1、高考资源网（） 您身边的高考专家2014-2015学年山东省滨州市邹平县双语学校高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分）1集合M=y|y=x21，xR，集合N=x|y=，xR，则MN=( )At|0t3Bt|1t3C（，1），（，1）D2函数f（x）=（a23a+3）ax是指数函数，则a的值是( )Aa=1或a=2Ba=1Ca=2Da0或a13函数的零点个数为( )A3B2C1D04函数f（x）=x3+x2+tx+t在（1，1）上是增函数，则t的取值范围是( )At5Bt5Ct5Dt55已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x+2）=，当1x2时，f（x）=x2则f（6
2、.5）等于( )A4.5B4.5C0.5D0.56数列an是正项等比数列，bn是等差数列，且a6=b7，则有( )Aa3+a9b4+b10Ba3+a9b4+b10Ca3+a9b4+b10Da3+a9与b4+b10 大小不确定7直线xsiny+1=0的倾斜角的变化范围是( )A（0，）B（0，）C，D0，）8方程表示的曲线是( )A一个圆B两个半圆C两个圆D半圆9已知两点A（2，0），B（0，2），点C是圆x2+y22x=0上的任意一点，则ABC的面积最小值是( )A3B3+CD10设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0c，则这两条
3、直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A，B，C，D，二、填空题（每题5分）11已知数列an满足，则该数列前26项的和为_12函数y=x2（x0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_13已知实数x，y满足x2+y2=1，则的取值范围是_14过直线x+y2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点P的坐标是_15若曲线y=与直线y=x+b始终有交点，则b的取值范围是_三、解答题（书写规范推演步骤，共75分）16已知向量=（cosx，），=（sinx，cos2x）函数f（x）=（1）写出函数f（
4、x）的最小正周期和对称轴方程（2）求函数f（x）的单调区间（3）当x，时求函数f（x）的最值17设等差数列an的前n项和为Sn，且（c是常数，nN*），a2=6（）求c的值及数列an的通项公式；（）证明：18设数列an的前n项积为Tn，Tn=1an，（1）证明是等差数列；（2）求数列的前n项和Sn19已知以点C（t，） （tR，t0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点（1）求证：AOB的面积为定值；（2）设直线2x+y4=0与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程20（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y212x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2
5、）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B（）求k的取值范围；（）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由21（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数（1）当a=1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e上的最大值为3，求a的值；（3）当a=1时，试推断方程|f（x）|=是否有实数解2014-2015学年山东省滨州市邹平县双语学校高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分）1集合M=y|y=x21，xR，集合N=x|y=，xR，则MN=( )At|0t3Bt|1t3C（，1），（，1）D【考点】
6、交集及其运算 【专题】计算题【分析】求出集合M中函数的值域得到集合M，求出集合N中函数的定义域得到集合N，求出两集合的交集即可【解答】解：由集合M中的函数y=x21，可得y1，所以集合M=y|y1；由集合N中的函数y=，得到9x20，即（x+3）（x3）0，解得：3x3，所以集合N=x|3x3，则MN=t|1t3故选B【点评】此题属于以函数的定义域和值域为平台，考查了交集的运算，是一道基础题2函数f（x）=（a23a+3）ax是指数函数，则a的值是( )Aa=1或a=2Ba=1Ca=2Da0或a1【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【专题】函数的性质及应用【分析】由指数函数的定义，得
7、a23a+3=1，且a0，a1，解出即可【解答】解：由指数函数的定义，得，解得a=2故选C【点评】本题考查指数函数的定义，准确理解指数函数的定义是解决本题的关键3函数的零点个数为( )A3B2C1D0【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 【分析】分段解方程，直接求出该函数的所有零点由所得的个数选出正确选项【解答】解：当x0时，令x2+2x3=0解得x=3；当x0时，令2+lnx=0解得x=100，所以已知函数有两个零点，故选：B【点评】本题考查函数零点的概念，以及数形结合解决问题的方法，只要画出该函数的图象不难解答此题4函数f（x）=x3+x2+tx+t在（1，1）上是增函数，则t的取值
8、范围是( )At5Bt5Ct5Dt5【考点】利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的综合应用【分析】函数f（x）=x3+x2+tx+t在（1，1）上是增函数，所以会得到f（x）在（1，1）上应是f（x）0，函数在端点处有定义，所以f（1）0，f（1）0，并且f（1）f（1），这样会得到三个关于t的不等式，解不等式便能求出t的取值范围【解答】解：f（x）=3x2+2x+t，由题意知，要使函数f（x）=x3+x2+tx+t在（1，1）上是增函数，则t应满足：即：解得t5，故选C【点评】本题用到的一个知识点是：如果一个函数在一个开区间上是单调函数，并且函数在区间端点有定义，那么它在闭区间上也是单调函
9、数，并且单调性和开区间上一致5已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x+2）=，当1x2时，f（x）=x2则f（6.5）等于( )A4.5B4.5C0.5D0.5【考点】函数奇偶性的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】由已知中f（x+2）=，可得f（x）是周期为4的周期函数，再由f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（6.5）=f（1.5），代入可得答案【解答】解：函数f（x）满足f（x+2）=，故f（x+4）=f（x+2）+2=f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，故f（6.5）=f（2.5）=f（1.5）=f（1.5），又当1x2时，f（x）=x2f（1.5）=0.5，故选：C【
10、点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档6数列an是正项等比数列，bn是等差数列，且a6=b7，则有( )Aa3+a9b4+b10Ba3+a9b4+b10Ca3+a9b4+b10Da3+a9与b4+b10 大小不确定【考点】数列的函数特性 【专题】等差数列与等比数列【分析】由于bn是等差数列，可得b4+b10=2b7已知a6=b7，于是b4+b10=2a6由于数列an是正项等比数列，可得a3+a9=2a6即可得出【解答】解：bn是等差数列，b4+b10=2b7，a6=b7，b4+b10=2a6，数列an是正项等比数列，a3+a9=2a6，a3+a
11、9b4+b10故选：B【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题7直线xsiny+1=0的倾斜角的变化范围是( )A（0，）B（0，）C，D0，）【考点】直线的倾斜角 【专题】直线与圆【分析】由已知直线方程求出直线斜率的范围，再由斜率为直线倾斜角的正切值得答案【解答】解：由xsiny+1=0，得此直线的斜率为sin1，1设其倾斜角为（0），则tan1，10，）故选：D【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题8方程表示的曲线是( )A一个圆B两个半圆C两个圆D半圆【考点】曲线与方程 【专题】计算题；数形结合【分析】方程两边平方后可整理出
12、圆的方程，推断出方程表示的曲线为一个圆【解答】解：两边平方，可变为（x1）2+（y1）2=1，表示的曲线为以（1，1）为圆心，1为半径的圆；故选A【点评】本题主要考查了曲线与方程解题的过程中注意x的范围，注意数形结合的思想9已知两点A（2，0），B（0，2），点C是圆x2+y22x=0上的任意一点，则ABC的面积最小值是( )A3B3+CD【考点】直线和圆的方程的应用 【专题】直线与圆【分析】求出直线方程，圆心坐标与半径，从而可得圆上的点到直线距离的最小值进而可求ABC的面积最小值【解答】解：直线AB的方程为，即xy+2=0圆x2+y22x=0，可化为（x1）2+y2=1，圆心（1，0）到直线
13、的距离为d=圆上的点到直线距离的最小值为|AB|=ABC的面积最小值是=故选A【点评】本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式，考查三角形面积的计算，属于中档题10设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0c，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A，B，C，D，【考点】两条平行直线间的距离 【专题】直线与圆【分析】利用方程的根，求出a，b，c的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值【解答】解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，所以a+b=1，ab=c，两条直线之间的距离d=，d2=，因为0c，
14、所以14c1，即d2，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是，故选：A【点评】本题考查平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查计算能力二、填空题（每题5分）11已知数列an满足，则该数列前26项的和为10【考点】数列递推式；数列的求和 【专题】计算题【分析】由可分别求a2，a3，a4通过计算前几项可得数列以4为周期且，从而可求【解答】解：=1，=，=1=a1，=2=a2an是以4为周期的周期数列且S26=a1+a2+a3+a26=6（a1+a2+a3+a4）+a1+a2=10故答案为：10【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的和，解题的关键是由前几项发现数列周期性的规律
15、12函数y=x2（x0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=21【考点】抛物线的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出函数y=x2在点（ak，ak2）处的切线方程，然后令y=0代入求出x的值，再结合a1的值得到数列的通项公式，再得到a1+a3+a5的值【解答】解：在点（ak，ak2）处的切线方程为：yak2=2ak（xak），当y=0时，解得，所以故答案为：21【点评】考查函数的切线方程、数列的通项13已知实数x，y满足x2+y2=1，则的取值范围是，+）【考点】直线与圆的位置关系 【专题】计算题；直线
16、与圆【分析】由题意，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子形式可以联想成在单位圆上动点P与定点A构成的斜率，进而求解【解答】解：由题意作出如下图形：令k=，则k可看作圆x2+y2=1上的动点P到定点A（1，2）的连线的斜率而相切时的斜率，由于此时直线与圆相切，设直线方程为：y+2=k（x+1），化为直线一般式为：kxy+k2=0，利用直线与圆相切建立关于k的方程为：=1，k=而由题意及点P所在的位置图可以知道斜率k临界下时斜率为，而由于点A的横坐标与单位圆在x轴的交点横坐标一样，此时过点A与单位圆相切的直线的倾斜角为90，所以斜率无最大值综合可得，的取值范围是，+）故答案为：，+）【点评】此
17、题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想14过直线x+y2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点P的坐标是（，）【考点】圆的切线方程；两直线的夹角与到角问题 【专题】直线与圆【分析】根据题意画出相应的图形，设P的坐标为（a，b），由PA与PB为圆的两条切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，OB与BP垂直，再由切线长定理得到PO为角平分线，根据两切线的夹角为60，求出APO和BPO都为30，在直角三角形APO中，由半径AO的长，利用30角所对的直角边等于斜边的一半求出OP的长，由P和O的坐标，利
18、用两点间的距离公式列出关于a与b的方程，记作，再由P在直线x+y2=0上，将P的坐标代入得到关于a与b的另一个方程，记作，联立即可求出a与b的值，进而确定出P的坐标【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：直线PA和PB为过点P的两条切线，且APB=60，设P的坐标为（a，b），连接OP，OA，OB，OAAP，OBBP，PO平分APB，OAP=OBP=90，APO=BPO=30，又圆x2+y2=1，即圆心坐标为（0，0），半径r=1，OA=OB=1，OP=2AO=2BO=2，=2，即a2+b2=4，又P在直线x+y2=0上，a+b2=0，即a+b=2，联立解得：a=b=，则P的坐标为（，）
19、故答案为：（，）【点评】此题考查了圆的切线方程，涉及的知识有：切线的性质，切线长定理，含30直角三角形的性质，以及两点间的距离公式，利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键15若曲线y=与直线y=x+b始终有交点，则b的取值范围是1，【考点】直线与圆的位置关系；曲线与方程 【专题】计算题；数形结合；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据曲线方程的特点得到此曲线的图象为一个半圆如图所示，然后分别求出相切、过（1，0）及过（1，0）的直线方程，利用图象即可得到满足条件的b的范围【解答】解：曲线y=代表半圆，图象如图所示当直线与半圆相切时，圆心（0，0）到直线y=x+b的
20、距离d=r=1，解得b=，b=（舍去），当直线过（1，0）时，把（1，0）代入直线方程y=x+b中解得b=1；当直线过（1，0）时，把（1，0）代入直线方程y=x+b中解得b=1根据图象可知直线与圆有交点时，b的取值范围是：1，；当有一个交点时，b的取值范围为：1，1）；当有两个交点时，b的取值范围是：1，）故答案为：1，【点评】本题考查学生掌握直线与圆的位置关系的判别方法，灵活运用数形结合的数学思想解决实际问题是一道综合题三、解答题（书写规范推演步骤，共75分）16已知向量=（cosx，），=（sinx，cos2x）函数f（x）=（1）写出函数f（x）的最小正周期和对称轴方程（2）求函数f（
21、x）的单调区间（3）当x，时求函数f（x）的最值【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算 【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】（1）利用向量数量积的坐标计算公式，以及二倍角公式，两角差的正弦公式，化简得到f（x），根据周期的定义和对称轴的定义即可期求出；（2）利用三角函数的单调性即可求出单调区间；（3）先判断单调性，即可求出最值【解答】解：（1）向量=（cosx，），=（sinx，cos2x）函数f（x）=（cosxsinxcos2x）=（sin2xcos2x）=sin（2x），T=，2x=k+，即x=+，kZ，函数f（x）的最小正周期为
22、和对称轴方程x=+，kZ，（2）+2k2x+2k，+2k2x+2k，kZ，+kx+k，+kx+k，kZ，函数f（x）在+k，+k上为减函数，在+k，+k，kZ，上为增函数，（3）由（2）可知，函数f（x）在，为减函数，在，上为增函数，当x=时，f（x）有最小值，最小值为f（）=1，f（）=sin（）=1，f（）=sin（）=，f（x）的最大值为1【点评】本题考查向量坐标计算公式、二倍角公式、三角函数的单调性周期对称轴最值，属于中档题17设等差数列an的前n项和为Sn，且（c是常数，nN*），a2=6（）求c的值及数列an的通项公式；（）证明：【考点】等差数列的前n项和；数列的求和 【专题】计算
23、题；证明题【分析】（）根据，令n=1代入求出a1，令n=2代入求出a2，由a2=6即可求出c的值，由c的值即可求出首项和公差，根据首项和公差写出等差数列的通项公式即可；（）利用数列的通项公式列举出各项并代入所证不等式的坐标，利用=（），把各项拆项后抵消化简后即可得证【解答】解：（）解：因为，所以当n=1时，解得a1=2c，当n=2时，S2=a2+a2c，即a1+a2=2a2c，解得a2=3c，所以3c=6，解得c=2，则a1=4，数列an的公差d=a2a1=2，所以an=a1+（n1）d=2n+2；（）因为=因为nN*，所以【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值
24、，会利用拆项法进行数列的求和，是一道综合题18设数列an的前n项积为Tn，Tn=1an，（1）证明是等差数列；（2）求数列的前n项和Sn【考点】数列的求和；等差关系的确定 【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）利用等差数列的定义，由题意可得=1，即可得出证明；（2）由（1）可得=1=n，利用等差数列求和公式即可得出结论【解答】解：（1）由题意得Tn=1an，Tn+1=1an+1，由得an+1=，an+1=，=1，又由T1=1a1得a1=，=2，是首项为2，公差为1的等差数列；（2）由（1）得=2+（n1）=n+1，an=1Tn，=1=n，sn=1+2+3+n=【点评】本题主要考查等差数列的定
25、义、性质及前n项和公式的应用，属于基础题19已知以点C（t，） （tR，t0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点（1）求证：AOB的面积为定值；（2）设直线2x+y4=0与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程【考点】圆的标准方程；三角形的面积公式 【专题】直线与圆【分析】（1）设出圆C的方程，求得A、B的坐标，再根据SAOB=OAOB，计算可得结论 （2）设MN的中点为H，则CHMN，根据C、H、O三点共线，KMN=2，由直线OC的斜率k=，求得t的值，可得所求的圆C的方程【解答】解：（1）证明：由题设知，圆C的方程为（xt）2+（y）2=t2+，化简得x2
26、2tx+y2y=0当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；当x=0时，y=0或，则B，SAOB=OAOB=|2t|=4为定值 （2）解OM=ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CHMN，C、H、O三点共线，KMN=2，则直线OC的斜率k=，t=2或t=2圆心为C（2，1）或C（2，1），圆C的方程为（x2）2+（y1）2=5或（x+2）2+（y+1）2=5由于当圆方程为（x+2）2+（y+1）2=5时，直线2x+y4=0到圆心的距离dr，此时不满足直线与圆相交，故舍去，所求的圆C的方程为（x2）2+（y1）2=5【点评】本题主要考查求圆的标准方程，两条直线垂直的性质，属于中
27、档题20（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y212x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B（）求k的取值范围；（）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由【考点】直线和圆的方程的应用；向量的共线定理 【专题】计算题；压轴题【分析】（）先把圆的方程整理成标准方程，进而求得圆心，设出直线方程代入圆方程整理后，根据判别式大于0求得k 的范围，（）A（x1，y1），B（x2，y2），根据（1）中的方程和韦达定理可求得x1+x2的表达式，根据直线方程可求得y1+y2的表达式，进而根据以与共线可推知（x1+x2）=3
28、（y1+y2），进而求得k，根据（1）k的范围可知，k不符合题意【解答】解：（）圆的方程可写成（x6）2+y2=4，所以圆心为Q（6，0），过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2代入圆方程得x2+（kx+2）212x+32=0，整理得（1+k2）x2+4（k3）x+36=0 直线与圆交于两个不同的点A，B等价于=4（k3）2436（1+k2）=42（8k26k）0，解得，即k的取值范围为（）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由方程，又y1+y2=k（x1+x2）+4 而所以与共线等价于（x1+x2）=3（y1+y2），将代入上式，解得由（）知，故没有符合题意的常数k【点评】本
29、题主要考查了直线与圆的方程的综合运用常需要把直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理和判别式求得问题的解21（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数（1）当a=1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e上的最大值为3，求a的值；（3）当a=1时，试推断方程|f（x）|=是否有实数解【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【专题】压轴题；导数的综合应用【分析】（1）在定义域（0，+）内对函数f（x）求导，求其极大值，若是唯一极值点，则极大值即为最大值（2）在定义域（0，+）内对函数f（x）求导，对a进行分类讨论并判断其单调性，
30、根据f（x）在区间（0，e上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为3，若是就可求出相应的最大值（3）根据（1）可求出|f（x）|的值域，通过求导可求出函数g（x）的值域，通过比较上述两个函数的值域，就可判断出方程|f（x）|=是否有实数解【解答】解：（1）易知f（x）定义域为（0，+），当a=1时，f（x）=x+lnx，f（x）=1+，令f（x）=0，得x=1当0x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数f（x）max=f（1）=1函数f（x）在（0，+）上的最大值为1（2）f（x）=a+，x（0，e，若a，则f（x）0，从而f（x）在（0
31、，e上增函数，f（x）max=f（e）=ae+10，不合题意若a，则由f（x）00，即0x由f（x）00，即xe从而f（x）在上增函数，在为减函数f（x）max=f=1+ln令1+ln=3，则ln=2=e2，即a=e2e2，a=e2为所求（3）由（1）知当a=1时f（x）max=f（1）=1，|f（x）|1又令g（x）=，g（x）=，令g（x）=0，得x=e，当0xe时，g（x）0，g（x） 在（0，e）单调递增；当xe时，g（x）0，g（x） 在（e，+）单调递减g（x）max=g（e）=1，g（x）1，|f（x）|g（x），即|f（x）|方程|f（x）|=没有实数解【点评】本题先通过对函数求导，求其极值，进而在求其最值及值域，用到分类讨论的思想方法高考资源网版权所有，侵权必究！
