1、河北省张家口市宣化区宣化第一中学2020届高三模拟（三）考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则A. B. C. 1D. 3. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号如图是折扇的示意图，A为OB的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面扇环部分的概率是A. B. C. D. 4. 设，则A. B. C. D. 5. 若两个非零向量，满足，且，则与夹角的余弦值为A. B. C. D. 6. 函
2、数在的图象大致为A. B. C. D. 7. 在如图所示的程序框图中，如果，程序运行的结果S为二项式的展开式中的系数的3倍，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是 A. ？B. ？C. ？D. ？8. 为了解学生课外使用手机的情况，某学校收集了本校500名学生2019年12月课余使用手机的总时间单位：小时的情况从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图已知这50名学生中，恰有3名女生课余使用手机的总时间在，现在从课余使用手机总时间在的样本对应的学生中随机抽取3名，则至少抽到2名女生的概率为A. B. C. D. 9. 在等差数列中，为其前n项和若，且，则等于A. B
3、. C. D. 10. 已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为A. B. C. D. 11. 已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的体积是A. B. C. D. 12. 已知函数的定义域是R，对任意的，有当时给出下列四个关于函数的命题：函数是奇函数；函数是周期函数；函数的全部零点为，；当时，函数的图象与函数的图象有且只有4个公共点其中，真命题的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若实数x、y
4、满足，则的最大值为_14. 已知数列的前n项和为，且满足，则_15. 设函数，若为奇函数，则过点且与曲线相切的直线方程为_16. 已知双曲线C：的右顶点为A，以点A为圆心，b为半径作圆，且圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若为坐标原点，则双曲线C的标准方程为_三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且若，求c的大小；若，且C是钝角，求面积的大小范围18. 如图，在空间几何体ABCDE中，均是边长为2的等边三角形，平面平面ABC，且平面平面ABC，H为AB的中点证明：平面EBC；求二面角的正弦值19. 某大型公司为了切实保障员工的健
5、康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验669人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验669次方案二：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次这时认为每个人的血化验次：否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这时该组k个人的血总共需要化验次假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立设方案二中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列
6、设，试比较方案二中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？最后结果四舍五入保留整数20. 已知抛物线的焦点为F，x轴上方的点在抛物线上，且，直线l与抛物线交于A，B两点点A，B与M不重合，设直线MA，MB的斜率分别为，求抛物线的方程；当时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标21. 已知函数当时，讨论极值点的个数；若函数有两个零点，求a的取值范围22. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为求经过椭圆C右焦点F且与直线l垂直的直线的极坐标
7、方程；若P为椭圆C上任意一点，当点P到直线l距离最小时，求点P的直角坐标23. 已知函数求不等式的解集；若函数图象的最低点为，正数a，b满足，求的取值范围答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合或，故选：C先求出集合A，B，由此能求出本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】A【解析】解：由题意可得，解得又，则，故选：A由已知列式求得m，再由商的模等于模的商求解本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题3.【答案】C【解析】解：不妨设，扇形中心角为此点取自扇面扇环部分的概率故选：C利用扇形的面积计算公式即可得出本题考查了扇形的面积计
8、算公式、几何概率计算公式考查了推理能力与计算能力，属于基础题4.【答案】A【解析】【分析】本题考查对数函数和指数函数的性质，属于基础题利用对数函数和指数函数的性质，找到合适中间量即可求解【解答】解：由指、对函数的性质可知：，故选A5.【答案】D【解析】解：根据题意，设与的夹角为若，则，变形可得，又由，则有又由，则有，变形可得：故选：D根据题意，设与的夹角为由，可得，又由由可得，将代入，变形可得的值，即可得答案本题考查向量数量积的计算，属于基础题6.【答案】D【解析】解：，函数为奇函数，又，选项D符合题意故选：D由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解本题考查由函数解析式找函数图象，一般从奇偶性
9、，特殊点，单调性等角度运用排除法求解，属于基础题7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题根据二项式展开式的通项公式，求出的系数，模拟程序的运行，可得判断框内的条件【解答】解：二项式展开式的通项公式是，令，；的系数是程序运行的结果S为120，模拟程序的运行，由题意可得，不满足判断框内的条件，执行循环体，不满足判断框内的条件，执行循环体，不满足判断框内的条件，执行循环体，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为120故判断框中应填入的关于k的判断条件是？故选：C8.【
10、答案】C【解析】解：这50名学生中，恰有3名女生的课余使用手机总时间在，调余时间使用手机总时间在的学生总数为：名，从课余使用手机总时间在的样本对应的学生中随机抽取3名，基本事件总数，至少抽到2名女生包含的基本事件个数，至少抽到2名女生的概率为故选：C基本事件总数，至少抽到2名女生包含的基本事件个数，由此能求出至少抽到2名女生的概率本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9.【答案】D【解析】解：是等差数列，为其前n项和，设公差为d，则，数列是以为首项、为公差的等差数列则，解得又，故选：D先推出数列是等差数列根据等差数列通项公式列式求解出d和本题考查了构造
11、数列和等差数列的通项公式，做题时应细心，属简单题10.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题由题意可设F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为，分别令，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值【解答】解：由题意可设，设直线AE的方程为，令，可得，令，可得，设OE的中点为H，可得，由B，H，M三点共线，可得，即为，化简可得，即为，可得故选A11.【答案】D【解析】解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角
12、形ABC的外接圆的圆心，外接圆的半径r，正三棱锥的外接球的球心在高所在的直线上，设为O，连接OA得：，即，所以三棱锥的高，由勾股定理得，解得：，所以外接球的体积故选：D正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的体积公式求出体积本题主要考查正三棱锥的外接球的体积以及计算能力，属于中档题12.【答案】B【解析】解：对任意的，有，对任意的，有，是以2为周期的函数，对，又当时，函数不是奇函数，错，对，当时，令，解之得舍，；当时，令，解之得舍，；当时，令，解之得舍，；共有3个公共点，错，故选：B通过题中给的知识点，判
13、断周期性，奇偶性，求出每一段的解析式本题考查命题，周期，奇偶性，以及求分段函数的解析式，属于基础题13.【答案】10【解析】解：由实数x、y满足，作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为故答案为：10由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14.【答案】【解析】解：，可得时，时，又，两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得故答案为：利用已知条件求出首项，推出数列
14、的通项公式，判断数列是等比数列，然后求解数列的和本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化首项以及计算能力15.【答案】【解析】解：函数为奇函数，解得，设切点为，则所以切线方程为该直线过点，解得，所求直线方程为，即故答案为：根据函数是奇函数，构造求出a值再另设切点，求出切线方程，将代入切线方程，即可求出切点横坐标，切线方程可求本题考查了函数奇偶性的应用以及导数的几何意义，属于较简单的中档题16.【答案】【解析】解：双曲线C：的右顶点为，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点则点A到渐近线的距离为，即，解得，双曲线方程为：故答案为：利用已知条件，转化求解A到
15、渐近线的距离，推出a，c的关系，求解双曲线的a，b即可得到双曲线的标准方程本题考查双曲线的简单性质的应用：标准方程的求法，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题17.【答案】解：在中，由正弦定理，得，又，在中，由余弦定理，得，即，解得舍去，由知，由正弦定理，得，C为钝角，即面积的大小范围是【解析】由已知结合正弦定理进行化简可求tanA，进而可求A，然后由余弦定理可求；由A结合三角形的面积公式极正弦定理可求c的范围，进而可求三角形面积的范围，本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题18.【答案】证明：如图1，分别取A
16、C，BC的中点P，Q，连接DP，EQ，PQ，PH，均是等边三角形，P是AC的中点，Q是BC的中点，平面平面ABC且交于AC，平面ACD，平面ABC，平面平面ABC且交于BC，平面BEC，平面ABC，又平面EBC，平面平面EBC是的中位线，又平面EBC，平面EBC，平面EBC平面EBC，平面EBC，平面平面DPH，平面BEC解：又点P为原点、射线PA为x轴正方向、射线PB为y轴正方向量、射线PD为z轴正方向，建立如图2所以的空间直角坐标系，则0，0，0，平面ABC，平面ABC的法向量可取设平面EAC的法向量y，则，可取2，设二面角的平面角为，据判断其为锐角，即二面角的正弦值【解析】分别取AC，B
17、C的中点P，Q，连接DP，EQ，PQ，证明平面ABC，平面ABC，得到推出，平面即可证明平面平面DPH，得到平面BEC又点P为原点、射线PA为x轴正方向、射线PB为y轴正方向量、射线PD为z轴正方向，建立如图2所以的空间直角坐标系，求出平面ABC的法向量，平面EAC的法向量，设二面角的平面角为，利用空间向量的数量积求解二面角的正弦值本题考查二面角飞平面角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用19.【答案】解：根据题意，每个人的血样化验呈阳性的概率为p，则呈阳性的概率，所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，故，故X的分布列为：X
18、 P根据可得方案二的数学期望，当时，此时669人需要化验总次数为462次；当时，此时669人需要化验总次数为404次；当时，此时669人需要化验总次数为397次；故时，化验次数最少，根据方案一，化验次数为669次，故当时，化验次数最多可以平均减少次【解析】根据题意，某组k个人中每个人的血化验次数为，每个人的血样化验呈阳性的概率为p，则呈阳性的概率，求出概率，写出分布列即可；根据可得方案二的数学期望，求出，3，4时化验的平均次数，求出化验次数最少的情况，与方案一对比，得出结论本题考查离散型随机变量求分布列和数学期望，考查了数学期望在实际问题中的应用，注意运算的正确性，中档题20.【答案】解：由抛
19、物线的定义可以，抛物线的方程为；证明：由可知，点M的坐标为当直线l斜率不存在时，此时A，B重合，舍去当直线l斜率存在时，设直线l的方程为设，将直线l与抛物线联立得：，-又，即将带入得，即得或当时，直线l为，此时直线恒过当时，直线l为，此时直线恒过舍去所以直线l恒过定点【解析】利用抛物线的定义以及性质，列出方程求出p，即可求抛物线的方程；当时，设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理转化求解直线l恒过定点并求出该定点的坐标本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力21.【答案】解：当时，则，显然在上单调递减，又，所以在上存在唯一零点，当时，当时，所以是的极大值点，且
20、是唯一极值点；令，令，则与的图象在上有2个交点，令，则，所以在上单调递减，而，故当时，即，单调递增，当时，即，单调递减，故，又，当时，作出图象如图：由图可得：，故a的取值范围是【解析】将代入，求导得到在上单调递减，则在上存在唯一零点，进而可判断出是的极大值点，且是唯一极值点；令，得到，则与的图象在上有2个交点，利用导数，数形结合即可得到a的取值范围本题考查利用导数求函数单调区间，求函数极值，利用导数数形结合判断函数零点个数，属于中档题22.【答案】解：椭圆方程，直线l的直角坐标方程为，与l垂直的直线斜率为，直线方程为，即，则极坐标方程为由得，得直线l的直角坐标方程为：设，点P到直线l的距离，此
21、时，当时，d取最小值，此时，点坐标为【解析】消参得椭圆的直角坐标方程，进而得右焦点F的坐标，再得直线的直角坐标方程和极坐标方程；利用点到直线的距离公式求得点P到直线l的距离，然后用三角函数的性质求得最小值以及取得最小值的条件本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题23.【答案】解：，或或，或或，不等式的解集为，当时，取得最小值3函数的图象的最低点为，即，当且仅当，即，时取等号，【解析】先将写为分段函数的形式，然后根据分别解不等式即可；先求出的最小值，然后根据图象的最低点为，求出m和n的值，再利用基本不等式求出的取值范围本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题版权所有正确教育 侵权必纠！
