1、5.1.2 弧度制【学习目标】课程标准学科素养1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系3.掌握并能应用弧度制下的扇形、弧长公式和面积公式.1.直观想象2.数学运算【自主学习】一度量角的两种单位制1.角度制：(1)定义：用 作为单位来度量角的单位制(2)1度的角：周角的 .2.弧度制：(1)定义：以 作为单位来度量角的单位制(2)1弧度的角：长度等于 的圆弧所对的圆心角3.弧度数一般地，正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .如果半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么，角的弧度数的绝对值是| .
2、这里，的正负由角的终边的旋转方向决定思考1：比值与所取的圆的半径大小是否有关？4.弧度制与角度制的换算公式角度化弧度弧度化角度360 rad2 rad 180 rad rad 1 rad0.017 45 rad1 rad()57.305.一些特殊角与弧度数的对应关系度030456090120135150180270360弧度026.角的集合与实数集R的关系角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起 的关系：每一个角都有 的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有 的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，如图二扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长
3、为l，(02)为其圆心角，则1.弧长公式：l .2.扇形面积公式：S .注意：(1)为弧度制(2)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：l|r，|，r；S|r2，|.思考2：扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？【小试牛刀】1.思辨解析(正确的打“”，错误的打“”)(1)1弧度的角大于1度的角. ()(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值()(3)1弧度的角是周角的. ()(4)与45终边相同的角可以写成2k45，kZ.()2.2 rad的角的终边在()A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限3.半径为2，圆心角为
4、的扇形的面积是_【经典例题】题型一 角度制与弧度制的互化点拨：角度制与弧度制互化的关键与方法1.关键：抓住互化公式 rad180是关键；2.方法：度数弧度数；弧度数度数；3.角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.例1 将下列角度与弧度进行互化(1)20；(2)15；(3)；(4).【跟踪训练】1 (1)已知15，1，105，试比较它们的大小(2)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02，并判断它是第几象限角？题型二 用弧度制表示终边相同的角点拨：1.弧度制下与角终边相同的角的表示在弧度制下，与角的终边相同的角可以表示为|2k，kZ，即与角终边相同的角可以表示成加上2的整数倍2.根据
5、已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形(2)写出区域边界作为终边时角的表示(3)用不等式表示区域范围内的角例2将1125写成2k(kZ)的形式，其中02.并判断它是第几象限角？【跟踪训练】2 用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角的集合.题型三 弧长公式与扇形面积公式的应用点拨：弧度制下解决扇形相关问题的步骤1.明确弧长公式和扇形的面积公式：l|r，Sr2和Slr.(这里必须是弧度制下的角)2.分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式3.根据条件列方程(组)或建立目标函数求解注意：看清角的度量制，恰当选用公式例3 (1)求半径为2，圆心角为的圆弧的长度 (2)已知扇形的周长为
6、10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数【跟踪训练】3 已知扇形AOB的周长为10 cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长【当堂达标】1.圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是()A. rad B rad C. rad D rad2.(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A.2k45(kZ) B.k360(kZ) C.k360315(kZ)D.2k(kZ)3.135化为弧度为_，化为角度为_.4.已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为_ cm2.5.用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合6.
7、已知扇形OAB的周长是60 cm，求扇形OAB的最大面积及此时弧长AB.【参考答案】【自主学习】一1.度 2.弧度 半径长 3.正数 负数 0 思考1：一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关4. 2 360 180 6. 一一对应 唯一 唯一二R lR R2思考2：扇形的面积公式与三角形的面积公式类似实际上，扇形可看作是一个曲边三角形，弧是底，半径是底上的高【小试牛刀】1. (1) (2)(3)(4)2.B3.解析：由已知得S扇22.【经典例题】例1 解：(1)20.(2)15.(3)180105.(4)180396.【跟踪训练】1 解析：(1)法一：(化为弧度)
8、：1515，105105，显然1.故.法二：(化为角度)：()18，157.30，()105.显然，151857.30105.故.(2)1 4801 48010，其中02，因为是第四象限角，所以1 480是第四象限角例2 解：1 1251 1258.其中2，因为是第四象限角，所以1 125是第四象限角.【跟踪训练】2 解：终边落在射线OA上的角为135k360，kZ，即2k，kZ.终边落在射线OB上的角为30k360，kZ，即2k，kZ，故终边落在阴影部分的角的集合为例3 解：(1)半径R2，圆心角，弧长l|R.(2)设扇形的半径为r，弧长为l，所对圆心角为(02，不符合，舍去；当r4时，l2
9、，此时(rad)所求圆心角的弧度数为rad. 【跟踪训练】3 解：设扇形圆心角的弧度数为(02)，弧长为l，半径为r，面积为S，由l2r10得l102r，Slr(102r)r5rr22，0r5.当r时，S取得最大值，这时l1025，2.故该扇形的面积的最大值为cm2，取得最大值时圆心角为2 rad，弧长为5 cm.【当堂达标】1.B 解析：由弧度数公式，得，因此圆弧所对的圆心角是 rad.2.CD 解析：A、B中弧度与角度混用，不正确；2，所以与终边相同.31536045，所以315也与45终边相同，即与终边相同.3. 660 解析：135135；180660.4. 4 解析：设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l2r，从而扇形的周长为l2r4r8，解得r2，则l4.故扇形的面积Slr424 cm2.5. 解：对于题图(1)，225角的终边可以看作是135角的终边，化为弧度，即，60角的终边即的终边，所求集合.对于题图(2)，同理可得，所求集合为.6. 解：设弧长为l，半径为r，由已知l2r60，所以l602r，|，从而S|r2r2r230r(r15)2225，当r15时，S取最大值为225，这时圆心角2 rad，可得弧长ABr21530 (cm)
