1、第二部分 讲练篇 专题一 三角函数和解三角形第1讲 三角函数的图象与性质自 主 练 考 点 整 合 做小题激活思维1函数f(x)sin2x3 的最小正周期为()A4 B2C D2C 函数f(x)sin2x3 的最小正周期为22.故选C.2函数ycos 2x图象的一条对称轴方程是()Ax 12 Bx6Cx3Dx2D 由题意易知其一条对称轴的方程为x2，故选D.3函数g(x)3sinx 12 在4，34 上的最小值为_32 因为x4，34，所以x 123，23.当x 123，即x4时，g(x)取得最小值32.4函数ycos42x 的单调递减区间为_k8，k58(kZ)由ycos42x cos2x4
2、，得2k2x42k(kZ)，解得k8xk58(kZ)，所以函数的单调递减区间为k8，k58(kZ)5函数yAsin(x)A0，0，|2的部分图象如图所示，则该函数的解析式为_y2sin2x3 由题图易知A2，由T223 6，可知2T 2 2.于是y2sin(2x)，把6，0 代入y2sin(2x)得，02sin26，故3k(kZ)，又|2，故3，综上可知，该函数的解析式为y2sin2x3.6将函数ysinx6 的图象上所有的点向左平移 4 个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为_ysinx2512 将函数ysinx6 函数图象上所有的点向左平移4
3、个单位长度ysinx512横坐标扩大到原来的2倍纵坐标不变ysin12x512.扣要点查缺补漏1函数yAsin(x)表达式的确定A由最值确定；由周期确定T2；由五点中的零点或最值点作为解题突破口，列方程确定即xi0，2，32，2，如T5.2三种图象变换：平移、伸缩、对称注意：由yAsin x的图象得到yAsin(x)的图象时，需向左或向右平移 个单位，如T6.3函数yAsin(x)(0，A0)的性质研究三角函数的性质，关键是将函数化为yAsin(x)B(或yAcos(x)B)的形式，利用正、余弦函数与复合函数的性质求解(1)T2，如T1.(2)类比ysinx的性质，将yAsin(x)中的“x”
4、看作一个整体t，可求得函数的对称轴、对称中心、单调性、最值yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k2(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk 2(kZ)求得，对称中心可由xk(kZ)求得yAcos(x)，当 k2(kZ)时为奇函数；当 k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由 xk(kZ)求得，对称中心可由 xk2(kZ)求得注意对称中心必须写成点坐标如 T2.yAtan(x)，当 k(kZ)时为奇函数，对称中心可由 xk2(kZ)求得单调性、最值，如 T3，T4.研 考 题 举 题 固 法 三角函数的值域、最值问题(5年3考)高考解读 高考对该点的考查常与三角恒等变换交汇命题，求最值时，一般
5、化为fxAsinxB的形式或化fx为二次函数形式，难度中等.预测2020年会依旧延续该命题风格.1(2019全国卷)函数f(x)sin2x323cosx的最小值为_4 f(x)sin2x32 3cos x cos 2x3cos x2cos2x3cos x1，令tcos x，则t1,1，f(x)2t23t1.又函数f(x)图象的对称轴t341,1，且开口向下，当t1时，f(x)有最小值4.2(2017全国卷)函数f(x)sin2x 3cos x34x0，2 的最大值是_1 f(x)1cos2x 3cos x34cos x 3221.x0，2，cos x0,1，当cos x 32 时，f(x)取得
6、最大值，最大值为1.3(2018全国卷)已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是_3 32 因为f(x)2sin xsin 2x，所以f(x)2cos x2cos 2x4cos2x2cos x24cos x12(cosx1)，由f(x)0得12cos x1，即2k3x2k3，kZ，由f(x)0得1cosx 12，2k 3 x2k或2kx2k3，kZ，所以当x2k3(kZ)时，f(x)取得最小值，且f(x)minf2k3 2sin2k3 sin 22k3 3 32.三角函数值域(最值)的3种求法(1)直接法：利用sin x，cos x的有界性直接求(2)单调性法：化为yAs
7、in(x)B的形式，采用整体思想，求出x的范围，根据ysin x的单调性求出函数的值域(最值)(3)换元法：对于yasin2xbsin xc和ya(sin xcos x)bsin xcos xc型常用到换元法，转化为二次函数在限定区间内的最值问题1(求取得最值时的变量x)当函数y 3sin xcos x(0 x2)取得最大值时，x_.23 y 3sin xcos x232 sin x12cos x 2sinx6.0 x2，6x6116.当x62，即x23 时，函数取得最大值2(求参数的范围)已知函数f(x)sinx4(0)在12，3 上有最大值，但没有最小值，则的取值范围是_34，3 函数f(
8、x)sinx4(0)在12，3 上有最大值，但没有最小值，所以 12423432 34，3.3(与导数交汇求最值)已知函数f(x)2cos xsin 2x，则f(x)的最大值为_3 32 f(x)2sin x2cos 2x24sin2x2sin x2(2sin x1)(sin x1)，由f(x)0得sin x12或sin x1.当1sin x12时，f(x)0，当12sin x1时，f(x)0.当sin x12时，f(x)取得极大值 此时cos x 32 或cos x 32.经验证可知，当cos x 32 时，f(x)有最大值，又f(x)2cos x(sin x1)，f(x)max2 32 1
9、12 3 32.三角函数的图象(5年5考)高考解读 高考对该点的考查主要有两种：一是由图象求解析式；二是图象的平移变换.前者考查图象的识别和信息提取能力，后者考查逻辑推理能力.估计2020年高考会侧重考查三角函数图象变换的应用.1.(2016全国卷)函数yAsin(x)的部分图象如图所示，则()Ay2sin2x6By2sin2x3Cy2sinx6Dy2sinx3A 根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A，与的值由图象知T236 2，故T，因此2 2.又图象的一个最高点坐标为3，2，所以A2，且232k2(kZ)，故2k6(kZ)，结合选项可知y2sin2x6.故选A.2(2017全国卷)已知曲
10、线C1：ycos x，C2：ysin2x23，则下面结论正确的是()A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线C2D 因为ysin2x23 cos2x23 2 cos2x6，所以曲线C1：ycos x上各点的横坐标缩短到原来的
11、12，纵坐标不变，得到曲线ycos 2x，再把得到的曲线ycos 2x向左平移 12个单位长度，得到曲线ycos 2x 12 cos2x6.故选D.求函数yAsin(x)(0，0)解析式的方法字母确定途径说明 A、B由最值确定Aymaxymin2，Bymaxymin2 由函数的 周期确定利用图象中最高点、最低点与x轴交点的横坐标确定周期 由图象上的 特殊点确定代入图象上某一个已知点的坐标，表示出后，利用已知范围求 提醒：三角函数图象的平移问题(1)当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，如T2.(2)将ysin x(0)的图象变换成ysin(x)的图象时，应把x变换
12、成x，根据 确定平移量的大小，根据 的符号确定平移的方向1.(知图求值)函数f(x)Asin(x)(A0，0,02)的部分图象如图所示，则f(2 019)的值为_1 由题图易知，函数f(x)的最小正周期T4521 6，所以2T 3，所以f(x)Asin3x，将(0,1)代入，可得Asin 1，所以f(2 019)f(63363)f(3)Asin33 Asin 1.2(平移变换的应用)将偶函数f(x)sin(3x)(0)的图象向右平移 12个单位长度后，得到的曲线的对称中心为()A.k3 4，0(kZ)B.k3 12，0(kZ)C.k3 6，0(kZ)D.k3 736，0(kZ)A 因为函数f(
13、x)sin(3x)为偶函数且0，所以2，f(x)的图象向右平移 12 个单位长度后可得g(x)sin3x 12 2 sin3x4 的图象，分析选项知k3 4，0(kZ)为曲线yg(x)的对称中心故选A.3(与函数的零点交汇)设函数f(x)2sin x，x0，|cos x|，x，2，若函数g(x)f(x)m在0,2内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是()A(0,1)B1,2C(0,1D(1,2)A 画出函数f(x)在0,2上的图象，如图所示：若函数g(x)f(x)m在0,2内恰有4个不同的零点，即yf(x)和ym在0,2内恰有4个不同的交点，结合图象，知0m1.三角函数的性质及应用(5年7
14、考)高考解读 高考对该点的考查主要立足两点，一是函数性质的判断或求解，二是利用性质求参数的范围值，准确理解ysinxycosx的有关性质是求解此类问题的关键.预测2020年以考查函数性质的应用为主.1(2017全国卷)设函数f(x)cosx3，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x83 对称Cf(x)的一个零点为x6Df(x)在2，单调递减D A项，因为f(x)cosx3 的周期为2k(kZ)，所以f(x)的一个周期为2，A项正确 B项，由f83 cos83 3 cos 31，可知B正确；C项，由f(x)cos3x cosx3 得f6 cos 20，故C正确
15、 D项，由f23 cos 1可知，D不正确2一题多解(2018全国卷)若f(x)cos xsin x在a，a是减函数，则a的最大值是()A.4 B.2C.34DA 法一：(直接法)f(x)cos xsin x 2cosx4，且函数ycos x在区间0，上单调递减，则由0 x4，得4x34.因为f(x)在a，a上是减函数，所以a4，a34，解得a4，所以0a4，所以a的最大值是4，故选A.法二：(单调性法)因为f(x)cos xsin x，所以f(x)sin xcos x，则由题意，知f(x)sin xcos x0在a，a上恒成立，即sin xcos x0，即 2sinx4 0在a，a上恒成立，
16、结合函数y 2sinx4 的图象(图略)，可知有a40，a4，解得a4，所以0a4，所以a的最大值是4，故选A.3重视题一题多解(2019全国卷)关于函数f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数；f(x)在区间2，单调递增；f(x)在，有4个零点；f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A BCDC 法一：f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sinx|f(x)，f(x)为偶函数，故正确；当2x时，f(x)sin xsinx2sin x，f(x)在2，单调递减，故不正确；f(x)在，的图象如图所示，由图可知函数f(x)在，只有3个零点，故不正确；ysi
17、n|x|与y|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，f(x)可以取到最大值2，故正确综上，正确结论的序号是.故选C.法二：f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故正确，排除B；当 2 x时，f(x)sin xsin x2sin x，f(x)在2，单调递减，故不正确，排除A；ysin|x|与y|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，f(x)的最大值为2，故正确故选C.法三：画出函数f(x)sin|x|sinx|的图象，由图象可得正确，故选C.1求三角函数单调区间的方法(1)代换法：求形如yAsin(x)(或yAcos(x)(A，为常数，A0
18、，0)的单调区间时，令xz，得yAsinz(或yAcos z)，然后由复合函数的单调性求得(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间 2判断对称中心与对称轴的方法 利用函数yAsin(x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断 3求三角函数周期的常用结论(1)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为|.(2)正弦曲线(余弦曲线)相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期1(求单调
19、区间)(2019武昌调研)已知函数f(x)3 sin xcosx(0)的最小正周期为2，则f(x)的单调递增区间是()A.2k6，2k6(kZ)B.2k3，2k23(kZ)C.2k23，2k3(kZ)D.2k6，2k56(kZ)B 因为f(x)2 32 sin x12cos x2sinx6，f(x)的最小正周期为2，所以221，所以f(x)2sinx6，由2k 2 x 6 2k 2(kZ)，得2k 3 x2k 23(kZ)，所以f(x)的单调递增区间为2k3，2k23(kZ)，故选B.2(求参数的值)已知函数f(x)sinx的图象关于点23，0 对称，且f(x)在0，4 上为增函数，则()A.
20、32B3C.92D6A 依题意，f23 sin23 0，23 k(kZ)3k2(kZ)又f(x)sin x在0，4 上为增函数，042，即02.k1，32，故选A.3(求参数的范围)(2019攀枝花模拟)已知f(x)sinx3(0)同时满足下列三个条件：|f(x1)f(x2)|2时，|x1x2|的最小值为 2；yfx3 是奇函数；f(0)f6.若f(x)在0，t)上没有最小值，则实数t的取值范围是()A.0，512B.0，56C.512，1112D.56，1112D 由得周期为，2.由yfx3 是奇函数且f(0)f6，可得其中一个23，那么f(x)sin2x3.x0，t)，2x33，2t3.因为f(x)在0，t)上没有最小值，可得t0，且f(0)f56 32，43 2t332，解得56 t1112，故选D.Thank you for watching!
