1、第10讲 幂函数与函数的图象 第10讲 幂函数与函数的图象 知识梳理 1幂函数(1)幂函数定义：一般地，形如_(R)的函数称为幂函数，其中为常数几种常见幂函数的图象：yx；y；yx2；yx1；yx3.图101第10讲 知识梳理 yx 12x(2)幂函数性质所有的幂函数在_都有定义，并且图象都过点_；0时，幂函数的图象通过_，并且在区间0，)上是_特别地，当1时，幂函数的图象_；当01时，幂函数的图象_；0)或向右(a0yf(xh)；ii.yf(x)右移hh0yf(xh)、竖直平移：函数yf(x)a的图像可以把函数yf(x)的图像沿y轴方向向上(a0)或向下(a0yf(x)h；ii.yf(x)下
2、移hh0yf(x)h.对称变换：、函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像_对称得到yf(x)y轴 yf(x)；、函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于x轴对称得到yf(x)x轴 yf(x)；、函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于_对称即可得到yf(x)原点 yf(x)；、函数yf(2ax)的图像可以将函数yf(x)的图像关于_对称即可得到yf(x)直线xayf(2ax)、函数yf(|x|)的图象可以将函数yf(x)的图象右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分，并保留_即可得到翻折变换：、函数y|f(x)|的图象可以将函数yf(x)的图象的x轴下方部分沿_翻
3、折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留_即可得到；第10讲 知识梳理 x轴yf(x)的x轴上方部分yf(x)在y轴右边部分第10讲 知识梳理 纵坐标伸长(a1)或压缩(0a0)的图像可以将函数 yf(x)的图像中的每一点横坐标不变，_得到；yf(x)ya yaf(x)；、函数 yf(ax)(a0)的图像可以将函数 yf(x)的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a1)或压缩(0a1)为原来的1a得到 yf(x)xa yf(ax)(3)识图：图像的分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等3函数图像的应用(1)利用函数图像，研究函数的几何性质，如单调性、周期性、奇偶性、最值、零点、值域及定义域、对
4、称性等；(2)利用函数图像、数形结合的思想方法解题，将代数问题转化为平面解析几何问题处理要点探究 探究点1 幂函数定义的应用第10讲 要点探究 例1 已知f()x()m22m xm22m1，当m取何值时，(1)f()x 是幂函数；(2)f()x 是正比例函数；(3)f()x 是反比例函数思路 利用各类函数的定义，确定x的指数的取值解答(1)由m22m1，解得m1.(2)由m22m11，得m1.(3)由m22m11，m0或m2，又当m0 时，m22m0，不符合题意，舍去，故m2.探究点2 幂函数的图象与性质第10讲 要点探究 思路利用幂函数的奇偶性和单调性确定m的值，再由幂函数的单调性确定a的值
5、例2 已知幂函数f(x)x 2m3(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足(a1)(32a)的a的取值范围2m第10讲 要点探究 解答 函数 f(x)在(0，)上递减，m22m30，解得1m3.mN*，m1 或 2.又函数 f(x)的图像关于 y 轴对称，m22m3 是偶数，而 222233 为奇数，122134 为偶数，m1.又函数 g(x)x13在 R 上为增函数，(a1)13(32a)13等价于 a132a，解得 a0时，yx|cosx|0恒成立，故函数只能是第四个，函数yx2x不具有奇偶性，因此其图象只能是第二个，故选C.第10讲 要点探究(2)如图108，动点P在
6、正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N.设BPx，MNy，则函数yf(x)的图象大致是()图108 图109 答案 B第10讲 要点探究 解析 设正方体的棱长为 a，当 0 x 32 a 时，M，N 分别在面 A1B 和面 B1C 内，过 M 作 MM1面 AC 于 M1，过 N作 NN1面 AC 于 N1，M1N1交 BD 于 O，则 MN M1N1，在 RtBPO 中，OBDBPBBD1，即 OB 63 x，在 RtBM1N1中，M1N12OB2 63 x，只有图像 B 符合，故选 B.规律总结 第10讲 规律总结 1
7、幂函数yxa的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现的第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；在(0,1)上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠近x轴，在(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴；幂函数的单调性、奇偶性由指数决定2作图作图的常用方法有描点法和变换法，对前者，要注意对函数性质的研究；对后者，要熟悉常见函数及图象的变换法则，在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x、y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错第10讲 规律总结 3识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，注意图象与函数解析式中参数的关系4用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题路径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合思想的应用
