1、6.2等差数列考试要求1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系知识梳理1等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为anan1d(常数)(n2，nN*)(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A.2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：
2、Snna1d或Sn.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.(6)等差数列an的前n项和为Sn，为等差数列常用结论1已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列，且公差为p.2在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小值3等差数列an的单调
3、性：当d0时，an是递增数列；当d0，则d，得a1d2，所以(n1)dnd，所以Snn2d2，所以anSnSn1n2d2(n1)2d22d2nd2(n2)，是关于n的一次函数，且a1d2满足上式，所以数列an是等差数列高考改编已知数列an中，a11，前n项和为Sn，且满足nSn1(n1)Snn2n0，证明：数列是等差数列，并求an的通项公式解因为nSn1(n1)Snn2n0，所以nSn1(n1)Snn(n1)，所以，a11，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，n，所以Snn2n，当n2时，anSnSn1n2n3n2，当n1时，上式也成立，所以an3n2.教师备选(2022烟台模拟)已知在数
4、列an中，a11，an2an11(n2，nN*)，记bnlog2(an1)(1)判断bn是否为等差数列，并说明理由；(2)求数列an的通项公式解(1)bn是等差数列，理由如下：b1log2(a11)log221，当n2时，bnbn1log2(an1)log2(an11)log2log21，bn是以1为首项，1为公差的等差数列(2)由(1)知，bn1(n1)1n，an12n，an2n1.思维升华判断数列an是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意nN*，an1an是同一常数(2)等差中项法：对任意n2，nN*，满足2anan1an1.(3)通项公式法：对任意nN*，都满足anpnq(p，q为常数
5、)(4)前n项和公式法：对任意nN*，都满足SnAn2Bn(A，B为常数)跟踪训练2已知数列an满足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)求a2，a3；(2)证明数列是等差数列，并求an的通项公式解(1)由题意可得a22a14，则a22a14，又a11，所以a26.由2a33a212，得2a3123a2，所以a315.(2)由已知得2，即2，所以数列是首项为1，公差为d2的等差数列，则12(n1)2n1，所以an2n2n.题型三等差数列的性质命题点1等差数列项的性质例3(1)已知数列an满足2anan1an1(n2)，a2a4a612，a1a3a59，则a3a4等于()A6B7C8D
6、9答案B解析因为2anan1an1，所以an是等差数列，由等差数列性质可得a2a4a63a412，a1a3a53a39，所以a3a4347.(2)(2022崇左模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3a4a5a6a7150，则S9等于()A225B250C270D300答案C解析等差数列an的前n项和为Sn，且a3a4a5a6a7150，a3a4a5a6a75a5150，解得a530，S9(a1a9)9a5270.命题点2等差数列前n项和的性质例4(1)已知等差数列an的前n项和为Sn，若S1010，S2060，则S40等于()A110B150C210D280答案D解析因为等差数列an的
7、前n项和为Sn，所以S10，S20S10，S30S20，S40S30也成等差数列故(S30S20)S102(S20S10)，所以S30150.又因为(S20S10)(S40S30)2(S30S20)，所以S40280.(2)等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有，则的值为_答案解析，.延伸探究将本例(2)部分条件改为若，则_.答案解析，.教师备选1若等差数列an的前15项和S1530，则2a5a6a10a14等于()A2B3C4D5答案A解析S1530，(a1a15)30，a1a154，2a84，a82.2a5a6a10a14a4a6a6a10a14a4a10a14
8、a10a8a10a82.2已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12020，6，则S2023等于()A2023B2023C4046D4046答案C解析为等差数列，设公差为d，则6d6，d1，首项为2020，2020(20231)12，S2023202324046.思维升华(1)项的性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.(2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1)S2n1(2n1)an.依次k项和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列跟踪训练3(1)(2021北京)an和bn是两个等差数列，
9、其中(1k5)为常值，若a1288，a596，b1192，则b3等于()A64B128C256D512答案B解析由已知条件可得，则b564，因此，b3128.(2)(2022吕梁模拟)已知Sn为等差数列an的前n项和，满足a33a1，a23a11，则数列的前10项和为()A.B55C.D65答案C解析设等差数列an的公差为d，则所以a11，d1，所以Snn，所以，所以，所以是以1为首项，为公差的等差数列，数列的前10项和T1010.课时精练1(2022信阳模拟)在等差数列an中，若a3a930，a411，则an的公差为()A2B2C3D3答案B解析设公差为d，因为a3a92a630，所以a61
10、5，从而d2.2(2022莆田模拟)已知等差数列an满足a3a6a8a1112，则2a9a11的值为()A3B3C12D12答案B解析由等差中项的性质可得，a3a6a8a114a712，解得a73，a7a112a9，2a9a11a73.3(2022铁岭模拟)中国古代数学名著张邱建算经中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给则第一等人(得金最多者)得金斤数是()A.B.C.D.答案A解析由题设知在等差数列an中，a1a2a34，a7a8a9a103.所以3a13d4,4a130d3，解
11、得a1.4(2022山东省实验中学模拟)已知等差数列an的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为()A28B29C30D31答案B解析设等差数列an共有2n1项，则S奇a1a3a5a2n1，S偶a2a4a6a2n，该数列的中间项为an1，又S奇S偶a1(a3a2)(a5a4)(a2n1a2n)a1ddda1ndan1，所以an1S奇S偶31929029.5等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3a8a13是一个定值，则下列各数也为定值的是()Aa11Ba12CS15DS16答案C解析由等差中项的性质可得a3a8a133a8为
12、定值，则a8为定值，S1515a8为定值，但S168不是定值6在等差数列an中，若0成立的正整数n的最大值是()A15B16C17D14答案C解析等差数列an的前n项和有最大值，等差数列an为递减数列，又0，a100，且a9a100，又S189(a9a10)0，使Sn0成立的正整数n的最大值是17.7(2019北京)设等差数列an的前n项和为Sn.若a23，S510，则a5_.答案0解析设等差数列an的公差为d，即a5a14d0.8(2022新乡模拟)一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群
13、随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为_答案51解析设该数列为an，依题意可知，a5，a6，成等差数列，且公差为2，a55，设塔群共有n层，则13355(n4)2108，解得n12(n8舍去)故最下面三层的塔数之和为a10a11a123a113(526)51.9(2021全国乙卷)记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积，已知2.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求an的通项公式(1)证明因为bn是数列Sn的前n项积，所以n2时，Sn，代入2可得，2，整理可得2bn
14、112bn，即bnbn1(n2)又2，所以b1，故bn是以为首项，为公差的等差数列(2)解由(1)可知，bn，则2，所以Sn，当n1时，a1S1，当n2时，anSnSn1.故an10在数列an中，a18，a42，且满足an22an1an0(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设Tn|a1|a2|an|，求Tn.解(1)an22an1an0，an2an1an1an，数列an是等差数列，设其公差为d，a18，a42，d2，ana1(n1)d102n，nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn，则由(1)可得，Sn8n(2)9nn2，nN*.由(1)知an102n，令an0，得n5，当n5时，a
15、n0，S150，d0CS6与S7均为Sn的最大值Da80，所以S147(a1a14)7(a7a8)0，即a7a80，因为S150，所以S1515a80，所以a80，所以等差数列an的前7项为正数，从第8项开始为负数，则a10，d0，S7为Sn的最大值13(2020新高考全国)将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为_答案3n22n解析方法一(观察归纳法)数列2n1的各项为1,3,5,7,9,11,13，；数列3n2的各项为1,4,7,10,13，.观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，是首项为1，公差为6的等差数列，则an16(n1)6n5.故前n项和为
16、Sn3n22n.方法二(引入参变量法)令bn2n1，cm3m2，bncm，则2n13m2，即3m2n1，m必为奇数令m2t1，则n3t2(t1,2,3，)atb3t2c2t16t5，即an6n5.以下同方法一14(2022东莞东方明珠学校模拟)已知等差数列an的首项a11，公差为d，前n项和为Sn.若SnS8恒成立，则公差d的取值范围是_答案解析根据等差数列an的前n项和Sn满足SnS8恒成立，可知a80且a90，所以17d0且18d0，解得d.15定义向量列a1，a2，a3，an从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量(即坐标都是常数的向量)，即anan1d(n2，且nN*)，
17、其中d为常向量，则称这个向量列an为等差向量列这个常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列an的前n项和Sna1a2an.已知等差向量列an满足a1(1,1)，a2a4(6,10)，则向量列an的前n项和Sn_.答案解析因为向量线性运算的坐标运算，是向量的横坐标、纵坐标分别进行对应的线性运算，则等差数列的性质在等差向量列里面也适用，由等差数列的等差中项的性质知2a3a2a4(6,10)，解得a3(3,5)，则等差向量列an的公差向量为d(1,2)，由等差数列的通项公式可得等差向量列an的通项公式为ana1(n1)d(1,1)(n1)(1,2)(1,1)(n1,2n2)(1n1,12n2)(n,2n1)，由等差数列的前n项和公式，可得等差向量列an的前n项和Sn.16在等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.解(1)设数列an的公差为d，由题意得2a15d4，a15d3，解得a11，d，所以an的通项公式为an.(2)由(1)知，bn，当n1,2,3时，12，bn1；当n4,5时，23，bn2；当n6,7,8时，34，bn3；当n9,10时，45，bn4.所以数列bn的前10项和为1322334224.
