1、第三部分 增分篇 策略四 妙用8个二级结论巧解高考题结论 1 奇函数的最值性质已知函数 fx是定义在区间 D 上的奇函数，则对任意的 xD，都有 fxfx0.特别地，若奇函数 fx在 D 上有最值，则 fxmaxfxmin0，且若 0D，则 f00.【典例 1】设函数 f(x)x12sin xx21的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm_.2 显然函数 f(x)的定义域为 R，f(x)x12sin xx2112xsin xx21，设 g(x)2xsin xx21，则 g(x)g(x)，g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知 g(x)maxg(x)min0，Mmg(x)1maxg(x)1min
2、2g(x)maxg(x)min2.2 由 f(a)ln(1a2a)14，得 ln(1a2a)3，所以f(a)ln(1a2a)1ln 11a2a1ln(1a2a)1312.【链接高考 1】(2018全国卷)已知函数 f(x)ln(1x2x)1，f(a)4，则 f(a)_.结论 2 函数周期性问题已知定义在 R 上的函数 fx，若对任意的 xR，总存在非零常数 T，使得 fxTfx，则称 fx是周期函数，T 为其一个周期.,常见的与周期函数有关的结论如下：1如果 fxafxa0，那么 fx是周期函数，其一个周期T2a.2如果 fxa 1fxa0，那么 fx是周期函数，其一个周期 T2a.3如果 f
3、xafxca0，那么 fx是周期函数，其一个周期 T2a.4如果 fxfxafxaa0，那么 fx是周期函数，其一个周期 T6a.【典例 2】已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 fx32 f(x)，且f(2)f(1)1，f(0)2，则 f(1)f(2)f(3)f(2 014)f(2 015)()A2 B1 C0 D1A 因为 fx32 f(x)，所以 f(x3)fx32 f(x)，则 f(x)的周期 T3.则有 f(1)f(2)1，f(2)f(1)1，f(3)f(0)2，所以 f(1)f(2)f(3)0，所以 f(1)f(2)f(3)f(2 014)f(2 015)f(1)f(2)f(3)
4、f(2 014)f(2 015)f(2 016)f(2 016)672f(1)f(2)f(3)f(2 016)f(03672)f(0)2，故选 A.【链接高考 2】一题多解(2018全国卷)已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(1x)f(1x)若 f(1)2，则 f(1)f(2)f(3)f(50)()A50 B0 C2 D50C 法一：因为 f(1x)f(1x)，所以函数 f(x)的图象关于直线x1 对称因为 f(x)是奇函数，所以函数 f(x)的图象关于坐标原点(0,0)中心对称数形结合可知函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数因为 f(x)是(，)上的奇函数，所以 f(0)0
5、.因为 f(1x)f(1x)，所以当 x1 时，f(2)f(0)0；当 x2 时，f(3)f(1)f(1)2；当x3 时，f(4)f(2)f(2)0.综上，可得 f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)1220(2)0202.故选 C.法二：取一个符合题意的函数 f(x)2sin x2，则结合该函数的图象易知数列f(n)(nN*)是以 4 为周期的周期数列 故 f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)1220(2)0202.故选 C.结论 3 函数图象的对称性已知函数 fx是定义在 R 上的函数.1若
6、faxfbx恒成立，则 yfx的图象关于直线xab2对称，特别地，若 faxfax恒成立，则 yfx的图象关于直线xa 对称.2若 faxfbxc，则 yfx的图象关于点ab2，c2 中心对称.特别地，若 faxfax2b 恒成立，则 yfx的图象关于点a，b中心对称.)【典例 3】已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)f(1x)，且在1，)上是增函数，不等式 f(ax2)f(x1)对任意的 x12，1恒成立，则实数 a 的取值范围是()A3，1B2,0C5，1D2,1B 由 f(x1)f(1x)可知 f(x)图象关于 x1 对称，当 a0 时，不等式 f(ax2)f(x1)化为
7、f(2)f(x1)，由函数 f(x)的图象特征可得|21|x11|，解得 x3 或 x1，满足不等式 f(ax2)f(x1)对任意 x12，1 恒成立，由此排除 A，C 两个选项当 a1 时，不等式 f(ax2)f(x1)化为 f(x2)f(x1)，由函数 f(x)的图象特征可得|x21|x11|，解得 x12，不满足不等式 f(ax2)f(x1)对任意 x12，1 恒成立，由此排除 D 选项综上可知，选 B.【链接高考 3】(2017全国卷)已知函数 f(x)ln xln(2x)，则()Af(x)在(0,2)单调递增Bf(x)在(0,2)单调递减Cyf(x)的图象关于直线 x1 对称Dyf(
8、x)的图象关于点(1,0)对称C f(x)的定义域为(0,2)f(x)ln xln(2x)lnx(2x)ln(x22x)设 ux22x，x(0,2)，则 ux22x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减 又 yln u 在其定义域上单调递增，f(x)ln(x22x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减 选项 A，B 错误 f(x)ln xln(2x)f(2x)，f(x)的图象关于直线 x1 对称，选项 C 正确 f(2x)f(x)ln(2x)ln xln xln(2x)2ln xln(2x)，不恒为 0，f(x)的图象不关于点(1,0)对称，选项 D 错误 故选 C.结论
9、4 对数、指数形式的经典不等式1对数形式：1 1x1ln(x1)x(x1)，当且仅当 x0 时，等号成立2指数形式：exx1(xR)，当且仅当 x0 时，等号成立【典例 4】设函数 f(x)1ex.证明：当 x1 时，f(x)xx1.证明 f(x)xx1(x1)1ex xx1(x1)1 xx1ex(x1)1x11ex(x1)x1ex(x1)由经典不等式exx1(xR)恒成立可知 x1 时，exx1.即 x1 时，f(x)xx1.【链接高考 4】(2016全国卷)设函数 f(x)ln xx1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明当 x(1，)时，1x1ln x x；(3)设 c1，证明当 x
10、(0,1)时，1(c1)xcx.解(1)由题设，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1x1，令 f(x)0，解得 x1.当 0 x1 时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明：由(1)知，f(x)在 x1 处取得最大值，最大值为 f(1)0.所以当 x1 时，ln xx1.故当 x(1，)时，ln xx1，ln1x1x1，即 1x1ln x x.(3)证明：由题设 c1，设 g(x)1(c1)xcx，则 g(x)c1cxln c.令 g(x)0，解得 x0lnc1ln cln c.当 xx0 时，g(x)0，g(x)单调递增；当 xx0 时，g(x
11、)0，g(x)单调递减 由(2)知 1c1ln c c，故 0 x01.又 g(0)g(1)0，故当 0 x1 时，g(x)0.所以当 x(0,1)时，1(c1)xcx.结论 5 等差数列的有关结论1若 Sm，S2m.S3m 分别为等差数列an的前 m 项，前 2m 项，前3m 项的和，则 Sm，S2mSm，S3mS2m 成等差数列2若等差数列an的项数为 2m，公差为 d，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为 S 偶，则所有项之和 S2mm(amam1)，S 偶S 奇md，S奇S偶 amam1.3若等差数列an的项数为 2m1，所有奇数项之和为 S 奇，所有偶数之和为 S 偶，则所有项之
12、和 S2m1(2m1)am，S 奇mam，S 偶(m1)am，S 奇S 偶am，S奇S偶 mm1.【典例 5】(1)等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 am1am1a2m0，S2m138，则 m_.(2)一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为 3227，则数列的公差 d_.(1)10(2)5(1)由 am1am1a2m0 得 2ama2m0，解得 am0 或 2.又 S2m12m1a1a2m12(2m1)am38，显然可得 am0，所以 am2.代入上式可得 2m119，解得 m10.(2)设等差数列的前 12 项中奇数项和为 S 奇，偶数项和
13、为 S 偶，等差数列的公差为 d.由已知条件，得S奇S偶354，S偶S奇3227，解得S偶192，S奇162.又 S 偶S 奇6d，所以 d19216265.【链接高考 5】(2015全国卷)设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，若 a1a3a53，则 S5()A5 B7 C9 D11A 法一：利用等差数列的性质进行求解 a1a52a3，a1a3a53a33，a31，S55a1a525a35，故选 A.法二：利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式进行整体运算 a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，S55a1542 d5(a12d)5，故选 A.结论 6 等比数列
14、的有关结论1公比 q1 时，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列nN*.2若等比数列的项数为 2nnN*，公比为 q，奇数项之和为 S 奇，偶数项之和为 S 偶，则 S 偶qS 奇.3已知等比数列an，公比为 q，前 n 项和为 Sn，则 SmnSmqmSnm，nN*.【典例 6】(1)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若S6S33，则S9S6()A2 B.73 C.83 D3(2)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 S372，S6632.求数列an的通项公式；求 log2a1log2a2log2a3log2a25 的值(1)B(1)由已知S6S33，得 S63S3，因为
15、 S3，S6S3，S9S6 也为等比数列，所以(S6S3)2S3(S9S6)，则(2S3)2S3(S93S3)化简得 S97S3，从而S9S67S33S373.(2)由 S372，S6632，得 S6S3q3S3(1q3)S3，q2.又 S3a1(1qq2)，得 a112.故通项公式 an122n12n2.由(1)及题意可得 log2ann2，所以 log2a1log2a2log2a3log2a25101223251232275.32 设an的首项为 a1，公比为 q，则a11q31q74，a11q61q634，解得a114，q2，所以 a814272532.【链接高考 6】(2017江苏高考
16、)等比数列an的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn.已知 S374，S6634，则 a8_.结论 7 多面体的外接球和内切球1长方体的对角线长 d 与共点的三条棱 a，b，c 之间的关系为d2a2b2c2；若长方体外接球的半径为 R，则有2R2a2b2c2.2棱长为 a 的正四面体内切球半径r 612a，外接球半径R 64 a.【典例 7】(1)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为()A24 B29C48 D58(2)已知一个三棱锥的所有棱长均为 2，则该三棱锥的内切球的体积为_(1)B(2)354(1)由三视图知，该几何
17、体为三棱锥，如图，在 324 的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥 A-BCD)，其外接球即为长方体的外接球 表面积为 4R2(322242)29.(2)由题意可知，该三棱锥为正四面体，如图所示AEABsin 60 62，AO23AE 63，DO AD2AO22 33，三棱锥的体积 VD-ABC13SABCDO13，设内切球的半径为 r，则 VD-ABC13r(SABCSABDSBCDSACD)13，r 36，V 内切球43r3 354.14 长方体的顶点都在球 O 的球面上，长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径 设球的半径为 R，则 2R 322212 14.球 O 的表面积为 S4R
18、24142214.【链接高考 7】(2017全国卷)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为_结论 8 过抛物线 y22px(p0)焦点的弦过抛物线 y22pxp0焦点的弦 AB 有：1xAxBp24.2yAyBp2.3|AB|xAxBp 2psin2 是直线 AB 的倾斜角.【典例 8】过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于()A4 B.92C5 D6B 由对称性不妨设点 A 在 x 轴的上方，如图，设 A，B 在准线上的射影分别为 D，C，作 BEAD 于 E，设|BF|m，直
19、线 l 的倾斜角为，则|AB|3m，由抛物线的定义知|AD|AF|2m，|BC|BF|m，所以 cos AEAB13，所以 tan 2 2.则 sin28cos2，sin289.又 y24x，知 2p4，故利用弦长公式|AB|2psin292.【链接高考 8】(2014全国卷)设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|()A.303B6 C12 D7 3C F 为抛物线 C：y23x 的焦点，F34，0，AB 的方程为 y0tan 30 x34，即 y 33 x 34.联立y23x，y 33 x 34，得13x272x 3160.x1x27213212，即 xAxB212.由于|AB|xAxBp，所以|AB|212 3212.Thank you for watching!
