1、第二部分 讲练篇 解密高考 圆锥曲线问题巧在“设”、难在“算”思维导图技法指津圆锥曲线解答题的常见类型是：第(1)小题通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单第(2)小题往往是通过方程研究曲线的性质弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点”“线”，设而不求在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出；第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系；第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何
2、问题中在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，选用恰当运算方法，合理地简化运算,母题示例：2019 年全国卷，本小题满分 12 分 已知曲线 C：yx22，D 为直线 y12上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.(1)证明：直线 AB 过定点；(2)若以 E0，52 为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程.本题考查：直线过定点问题以及圆的方程的求法，考查学生的直观想象及数学运算等核心素养.审题指导发掘条件(1)看到证明直线 AB 过定点，想到利用合适的参数表示直线 AB的方程(2)看到求圆的方程，想到求圆心坐标及半径本题已知圆心E0，52
3、，可根据圆 E 与直线 AB 相切于 AB 的中点确定半径 规范解答评分标准(1)证明：设 Dt，12，A(x1，y1)，则 x212y1.2 分 由于 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1，故y112x1tx1.整理得 2tx12y110.设 B(x2，y2)，同理可得 2tx22y210.4分故直线 AB 的方程为 2tx2y10.所以直线 AB 过定点0，12.6 分(2)由(1)得直线 AB 的方程为 ytx12.由ytx12，yx22可得 x22tx10，7 分于是 x1x22t，y1y2t(x1x2)12t21.8 分设 M 为线段 AB 的中点，则 Mt，t212.由于EM AB
4、，而EM(t，t22)，AB与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0，解得 t0 或 t1.10 分当 t0 时，|EM|2，所求圆的方程为 x2y5224；11 分当 t1 时，|EM|2，所求圆的方程为 x2y5222.12 分构建模板四步解法 解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤母题突破 1：2019 年郑州模拟设抛物线 E：y22px(p0)的焦点为 F，直线 xp 与 E 交于 A，B 两点，ABF 的面积为 8 2.(1)求 E 的方程；(2)若 M，N 是 E 上的两个动点，|MF|NF|8，试问：是否存在定点 S，使得|SM|SN|？若存在，求出 S 的坐标；若不存在，请说明
5、理由解(1)依题意得 Fp2，0.由 xp，y22px，得 y 2p，不妨设 A(p，2p)，B(p，2p)，则|AB|2 2p.又 F 到直线 AB 的距离为p2，所以 SABF122 2pp2 22 p2.依题意得，22 p28 2，解得 p4，所以 E 的方程为 y28x.(2)法一：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点为 C(x0，y0)，则 x0 x1x22，y0y1y22.由抛物线的定义，得|MF|NF|x12x22，因为|MF|NF|8，所以 x1x24，所以 x02.当 x1x2 时，y1y20，kMNy2y1x2x1y2y1y228y2188y1y24y0，则
6、线段 MN 的垂直平分线为 yy0y04(x2)，即 yy04(x6)，所以线段 MN 的垂直平分线恒过定点 S(6,0)；当 x1x2 时，线段 MN 的垂直平分线为 x 轴，它也过点 S(6,0)综上，存在定点 S(6,0)，使得|SM|SN|.法二：假设存在定点 S，使得对 E 上满足条件的动点 M，N 恒有|SM|SN|，由对称性可知，点 S 必在 x 轴上，故可设 S(t,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由抛物线的定义，得|MF|NF|x12x22，因为|MF|NF|8，所以 x1x24，由|SM|SN|，得 x1t2y21 x2t2y22，所以(x1t)28x1(x2t)2
7、8x2，即(x1x2)(82t)(x1x2)0，所以(6t)(x1x2)0，因为对满足条件的任意 M，N 恒成立，所以 t6.故存在定点 S(6,0)，使得|SM|SN|.法三：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点为 C(x0，y0)由抛物线的定义，得|MF|NF|x12x22，因为|MF|NF|8，所以 x1x24，故 x02.当直线 MN 的斜率存在时，可设其方程为 ykxb(k0)，由ykxby28x，得 ky28y8b0.6432kb，令 0，得 kb2.由根与系数的关系得 y1y28k，所以 y0y1y224k，所以线段 MN 的垂直平分线为 y4k1k(x2)，即
8、y1k(x6)，所以线段 MN 的垂直平分线恒过定点 S(6,0)当直线 MN 的斜率不存在时，M，N 关于 x 轴对称，S(6,0)显然符合题意 综上，存在定点 S(6,0)，使得|SM|SN|.母题突破 2：2019 年济南模拟已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，椭圆 C 和抛物线 y2x 交于 M，N 两点，且直线 MN 恰好过椭圆 C 的右焦点 F.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)经过点 F 的直线 l 和椭圆 C 交于 A，B 两点，交抛物线于 C，D 两点，P 是抛物线的焦点，是否存在直线 l，使得 SOCD97SPAB？若存在，求出直线 l 的方程；若
9、不存在，请说明理由解(1)由ca 22 和 a2b2c2，可设 a2，则 c 2，b 2，其中 0.由题意不妨设 M(c，c)，代入椭圆方程，得c2a2 cb21，即12 2221，解得 2，从而 a2 2，b2，c2.故所求椭圆方程为x28y241.(2)假设存在满足条件的直线 l，结合已知条件易知直线 l 的斜率存在且不为零，可设直线 l 为 yk(x2)，k0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)由条件知 P14，0，F(2,0)，SOCDSPAB SOCD78SOAB8SOCD7SOAB8|CD|7|AB|97，故|CD|AB|98.由x28y241，
10、ykx2得(12k2)x28k2x8k280，132k2320，x1x2 8k212k2，x1x28k2812k2，则|AB|1k2|x1x2|4 21k212k2.由ykx2，y2x，得 k2x2(4k21)x4k20，28k210，x3x44k21k2，x3x44，则|CD|1k2|x3x4|1k218k2k2.由|CD|AB|98得，1k218k2k24 21k212k298，即12k2 18k2k2 1k2 92，即 81k4(1k2)2(12k2)2(18k2)，整理得 17k69k424k220，即(k21)(17k426k22)0，解得 k1.故存在直线 l：yx2 或 yx2 满足题意Thank you for watching!
