n2)可得 a2a11a3a22a4a33anan1n1以上 n1 个等式相加得ana1123(n1)an1nn12(nN*)(2)Sn123n132当 n1 时，S1a1129323.当 n2 时，anSnSn1123n132(123n32)3n，适合 n1.an3n.数列可看成自变量为N*(或其子集)
9、的函数，函数的某些性质如单调性、最值等，数列同样适用数列的性质 若数列an的通项公式为 an5(25)2n24(25)n1，数列的最大项为第 x项，最小项为第 y 项，求 xy 的值例3【思路探究】观察到(25)2n2 与(25)n1是平方关系，故考虑结合二次函数的知识解决问题【解】an5(25)2n24(25)n15(25)n124(25)n1，设 t(25)n1，n10，0|an|(n1,2，)”是“an为递增数列”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件例真题透析【解析】由an1|an|可得an1an.an是递增数列“an1|an|”是“an为递增数列”的
10、充分条件当数列an为递增数列时，不一定有an1|an|，如：3，2，1,0,1，.“an1|an|”不是“an为递增数列”的必要条件【答案】B【名师点评】本题以“充要条件”的知识考查数列的单调性质，设计新颖，难度不大，只要理解数列的递增性质an1an，此题就容易得出答案，否则就错选为C.1数列an满足a11，a23，an1(2n)an(n1,2，)，则a3等于()A15 B10C9 D5解析：选A.由a2(2)a1，可得23，解得1，a3(221)315，故应选A.名师预测 2已知数列an中，a167，an 12an 0an12，2an1 12an1，则 a2012 等于()A.37B.47C
11、.57D.67解析：选 C.由递推公式可得 a167，a257，a337，a467，a2012a36702a257.3某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图甲、乙、丙、丁为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为_解析：本题考查归纳推理根据所给图形的规律，f(1)1，f(n1)f(n)4n，由累加法可得f(n)2n22n1.答案：f(n)2n22n14已知数列an是递增数列，且对于任意的nN*，ann2n恒成立，则实数的取值范围是_解析：由数列an是递增数列，得anan1对于nN*恒成立，即n2n2n1.而2n13，3.答案：(3，)本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
