1、河北省张家口市宣化区宣化第一中学2020-2021学年高二数学上学期第一单元单元测试试题一、选择题（本大题共7小题，共35.0分）1. 钝角三角形ABC的面积是，则A. 5B. C. 2D. 12. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为A. 3B. C. D. 3. 若的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则A. 与都是锐角三角形B. 与都是钝角三角形C. 是钝角三角形，是锐角三角形D. 是锐角三角形，是钝角三角形4. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，则A. 1B. 2C. D. 5. 已知的内角A，B，C满足，面积S满足，记a，b，c分别为A，B
2、，C所对的边，在下列不等式一定成立的是A. B. C. D. 6. 已知中，的对边分别为a，b，若，且，则A. 2B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则A. B. C. D. 二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）8. 在中，已知，当时，的面积为_9. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于_用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：，10. 若的内角满足，则cosC的最小值是_11. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，则面积的最大值为_12. 已知a，b，c为的三个内角A，B
3、，C的对边，向量，若，且，则角_13. 在锐角中，则的值等于_ ，AC的取值范围为_ 14. 如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小若，则的最大值是_仰角为直线AP与平面ABC所成角三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）15. 的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c若a，b，c成等差数列，证明：；若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值16. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与现测得，并在点C测得塔顶A的仰
4、角为，求塔高AB17. 在，已知，求角A，B，C的大小18. 如图所示，在四边形ABCD中，求的值；若，求BC的长19. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知求角C的大小；已知，的面积为6，求边长c的值20. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，求的面积；若，求a的值设的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且，求a的值；求的值答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考
5、虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可【解答】解：钝角三角形ABC的面积是，即当B为钝角时，利用余弦定理得：，即当B为锐角时，利用余弦定理得：，即，此时，则为直角三角形，不合题意，舍去，则故选B2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出是解决本题的关键属于基础题根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：，即，解得，则三角形的面积故选C3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查正余弦函数在各象限的符号特征及诱导公式，同时考查反证法思想，属于中档题首先根据正弦、余弦在内的符号
6、特征，确定是锐角三角形，然后假设是锐角三角形和直角三角形，易于推出矛盾，最后得出是钝角三角形的结论【解答】解：因为的三个内角的正弦值均大于0，所以的三个内角的余弦值也均大于0，则是锐角三角形若是锐角三角形，由：，得，那么，这与三角形内角和是相矛盾；若是直角三角形，不妨设，则，所以在范围内无值所以是钝角三角形故选：D4.【答案】B【解析】解：解法一：余弦定理由得：，或舍解法二：正弦定理由，得：，从而，方法一：可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于0；方法二：可根据正弦定理求出sinB，进而求出c，要注意判断角的范围本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用在解三角形时一般就用这两个定理，要熟练掌握5
7、.【答案】A【解析】解：的内角A，B，C满足，化为，设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：，由，及正弦定理得，即，面积S满足，即，由可得，显然选项C，D不一定正确，A.，即，正确，B.，即，但，不一定正确，故选：A根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明即可得到结论本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题6.【答案】A【解析】解：如图所示在中，由正弦定理得：，故选：A先根据三角形内角和求得B的值，进而利用正弦定理和a的值以及的值，求得b本题主要考查了正弦定理的应用正弦定理常用与已知三角形的两
8、角与一边，解三角形；已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形；运用a：b：sinB：sinC解决角之间的转换关系7.【答案】C【解析】【分析】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于一般题已知第二个等式利用正弦定理化简用b表示出c，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a与c代入求出cosA的值，即可确定出A的度数【解析】解：已知等式，由正弦定理化简得：，代入得：，即，则，故选：C8.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了向量的数量积公式，三角形的面积公式，考查运算求解能力，属于中档题利用平面向量的数量积运算法则和三角形的面积公式，即可求出答案【解答】
9、解：，故答案为：9.【答案】60【解析】【分析】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在、中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则中，根据正弦定理，得故答案为60m10.【答案】【解析】解：由正弦定理得，得，由余弦定理得，当且仅当时，取等号，故，故cosC的最小值是故答案为：根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质
10、是解决本题的关键11.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题由正弦定理化简已知可得结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求再利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：因为：因为：所以由正弦定理得所以：，面积，而当且仅当时取等号，所以：，即面积的最大值为故答案为12.【答案】【解析】解：根据题意，由正弦定理可得，又由，化简可得，则，则，故答案为由向量数量积的意义，有，进而可得A，再根据正弦定理，可得sinC，结合和差公式的正弦形式，化简可得，可得C，由A、C的大小，可得答案本题考查向量数量积的应
11、用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法13.【答案】2；【解析】解：根据正弦定理得：，因为，化简得即；因为是锐角三角形，C为锐角，所以，由得到且，从而解得：，于是，由的结论得，故故答案为：2， 根据正弦定理和及二倍角的正弦公式化简可得值；由得到，要求AC的范围，只需找出2cosA的范围即可，根据锐角和求出A的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cosA的范围即可考查学生灵活运用正弦定理及二倍角的正弦公式化简求值，本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内角和定理及变换角得到角的范围14.【答案】【解析】解：，过P作，交BC于，连接，则，设，则，由，得，在直角中，令，则函数在单调递减，时
12、，取得最大值为若在CB的延长线上，在直角中，令，则可得时，函数取得最大值，故答案为：过P作，交BC于，连接，则，求出，利用函数的性质，分类讨论，即可得出结论本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题15.【答案】解：，b，c成等差数列，利用正弦定理化简得：，；，b，c成等比数列，当且仅当时等号成立，的最小值为【解析】由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出c
13、osB的最小值此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键16.【答案】解：在中，由正弦定理得所以在中，【解析】先根据三角形内角和为得再根据正弦定理求得BC，进而在中，根据求得AB本题主要考查了解三角形的实际应用正弦定理是解三角形问题常用方法，应熟练记忆17.【答案】解：设，由得所以又因此由得；于是所以，即故A或【解析】先用向量的数量积求出角A，再用三角形的内角和为得出角B，C的关系，用三角函数的诱导公式解之考查向量的数量积及三角函数的诱导公式向量与三角结合是高考常见题型18.【答案】解：，在中，由余弦定理，得；设，则，且都为三角形内角，在中
14、，由正弦定理，解得：即BC的长为3【解析】本题考查了正余弦定理的运用，两角和与差的三角函数公式和计算能力，属于中档题在中，由余弦定理直接求解可得的值由，利用同角三角函数关系式，两角和与差的三角函数公式和正弦定理即可求BC的长19.【答案】解：中，即，已知，的面积为，【解析】本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和差的三角公式、余弦定理的应用，属于中档题中由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式求得，从而得到，由此可得C的值根据的面积为求得a的值，再利用余弦定理求得c的值20.【答案】解：因为，所以，又由得，所以因此由知，又，由余弦定理，得，所以【解析】本题考查向量的数量积是应用，余弦定理的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力利用二倍角公式求出余弦函数值，利用同角三角函数基本关系式求出正弦函数值，利用向量的数量积求出bc，然后求解三角形的面积利用余弦定理以及的结果，代入求解即可21.【答案】解：因为：，所以：由正、余弦定理得因为，所以，解得：由余弦定理得由于，所以sin故【解析】利用正弦定理，可得，再利用余弦定理，即可求a的值；求出sinA，cosA，即可求的值本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题
