1、8.2 双曲线 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 8.2 双曲线双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理F2(c,0)F2(0,c)A2(a,0)A2(0，a)yabx思考感悟1.在双曲线的第一定义中，如果常数2a|F1F2|,2a|F1F2|,2a0时，则动点M的轨迹分别是什么？提示：如果2a|F1F2|，则M的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；如果2a|F1F2|，则轨迹不存在；如果2a0，则M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线2双曲线的离心率e的大小对双曲线的“开口”大小有什么影响？提示：双曲线的离心率是描述双曲线“开口”大小的一个重要数据，由 eca1 可推出 e 越大，双曲线的
2、“开口”就越开阔课前热身1(课后习题改编)双曲线x24 y23 1 的两条准线间的距离等于()A.6 77 B.8 77C.185D.165答案：B答案：D2双曲线x210y22 1 的焦距为()A3 2B4 2C3 3D4 3答案：A3已知方程 x21k y21k1 表示双曲线，则 k 的取值范围是()A1k0Ck0 Dk1 或 k15双曲线x2ky21的一条渐近线的斜率是2，则k的值为_4若双曲线的渐近线方程为 y3x，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的方程为_答案：x2y291答案：14考点探究挑战高考 考点突破 双曲线的定义 双曲线的第一定义是到两定点的距离差的绝对值为常数(小于两
3、定点间距离)时，才表示双支曲线，若无“绝对值”就只表示一支曲线；第二定义中，定点和定直线是一组对应关系参考教材例1、3.已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程【思路分析】利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解例1【解】如图所示，设动圆 M 的半径为 r，则由已知|MC1|r 2，|MC2|r 2，|MC1|MC2|2 2.又 C1(4,0)，C2(4,0)，|C1C2|8，2 20，b0)由题意，得2a6，ba32.解得 a3，b92.所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为x29 y28141.同理，可求焦点
4、在 y 轴上的双曲线的方程为y29x241.因此所求双曲线方程为x29 y28141或y29 x24 1.法二：设双曲线方程为x24 y29(0)当 0 时，2 46，94.此时双曲线的方程为x29 y28141；当 0，b0)的右焦点，P 为双曲线 C 右支上一点，且位于 x 轴上方，M 为左准线上一点，O 为坐标原点，已知四边形 OFPM为菱形(1)求双曲线 C 的离心率 e；(2)若经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交双曲线于 A，B两点，且|AB|12，求此时的双曲线方程例3【思路分析】(1)由双曲线的第二定义得到关于离心率e的方程，解出即可(2)设出双曲线方程和直线方程，联立，然后
5、利用弦长公式求解【解】(1)由于四边形 OFPM 是菱形，故|OF|PF|c，作出双曲线的右准线交 PM 于点 H，则|PM|PH|2a2c.所以离心率 e|PM|PH|OF|c2a2ccc2a2cc2c22a2 e2e22.整理得 e2e20，解得 e2 或 e1(舍)，故所求双曲线的离心率为 2.(2)由 e2 得 c2a，又 c2a2b2，故 b23a2，双曲线方程为x2a2 y23a21.设 P 的横坐标为 x0，由于四边形 OFPM 是菱形，即|PF|PM|c2a.得 x0a2c 2a，即 x032a.将其代入双曲线方程得32a2a2 y23a21.解得 y 152 a.即 P(32
6、a，152 a)kOP 153.故直线 AB 的方程为 y 153(x2a)将直线 AB 的方程代入到双曲线方程中得 4x220ax29a20.由|AB|12，得1159 20a4 24294 a212.解得 a1，则 b23.故所求双曲线方程为 x2y23 1.【思维总结】要解决双曲线中有关离心率或求离心率范围的问题，应找出题中的等量关系或不等关系，构造出离心率 eca的关系式，然后求解方法技巧方法感悟1用待定系数法求双曲线方程是最常用的方法如例 2.(1)若双曲线的渐近线方程是 ybax，则双曲线方程可表示为x2a2y2b2t(t0)(2)与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)共焦点的双
7、曲线方程可表示为 x2a2k y2b2k1(b2k0)或 Ax2By21(ABb0)有共同焦点的双曲线方程可表示为 x2a2 y2b21(b20，b0)的渐近线方程为x2a2y2b20，即xayb0 或 ybax.失误防范1区分双曲线中的a，b，c与椭圆中的a，b，c之间的关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.2双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e(0,1)3两条双曲线的渐近线的交点就是双曲线的中心焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 b.3双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程是 ybax，y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程是 yabx.4若利用弦长公式计算
8、，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况5直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点考向瞭望把脉高考 考情分析高考重点考查双曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与双曲线的位置关系等内容，注重对创新能力和综合解题能力的考查近几年高考题对双曲线知识的考查以选择题、填空题和解答题的形式都有呈现，其根源在于双曲线是由两支构成的且有两条渐近线，在考查“双基”能力时更具灵活性和技巧性，这也要求对基础知识的掌握应准确、灵活、完整、系统2010年的高考中，大纲全国卷文8理9对双曲线的定义和焦
9、点三角形进行考查，大纲全国卷及重庆卷等以解答题的形式对双曲线的方程，直线与双曲线的关系等综合能力进行考查，难度较大预测2012年高考会从以下几个方面来命题：(1)运用双曲线的定义解决双曲线上一点到焦点的距离，焦点弦(过焦点的弦)等有关问题，双曲线的定义仍将是考查的重点；(2)灵活运用双曲线的几何性质解决离心率、渐近线问题，也是考查的重点，有关离心率的问题将会是一个热点；(3)以双曲线为载体的结合其它曲线的综合推理问题，也成为高考的热点规范解答(本题满分 12 分)(2010 年高考重庆卷)已知以原点 O 为中心，F(5，0)为右焦点的双曲线 C 的离心率 e 52.(1)求双曲线 C 的标准方
10、程及其渐近线方程；(2)如图，已知过点 M(x1，y1)的直线 l1：x1x4y1y4 与过点 N(x2，y2)(其中 x2x1)的直线 l2：x2x4y2y4 的交点 E 在双曲线 C 上，直线 MN 与双曲线的两条渐近线分别交于 G、H 两点，求OG OH 的值例【解】(1)设 C 的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则由题意得 c 5，eca 52，因此 a2，bc2a21，C 的标准方程为x24 y21.2 分C 的渐近线方程为 y12x，即 x2y0 和 x2y0.4 分(2)如图，由题意知点 E(xE，yE)在直线 l1：x1x4y1y4 和 l2：x2x4y2y4 上，
11、因此有 x1xE4y1yE4，x2xE4y2yE4，故点 M、N 均在直线 xEx4yEy4上，因此直线 MN 的方程为 xEx4yEy4.6 分已知 G、H 分别是直线 MN 与渐近线 x2y0 及 x2y0 的交点，由方程组xEx4yEy4，x2y0，及xEx4yEy4，x2y0，解得xG4xE2yE，yG2xE2yE，xH4xE2yE，yH2xE2yE.8 分故OG OH 4xE2yE4xE2yE2xE2yE2xE2yE12x2E4y2E.10 分因为点 E 在双曲线x24 y21 上，所以 x2E4y2E4.所以OG OH 12x2E4y2E3.12 分【名师点评】本题主要考查了用双曲
12、线的性质求双曲线的标准方程，渐近线方程，直线与双曲线的位置关系与向量知识，考查了学生运算推理能力，难度较大第(1)问相对来说难度较低，目的是让考生用基本知识可以解决，是本题的起点第(2)问中，求MN的方程是突破口，关键是理解l1与l2的特征，单独这一点来看，也是基础问题，也成为考生解决本题的难点名师预测已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 3，右准线方程为 x 33.(1)求双曲线 C 的方程；(2)设直线 l是圆 O：x2y22 上动点 P(x0，y0)(x0y00)处的切线，l 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，证明AOB 的大小为定值解：(1)由题意，得a2c
13、33，ca 3，解得 a1，c 3，b2c2a22.所求双曲线 C 的方程为 x2y22 1.(2)证明：点 P(x0，y0)(x0y00)在圆 x2y22 上，切线方程为 x0 xy0y2.由 x2y22 1x0 xy0y2，及 x20y202，得(3x204)x24x0 x82x200.切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，且 0 x200.设 A、B 两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则 x1x2 4x03x204，x1x282x203x204，cosAOB OA OB|OA|OB|，且OA OB x1x2y1y2x1x21y20(2x0 x1)(2x0 x2)x1x212x2042x0(x1x2)x20 x1x282x203x20412x204 8x203x204x2082x203x204 82x203x20482x203x2040，AOB2为定值本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
