1、1高中数学知识辞典 目录初中部分.2一、乘法公式.2二、二次函数.2高中部分.3一、集合与常用逻辑用语.3二、函数概念与指数函数、对数函数、幂函数.6三、三角函数、三角恒等变换、解三角形.14四、数列.23五、不等式.30六、推理与证明.35七、平面向量.38八、导数及其应用.42九、数系的扩充与复数的引入.52十、立体几何初步.53十一、空间向量与立体几何.59十二、平面解析几何初步.64十三、圆锥曲线与方程.66十四、算法初步.73十五、计数原理.76十六、统计.79十七、概率.81十八、坐标系与参数方程.862高中数学知识辞典初中部分一、乘法公式必须记住的乘法公式（1）平方差公式22()
2、()ab abab（2）完全平方公式222()2abaabb（3）立方和公式3322()()abab aabb（4）立方差公式3322()()abab aabb（5）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac（6）两数和立方公式33223()33abaa babb（7）两数差立方公式3322333abaa babb二、二次函数1.一元二次函数的表达式（1）一般式 2f xaxbxc（0a）（2）顶点式2()()f xa xhk（0a）（3）零点式12()()()f xa xxxx（0a）2.一元二次方程的根与系数的关系如果20(0),0.axbxca 的两根是1x，2x，则121
3、2bxxacx xa 3.一元二次函数根的分布图表：以 2f xaxbxc（0a）为例分布根的12xxk12kxx12xkx图象kkk3充要条件 020bkaf k 020bkaf k 0f k 分布根的1122kxxk11223kxkxk仅有一根在12,k k图象充要条件12120002f kf kbkka 123()0()0()0f kf kf k 120f kf k高中部分一、集合与常用逻辑用语1.元素与集合的含义：一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.2.集合中元素的性质：（1）确定性（2）无序性（3）互异性3.集合分类：（1）数集和点集：如：数集：2|1x yx
4、；2|1y yx；点集：2,|1x yyx（2）有限集和无限集4.集合的表示方法：（1）列举法：如：大于 1 小于 10 的质数，表示为：2,3,5,7（2）描述法：如：大于 1 小于 10 的数，表示为：|110 xx2k2k1k2k1k3k1k4（3）区间表示法：如：|110 xx，表示为：1,10 x（4）图示法：抽象集常用图示法.5.元素与集合、集合与集合之间的基本关系：（1）元素与集合之间的关系：“属于”或“不属于”，记号：“”、“”（2）集合与集合之间的关系：“”、“”、“”、“”、“”、“”、“”、“”（3）空集：不含有任何元素的集合.符号：（4）子集：任意 xAxB则 AB（5
5、）真子集：若 AB且 AB则 AB（6）集合相等：若 AB且 AB则 AB（7）子集的传递性：若,AB BC则 AC（8）子集的个数：设=1,2,3An，则 A 的子集的个数是：2n 个，A 的真子集的个数是：21n 个，A 的非空真子集的个数是：22n 个.6.常见数集的符号：N，*N（N），Z，Q，R；7.集合的基本运算：（1）并集：|,ABx xAxB或（2）交集：|,ABx xAxB且（3）全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作U.（4）补集：|,U Ax xUxA且（5）集合的运算律：UUUABAB，UUUABABABCABAC，A
6、BCABAC8.“若,p 则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题（1）原命题：pq；（2）逆命题：qp；（3）否命题：pq ；（4）逆否命题：qp ；59.四种命题的相互关系：10.充分条件和必要条件：（1）充分条件：若 pq，则 p 是 q 的充分条件（2）必要条件：若 pq，则 p 是 q 的必要条件（3）充要条件：若 pq，则 p 是 q 的充要条件（4）充分不必要条件：p q，则 p 是 q 的充分不必要条件（5）必要不充分条件：p q，则 p 是 q 的必要不充分条件（6）既不充分也不必要条件：p q，且 q p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件11.简单的逻辑联结词：
7、（1）或：pq（2）且：pq（3）非：p（4）pq，pq 的真假pqpqpq真真真真真假真假假真真假假假假假（5）p 的真假pp假真真假612.全称量词与存在量词：（1）全称量词：（2）全称命题：,M P x成立（3）存在量词：（4）特称命题：,M P x成立（5）全称命题的否定：:,:,()pxM p xpxMp x （6）特称命题的否定：:,:,()pxM p xpxMp x （7）一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：正面词语否定词语正面词语否定词语是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有 n 个至多有1n 个小于不小于至多有 n 个至少有1n 个
8、对所有 成立存在某 x,不成立p 或 qp 且q对任何 x,不成立存在某 x,成立p 且 qp 或q二、函数概念与指数函数、对数函数、幂函数1.函数的概念与表示：（1）函数的定义：设 A、B 是两个非空数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f x 和它对应，那么就称 f：AB为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作：yf x（xA）（2）函数的三要素：定义域、对应法则、值域.（3）函数的表示方法：解析法、列表法、图象法.（4）分段函数：如：210220 xxf xxxx（5）复合函数：若 yf u，ug x，则称 yfg x
9、为复合函数.2.映射（1）映射的定义：设 A、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合 A 到集合 B的映射.记作：f：AB.（2）映射的特点：有象、象唯一、原象不能有剩余，原象不能有剩余，但象可以有剩余.（3）一一映射：A 中每一个元素再 B 中都有唯一的象与之对应、A 中不同元素的象不同，B 中7的每一个元素都有原象.3.函数的单调性与最值（1）增函数：f x 定义域为 I，1x，2xDI，当12xx时，都有 12f xf x，称 f x为区间 D 上的增函数；区间 D 叫做 yf x的单调递
10、增区间.（2）减函数：f x 定义域为 I，1x，2xDI，当12xx时，都有 12f xf x，称 f x为区间 D 上的减函数；区间 D 叫做 yf x的单调递减区间.（3）定义的变式如下：设1x，2,xa b那么 1212121200f xf xxxf xf xf xxx在,a b 上是增函数 1212121200f xf xxxf xf xf xxx在,a b 上是减函数（4）基本初等函数加、减、运算后，单调性的判断：增函数 增函数 增函数；减函数 减函数 减函数；增函数 减函数 增函数；减函数 增函数 减函数；（5）复合函数的单调性判断：同增异减（6）最大值：yf x定义域为 I，存
11、在实数 M，xI，都有 f xM且0 xI，使0f xM，称 M 为 f x 的最大值（7）最小值：yf x定义域为 I，存在实数 M，xI，都有 f xM且0 xI，使0f xM，称 M 为 f x 的最小值4.函数的奇偶性、周期性、对称性（1）奇函数：xD，且xD，都有 fxf x，则 f x 为奇函数（2）偶函数：xD，且xD，都有 fxf xfx，则 f x 为偶函数（3）定义的变式如下：xD，且xD，那么 01fxfxf xf xf x 为奇函数 01fxfxf xf xf x 为偶函数（4）图象法判断奇偶性：图象关于原点对称的函数为奇函数；图象关于 y 轴对称的函数为偶函数（5）奇
12、偶函数间的关系：奇函数 偶函数=奇函数8奇函数 奇函数=偶函数偶函数 偶函数=偶函数奇函数奇函数=奇函数偶函数偶函数=偶函数奇函数偶函数=非奇非偶函数（6）周期函数：yf x定义域为 I，xI，存在一个非零常数T，都有 f xTf x，则称函数 yf x为周期函数，称T 为这个函数的周期.最小正周期：如果周期函数 yf x的所有周期中存在最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 yf x的最小正周期（7）函数的周期性相关结论：函数关系(xR)周期 f xTf xT f xTf x 2T 1f xTf x 2Tf xTf xT2Tf xTf xT 4Tf axf axf bxf bx2 ba f a
13、xf axf x为偶函数2af axf axf bxf bx 2 ba f axf axf x 为奇函数2af axf axf bxf bx 4 ba f axf axf x为奇函数4a f axf axf x 为偶函数4a（8）对称性：对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称9（9）函数对称性的相关结论：函数图象的对称轴和对称中心函数满足的条件对称轴(中心)f axf ax的函数 yf x的图象或 2f xfax，2fxfaxxaf axf ax 的函数 yf x或 2f xfax，2fxfax,0af axf bx的函数 yf x的图象2a
14、bxf axf bx 的函数 yf x的图象,02ab f xfx的函数 yf x的图象(偶函数)0 x f xfx 的函数 yf x的图象(奇函数)0,0yf ax与yf bx的两个函数的图象2bax yf x与yfx的两个函数的图象0 x yf x与 yf x 的两个函数的图象0y 5.有理指数幂的含义：如：ba（0a，b 为整数或分数）6.实数指数幂的含义：如：ba（0a，b 为实数）7.幂的运算及指数的运算：rsr saaa（0a，r，sQ）rsr saaa（0a，r，sQ）srrsaa（0a，r，sQ）rrraba b（0a，0b，r Q）rrrbbaa（0a，0b，r Q）mnmn
15、aa（0a，m，n*N，且1n ）11mmnnnmaaa（0a，m，n*N，且1n ）nn aa（a 必须使 n a 有意义，n*N，且1n ）1001a （0a），1aa，11aa（0a）8.指数函数的定义：形如：xya（0a 且1a 的常数）叫做指数函数9.指数函数的图象与性质：10.对数的概念及其运算性质（1）对数的定义：若baN（0a 且1a ），则 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作logabN.（2）对数的性质：几个恒等式（M、N、a、b 都是正数，且 a、1b ）loga NaNlogNaaNlogloglogNbaabN（换底公式）1loglogabbaloglogmnaa
16、nbbmlog1a a log 10a1log1a a （3）对数的运算法则：（0M，0N，0a 且1a 、n*N 且2n）logloglogaaaMNMNlogloglogaaaMMNN loglognaaMnM1loglogmaa MMm1loglognaaMMn（4）常用对数：10loglgNN1a 01a图象654321-1-4-224601654321-1-4-224601性质定义域：R值域：(0,)图象恒过定点：(0,1)在 R 上是增函数在 R 上是减函数非奇非偶函数非奇非偶函数0 x，1xa ；0 x，01xa0 x，01xa；0 x，1xa 11自然对数：loglne NN（
17、2.71828e）11.对数函数的定义：形如：logayx（0a 且1a 的常数）叫做对数函数.12.对数函数的图象和性质：13.指数函数ayx与对数函数logayx互为反函数（0a 且1a ）：（1）反函数的概念：函数 yf x的定义域为 A，值域为 C，由 yf x得 xy.函数 xy是 yf x的反函数，记作：1yfx.（2）求反函数的步骤：1由 yf x解出 1xfy；2将 1xfy中的 x 与 y 互换位置，得 1yfx；3由 yf x的值域，确定 1yfx的定义域.（3）互为反函数的图象关于直线 yx对称.（4）同底的指数函数与对数函数互为反函数.14.幂函数的定义：形如：ayx（
18、x 是自变量，aR）叫做幂函数.15.幂函数 yx，2yx，3yx，1yx，12yx的图象及其性质：（1）常见的 5 种幂函数的图象：1a 01a图象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011性质定义域：(0,)值域：R图象恒过过定点：(1,0)在(0,)上是增函数在(0,)上是增函数1x ，log0a x 01x，log0a x 01x，log0a x 1x ，log0a x 12yx3yx12yxyx1xy 1O12（2）常见的5 种幂函数的性质特征：函数特征性质yx2
19、yx3yx12yx1yx定义域RRR0,00,值域R0,R0,00,奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增0,x增,0 x 减.增增0,x 减,0 x 减定点1,1（3）幂函数的性质及图像变化规律：0a时，幂函数在区间(0,)上是增函数特别地，当1a时，幂函数的图像下凸；当 01a时，幂函数的图像上凸；0a时，幂函数在区间(0,)上是减函数在第一象限内，当 x 从右边趋向原点时，图像在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当 x 趋于 时，图像在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴16.函数的图象：（1）作图的基本步骤：列表、描点、连线首先：确定函数的定义域、化简函数解析式、讨论函数的性质；其次：列表
20、（注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等）、描点、连线（2）平移变换：设函数 yf x，其他参数均为正数 f xf xa：f x 的图象向左平移 a 个单位13 f xf xa：f x 的图象向右平移 a 个单位 f xf xb：f x 的图象向上平移b 个单位 f xf xb：f x 的图象向下平移b 个单位（3）伸缩变换：设函数 yf x，其他参数均为正数 f xf kx：f x 的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的 1k 倍（1k ，伸缩；01k，拉伸）f xkf x：f x 的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的 k 倍（1k ，拉伸；01k，收缩）（4）翻折变换：f xf
21、x：x 轴上方的图象不变，下方的图象沿 x 轴对称的翻上去 f xfx：x 轴正半轴的图象不变，x 轴负半轴的图象去掉，再换上 x 轴正半轴的图象关于 y 轴对称的图象，最后构成偶函数.（5）对称变换：f x 与fx的图象关于 x 轴对称 f x 与 f x的图象关于 y 轴对称 f x 与fx的图象关于原点对称 f x 与 1fx的图象关于直线 yx对称 f x 与1fx的图象关于直线 yx 对称17.函数的模型及其应用（1）函数的零点定义：函数 yf x，则方程 0f x 的根0 x 叫做函数 yf x的零点.即：方程 0f x 的实根 函数 yf x的图象与 x 轴的交点的横坐标 f x
22、 有零点.（2）零点存在性定理：如果函数 yf x在区间,a b 上的图象是连续不断的一条曲线，有 0f af b，那么函数 yf x在区间,a b 内必有零点，即0,xa b，使得00f x零点唯一性定理：如果函数 yf x在区间,a b 上的图象是连续不断的一条曲线，且在区间,a b 内单调，有 0f af b，那么函数 yf x在区间,a b 内必有唯一零点.（3）二分法：对于在区间,a b 上连续不断且 0f af b函数 yf x，通过不断地把函数 yf x的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.（4）几个常见抽象函数模型所对应的具
23、体函数模型正比例函数 f xkx，f xyf xfy，1fk.指数函数 xf xa，f xyf x fy，f xyf xfy，（0a 且1）对数函数 logaf xx，f xyf xfy，xff xfyy，（0a 且1）幂函数 af xx，f xyf x fy，11f.14余弦函数 cosf xx，正弦函数 sing xx，f xyf x fyg x g y余弦函数 cosf xx，正弦函数 sing xx，g xyg x fyf x g y三、三角函数、三角恒等变换、解三角形1.任意角的概念和弧度制（1）任意角的定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点 O 按一定方向旋转到另一位置OB
24、，就形成了角.（2）角的分类：角的特点角的分类从运动的角度看角可分为正角、负角、零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角 与 角的终边相同360k，k Z或2 k，k Z（3）弧度制：定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作 rad.弧度与角度的互化：2360，180，180157 18rad，1180 rad.弧长、扇形面积公式：设扇形的弧长为 l，圆心角的大小为（rad），半径为 r弧长公式：lr扇形的面积公式：21122Slrr 2.任意角的正弦、余弦、正切的定义（1）定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点,P x y，（222xyr）则 sinyr，cosxr，
25、tanyx（0 x）（2）用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是1,0.如下图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线.15（3）三角函数的符号：记忆口诀（只记正）：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”3.同角三角函数的基本关系：（1）平 方 关 系：22sincos1，变 式：22cos1sin，22sin1cos，221sincos（2）商数关系：sintancos，coscotsin（3）倒数关系：tancot1，1cottan4.诱导公式：格式：2k（
26、k Z）或者（k Z）（1）如：，2，32，2，2 k（k Z）等角的三角函数之间的关系，一般把 看做锐角，可以为任意角.（2）诱导公式的一般步骤：奇变偶不变，符号看象限.首先判断角所在的象限；其次根据角所在的象限判断符号；奇变偶不变（k 是奇数，变函数名，即sincos，tancot；k 是偶数，不变函数名）（3）当角2k（k Z）中，2k（k Z）不在0,2 内，在计算时可以直接加上或者减掉 2 的整数倍后再进行计算.5.周期函数的定义、三角函数的周期性：（1）周期函数的定义：对函数 f x 存在非零常数T，使 f xTf x，对于函数定义域内任何一个 x 恒成立，称函数 f x 为周期函
27、数，常数T 为函数周期，周期有许多个，但最小周期只有一个.（2）求三角函数周期的三种方法：利用周期函数的定义：f xTf x；利用公式：sinyAxB和cosyAxB的最小周期2T；tanyAxB的最小周期T.利用图象：图象重复的 x 的长度.6.函数sinyx，cosyx，tanyx的图象和性质：函数sinyxcosyxtanyx16图象定义域RR|,2x xkkZ值域1,11,1R单调性2,2 22kk（k Z）为增32,2 22kk（k Z）为减2,2 kk（k Z）为增2,2 kk（k Z）为减,22kk（k Z）为增最值当2 2xk（k Z）时，max1y；当2 2xk（k Z）时，
28、min1y 当2 xk（k Z）时，max1y；当2 xk（k Z）时，min1y 无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心,0k（k Z）,02k（k Z）,02k（k Z）对称轴2xk（k Z）xk（k Z）无周期性227.函数sinyAx的图象（1）用“五点法”作函数sinyAx（0A，0）的图象定点：令x分别等于 0，2，32，2，得到对应的五点为,0，2,A,0，32,A，2,0.作图：再坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到sinyAx再17一个周期内的图象扩展：将所得图象按周期向两侧扩展可得sinyAx在 R 上的图象.（2）三角函数sinyAx（0A，0）图象的
29、变化规律：先平移后伸缩：sinsinsinsinxxxAx第一步：向左（0）或（0）平移 个单位长度；第二步：横坐标伸长（01）或者缩短（1 ）原来的 1（纵坐标不变）；第三步：纵坐标伸长（1A ）或者缩短（01A）原来的 A（横坐标不变）先伸缩后平移：sinsinsinsinxxAxAx第一步：横坐标伸长（01）或者缩短（1 ）原来的 1（纵坐标不变）；第二步：纵坐标伸长（1A ）或者缩短（01A）原来的 A（横坐标不变）；第三步：向左（0）或（0）平移 个单位长度.（3）三角函数sinyAx（0A，0）的物理意义：振幅：A周期：2T频率：1fT初相：相位：x（4）确定三角函数sinyAxB
30、（0A，0）的步骤和方法：求 A，B，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则2MmA，2MmB.求，确定函数的周期T，则2T 求，常用的方法：代入法、五点法8.用三角函数解决一些简单的实际问题：（1）三角函数模型的实际应用和解题步骤三角函数模型的应用：根据图象建立解析式或根据解析式作出图象；将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型；利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面一方面是已知三角函数模型，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；另一方面是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角
31、函数的有关18知识解决问题，其关键是合理建模.（2）三角函数模型的常见类型：航海类问题；与三角函数图象有关的应用题；引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行推理，解决优化问题，即求最值；三角函数在物理学中的应用.9.两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）和角与差角公式sinsincoscossin；coscoscossinsintantantan1tantan；22sinsinsinsin；22coscoscossin22sincossinabab（辅助角 由,a b 所在象限决定，tanba）.（2）二倍角的正弦、余弦、正切公式：sin 22sincos；2222cos2cossin2cos
32、112sin ；22tantan1tan.（3）三倍角公式：3sin33sin4sin4sinsinsin33；3cos34cos3cos4coscoscos33；323tantantan3tantantan13tan33.（4）和、差、倍角公式的变式及应用两角和与差的正切公式的逆用tantantan1tantan；tantantan1tantan；tantantantantantan11tantan .升幂公式21cos2cos 2；21cos2sin 2；21sinsincos22.降幂公式191sincossin 22；21sin1cos22；21cos1cos22.其他变形公式：二倍角
33、是相对的.2222sincos2tansin 2sincos1tan；222222cossin1tancos2sincos1tan；2sincossin 2；sin 2cos2sin；22cossincos2；22tantan 21tan.半角及其变形公式：2222sincos2tan222sin2sincos22cossin1tan222；2222222222cossin1tan222cos12sin2cos1cossin2222cossin1tan222 ；22tan 2tan1tan 2；1cossin 22；1coscos 22；1cossin1costan 2sin1cos1cos.
34、拆角、配角技巧：；2；44；22；22222；“1”的代换：221cossintan cot2sintan64xxxx等.（5）简单的三角方程的通解sin xa1arcsinkxka（k Z，1a ）；cos xa2 arccosxka（k Z，1a ）；tan xaarctanxka（k Z，aR）；sinsin1kk（k Z）；20coscos2 k（k Z）；tantank（k Z）；（6）常见三角不等式：（1）若0,2x，sintanxxx；（2）若0,2x，1sincos2xx；（3）sincos1xx；（4）sin xa（1a ）2 arcsin,2 arcsinxkaka（k Z
35、）；（5）sin xa（1a ）2 arcsin,2 arcsinxkaka（k Z）；（6）cos xa（1a ）2 arccos,2 arccosxkaka（k Z）；（7）cos xa（1a ）2 arccos2 2arccosxka,ka（k Z）；（8）tan xa（aR）arctan2xka,k（k Z）；（9）tan xa（aR）arctan2xkka，（k Z）；（7）三角恒等式的证明：（1）三角恒等式证明的原则及切入点证明等式的原则：化繁为简，必要时可以用分析法；三角恒等式证明的切入点：看角：分析角的差异，消除差异，向结果中的角转化；看函数：统一函数，向结果中的函数转化.（2
36、）三角等式的证明可分为三角恒等式的证明与三角条件等式的证明证明三角恒等式的常用方法：左边 右边右边 左边左边 式子（值）右边证明三角条件等式的方法：首先观察条件与结论的差异，从解决某一差异入手，确定从结论开始通过变换将已知表达式代入得出结论，或者通过变换已知条件得出结论；还可以采用其他方法：如分析法、消参法、换元法等.（8）三角函数的给值求角问题的一般思路：求出该角的某一三角函数值；确定角的范围；根据角的范围写出角.（9）三角函数的给值求角问题应注意的问题：“三看”（看角、看名称、看式子）角的范围是0,2时，选正、余弦皆可；角的范围是0,时，选余弦较好；21角的范围是,2 2时，选正弦.10.
37、正弦定理、余弦定理（1）正弦定理定理：2sinsinsinabcRABC（R 是 ABC 外接圆的半径）定理变形：2 sinaRA，2 sinbRB，2 sincRC；sin:sin:sin:ABCa b c；sin2aAR，sin2bBR；sin2cCR；222222sinsinsinsinsinABABCababc；coscossincossincossinbCcBaBCCBA；22sinsinsinbcBCaA等.解决的问题：已知两角和任一边，求其他两边和另一角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（2）余弦定理定理：2222cosabcbcA；2222cosbacacB；2222
38、coscbabaC.定理变形：22222cos122bcabcaAbcbc；22222cos122acbacbBacac；22222cos122bacbacCbaba；2222cosbcAbca；2222cosacBacb；2222cosbaCbac；222sinsinsin2sinsincosABCBCA；222sinsinsin2sinsincosBACACB；222sinsinsin2sinsincosCBABAC；2221cosabcbcA；2221cosbacacB；2221coscbabaC等.解决的问题：已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.11.利用正、
39、余弦定理解三角形22（1）解三角形中的常用公式和结论：ABCABC，BAC，CAB；0,A B C；sinsincos222CBAA；sinsincos222CABB；sinsincos222ABCC；coscossin222CBAA；coscossin222CABB；coscossin222ABCC；tantancot222CBAA；tantancot222CABB；tantancot222ABCC；sincoscossinsinsinBCBCBCA；sincoscossinsinsinACACACB；sincoscossinsinsinABABABC；coscossinsincoscosB
40、CBCBCA；coscossinsincoscosACACACB；coscossinsincoscosBABABAC；tantantantan1tantanBCBCABC tantantantan1tantanACACBAC；tantantantan1tantanABABCAB.在 ABC 中（a、b、c 分别为角 A、B、C 所对应的边）：abc ABC sinsinsinABC；abc ABC sinsinsinABC；222abc 角 C 为直角 ABC 为直角三角形；222abc 角 C 为钝角 ABC 为钝角三角形；222abc 角 C 为锐角或钝角 ABC 形状不确定；tantan
41、tantantantanABCABC；锐角 ABC 满足：2AB，2CB，2AC；23bca，acb，abc；bca，cab，abc；（2）已知三角形两边 a、b 及其中一边的对角 A，解的个数会出现以下几种情况：90A 90A 90A ab一解一解一解ab无解无解一解ab无解无解sinabA两解sinabA一解sinabA无解（3）解三角形具体有四种常用方法：通过正弦定理实现边角互化；通过余弦定理实现边角互化；通过三角变换找出角与角之间的关系；通过三角函数值的符号的判断以及正余弦函数有界性的讨论.（4）三角形面积公式：1111222abcSahbhch；2111sinsinsin222Sbc
42、AacBabC；34abcSR（R 为 ABC 外接圆半径）；412Sabc r（r 为 ABC 内切圆半径）；5海伦公式：Sp papbpc（其中12pabc）；6222sinsinsinsinsinsin2sin2sin2sinaCBbCAcBASCBCABA；7向量方法：2212Saba b（其中 a、b为边 a，b 所构成的向量，方向任意）证明：2222222111sinsin1 cos244SabCSa bCa bC221cos2SababC，而cosa babC 2212Saba b 坐标表示：11,ax y，22,bxy，则122112Sx yx y四、数列241.数列的概念和表
43、示方法（1）数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项).（2）数列的分类：分类原则类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列1nnaa 其中nN递减数列1nnaa 常数列1nnaa 摆动数列有时1nnaa，有时1nnaa（nN）（3）数列的表示方法：列举法、图象法、解析式法（公式法）、递推法.（4）数列的通项公式：naf n（nN）（5）数列的前 n 项和：nSg n（nN）（6）na 与nS 的关系：1112nnnSnaSSn 2.等差数列1定义：如果一个数列从第 2 项
44、起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示.定义的表达式：1nnaad（nN，2n）或1nnaad（nN）2等差数列的通项公式及其变形：111naanddnad（nN）；nmaanm d（m、nN）；nmaadnm（nm，m、nN）；11naand（nN）.3等差数列的常见性质：等差中项：若 a、G、b 成等差数列，则G 称为 a、b 的等差中项，即2abG；若 na为等差数列，则2n ，nN，112nnnaaa；若 na为等差数列，则2mnpqk2mnpqkaaaaa；若 na，nb为等差数列，k，mR，数列nnka
45、mb仍是等差数列；25mS,2mmSS,32mmSS仍是等差数列（mN）；项 数 为 偶 数 2n 的 等 差 数 列 na：2121nnnnSn aan aa ，SSnd奇偶；1nnSaSa 奇偶；项数为奇数（21n ）的等差数列 na：21121nnSna，1SnSn奇偶.4等差数列的前 n 项和nS：12nnn aaSna中；112nn nSnad5等差数列的前 n 项和nS 的最值:若10a，0d 且满足100nnaa，前 n 项和nS 最大；若10a，0d 且满足100nnaa ，前 n 项和nS 最小.6对称设项法：减少运算量：项数为奇数可设：，2ad，ad，a，ad，2ad，；项
46、数为偶数可设：，3ad，ad，ad，3ad，；3.等差数列的判定方法：1定义法：验证1nnaad（d 为常数，n N 且2n）；2等差中项法：验证112nnnaaa（n N 且2n）；3通项公式法：验证naknb；4前 n 项和公式法：验证2nSAnBn说明：后两种方法主要适用于选择题、填空题中的简单判断，而不能用来证明等差数列.4.等比数列1定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示定义的表达式：1nnaqa（0q,nN，2n）或1nnaqa（0q,nN）2等比数列的通项公式及其变形：11
47、1nnnaaa qqq（0q,nN）；n mnmaa q（0q,m，nN）；26nmm nmnaa qa q（0q,m，nN）；mnm nmnnmSSS qSS q；21231nnna a aaa a.3等比数列的常见性质：等比中项：若 a、G、b 成等比数列，则G 称为 a、b 的等比中项，即Gab（0ab）；若 na为等比数列，则2n ，nN，211nnnaaa；若 na为等比数列，则2mnpqk2kmnpqa aa aa；若 na，nb（项数相同）是等数比列，则na（0），1na，na，2na，nnab，nnab仍是等比数列；若 na为等比数列，序号成等差数列的项仍成等比数列，如：21n
48、a，3na等；若 na为等比数列，公比为 q（1q ），则1nnaa（2n ，nN）仍是等比数列；若 na为等比数列，公比为 q（1q ），前 n 项和为nS，232,mmmmmSSSSS 仍是等比数列；若 na为等比数列，0na，则logana为等差数列，反之，若logana为等差数列，则 na为等比数列；4等比数列的前 n 项和nS：11111111nnnna qSaqaa q qqq；5等比数列 na的最大项：最大项ka 11kkkkaaaa（2k ，kN）6对称设项法：减少运算量：项数为奇数可设：，aq，a，aq，；27项数为偶数可设：，3aq，aq，aq，3aq，.7等比数列的判定方
49、法：定义法：1nnaqa（0q,nN，2n）；等比中项法：212nnnaa a（nN）；通项公式：nnak q（0q,nN）；前 n 项和公式法：nnSkqk（0q,nN）.说明：后两种方法主要适用于选择题、填空题中的简单判断，而不能用来证明等比数列.5.求数列的通项公式na 的方法1观察法：通过观察、分析、联想、比较，发现项与项数之间的关系；如果关系不明显可将该数列同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现出来，便于找出通项公式；可借助于一些基本的数列的通项公式，如：nan，21nan，2nna 等特殊数列；正负号间隔的用1n或11n来调整.2公式法：若数列 na是等差数列：找1a 和
50、 d，再利用公式11naand（nN）；若数列 na是等差数列：找1a 和 q，再利用公式11nnaa q（nN）.3知nS 求na 法：利用1112nnnSnaSSn；4叠加法：形如：1nnaaf n（nN，2n）或 1nnaag n（nN）；5构造法：形如：1nnakab（k、b 均为常数，且1k ，0b，nN，2n）；构造一：设1nnak a na是等比数列构造二：由1nnakab1nnakab，相减整理：11nnnnaakaa 1nnaa 式等比数列6广义叠加法：形如：1nnakaf n（k 为常数，且1k ，nN，2n）或 1nnakag n（k 为常数，且1k ，nN）构造一：1n
51、nakaf n 11nnnnnf naakkk，令nnnabk，转化成 1nnbbg n再叠加；构造二：1nnakag n 111nnnnng naakkk，令111nnnabk，转化成 1nnbbh n 再叠加；7叠乘法：形如：1nnaf na（nN，2n）或 1nnag na（nN）；8对数变换法：形如：1knnaba（0b，0na，nN，2n）或1knnaba（0b，0na，28nN，2n）；构造一：1knnaba 1lgalgalgnnkb，令lgnnba，化成1nnbkbm再用构造法即可构造一：1knnaba 1lgalgalgnnkb，令11lgnnba，化成1nnbkbm 再用构
52、造法即可注意：底数不一定要取10，可根据题意选择9倒数变换法：形如：11nnnnaaka a（k 为常数且0k，nN，2n）或11nnnnaakaa（k 为常数且0k，nN）或1nnnmaabak（k，m，b 均为不为零常数，nN）构造一：11nnnnaaka a111nnkaa 1na是等差数列；构造二：11nnnnaakaa111nnkaa 1na是等差数列构造三：1nnnmaabak 111nnkbam am，令111nnba，化成1nnbpbq 再用构造法.10 递推公式：形如：21nnnakaba（k，b 均为不为零常数，nN）法一（待定系数法）21nnnakaba 211nnnna
53、qap aqapqkpqb 1nnaqa 是等比数列，进而化归为 1nnaqag n 形式再用广义叠加法即可.法二（特征根法）21nnnakaba，1a，2a 若1x，2x 是特征方程20 xkxb的两个根，当12xx时，2111nnnaAxBx（A，B 由1a，2a，1,2n 决定）；当12xx时，11nnaABn x（A，B 由1a，2a，1,2n 决定）.说明：若数列 na是斐波那契数列：满足12nnnaaa（nN，3n）1515225nnna（nN）.11 不动点法：形如：1nnnpaqabak（k，b，p，q 均为常数，且 pkqb，0b，1kab，nN）构造：1nnnpaqabak
54、 特征方程pxqxbxk，当特征方程有且仅有一根0 x 时，则01nax是29等差数列；当特征方程有两个不同的实根1x，2x 时，则12nnaxax是等比数列.12 换元法：解法：类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的代换后出现的整体数列具有规律性.13 双数列：解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用叠加、叠乘、化归等方法求解.14 周期型：解法：由递推式计算出前几项，寻找周期.15 分解因式法：解法：当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得na.16 循环法：形如：21,0nnnf aaa，若复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循环
55、关系而求出na.17 开方法：对有些数列，可先求出na 或 3na，再求出na.18 数学归纳法：如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之，也可以猜想出规律，然后正面证明.6.求数列的前 n 项和公式nS 的方法:主要看通项的形式，选择不同的方法.1公式法：naknb 先猜后证 na是等差数列 12nnn aaS或112nn nSnad；nnakq 先猜后证 na是等比数列 111111nnna qSaqqq2直接公式法：（除等差、等比数列外）22221211236n nnn；22333311234nnn；22222411
56、35213nnn；3333221352121nnn；121 22 33 413n nnn n ；301231 2 32 3 43 4 5124n nnnn nn 3倒序相加法：如：等差数列前 n 项和12nnn aaS由此法得到.4裂项相消法：形如：11nna a（na是公差为 d 的等差数列，nN）常见的拆项如下：111111nnnna adaa；11111n nnn；1111nnnn！；111121 212 2121nnnn；11ababab；11 111n nkknn（k 为常数，且0k）；11111 121122112212n nnn nnnnnn；1111123312123n nnn
57、n nnnnn；5错位相减法：形如：nnab或nnab（na是等差数列，nb是等比数列）四步：乘以公比、错位相减、等比求和、化简.6分组求和法：形如通项na 等差 等比 常见数列，分类求和再相加减.7奇偶求和法：针对奇、偶数项，要考虑符号的数列求nS，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合8分类讨论法：针对数列 na的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是分段求.如：求数列na的前 n 项和.9数学归纳法：针对无法求出通项或无法根据通项求出各项之和的数列，先用不完全归纳法猜出nS 的表达式，然后用数学归纳法证明之.五、不等式1.不等式关系与不等式：31（1）不等关系强调的是关系
58、，而不等式强调的则是表示两者不等关系的式子，可用 ab、ab、ab、a b、a b 等式子来表示，不等关系可通过不等式来体现.（2）将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用的基础，不可忽视.（3）不等式的性质：1对称性：ab ba；2传递性：ab，bc ac；3加法法则：ab acbc；ab，cd acbd.4减法法则：ab，cd acbd；5乘法法则：ab，0c acbc；ab，0c acbc；0ab，0cd acbd.6除法法则：0ab，0cd abcd7倒数法则：,0ab ab 11ab；8乘方法则：0abnnab（nN，且2n）9开方法则：0ab nnab（nN，且2n）（4）比较大小
59、常用的方法：1作差法：差与 0 比较；2作商法：商与1比较；3特殊值法：一般用于选、填题的比较大小.（5）不等式性质的应用，可解决如下问题：1证明简单的不等式；2判断相关命题的真假；3比较实数的大小；4求取值范围.2.解一元二次不等式、含绝对值的不等式、无理、指对不等式、解分式不等式、解一元高次不等式：（1）一解元二次不等式的一般步骤：1将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式20axbxc（0a）或20axbxc（0a）；2计算 ：24bac；3当0 时，求出相应的一元二次方程的根；4根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集.（2）三个“二次”间的关系：判别式24bac 0 0
60、 0 二次函数2yaxbxc（0a）的图象32二次方程20axbxc（0a）的根有两相异实根1x、2242bbacxa（12xx）有两相等实根122bxxa 没有实数根二次不等式20axbxc（0a)的解集12,xx11,xxR二次不等式20axbxc（0a)的解集12,x x（3）一元二次不等式20axbxc（或0）（20,40abac）的解集判断口诀：a 与2axbxc：同号两根之外；异号两根之间.即：12xxx 120 xxxx（12xx）；1xx或2xx 120 xxxx（12xx）.（4）含有绝对值的不等式:当0a 时，有xa22xaaxa；xa22xa xa或 xa .（5）无理不
61、等式：1 f xg x 00f xg xf xg x；2 f xg x 200f xg xf xg x 或 00f xg x；3 f xg x 200f xg xf xg x.（6）指数不等式与对数不等式1当1a 时 f xg xaa f xg x；33 loglogf xaa g x 00f xg xf xg x.2当 01a 时 f xg xaa f xg x；loglogf xaa g x 00f xg xf xg x.（7）分式不等式的解法：1 0f xg x 00f xg x或 00f xg x 0f xg x；2 0f xg x 00f xg x或 00f xg x 0f xg x
62、；3 0f xg x （0）000f xg xg x；4 f xag x 0f xag xg x 0g xf xag x；（8）一元高次不等式的解法：（数轴标根法）1化简：将不等式化为一端为 0，另一端为一次因式或二次不可约因式的积的形式，并使每个因式最高次项的系数为正；2标根：求出各因式的根，并在数轴上从小到大依次标出；3画曲线：从数轴的最右端上方起，自右至左依次经过各个点（根）画曲线；（奇次穿偶次不穿）；4写解集：记数轴上方为正，下方为负，根据不等号的方向，写出不等式的解集.3.基本不等式（1）基本不等式1重要不等式如果 a，bR，那么22 2abab（当且仅当 ab时取“”）.2基本不等
63、式如果 a，bR，那么2abab（当且仅当 ab时取“”）；基本不等式又被称为均值定理、均值不等式.3基本不等式的几种变形公式22222ababab（a，bR）；342221122abababab（a，bR）；2baab（a，b 同号，当且仅当 ab时取“”）；222aabb（a，bR）；22baba（aR）；22bbaa（aR）；222abcabbcca（a，b，cR）.（2）利用基本不等式比较实数大小或证明不等式1注意均值不等式的前提条件；2通过加减项的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式；3注意“1”的代换；4灵活变换基本不等式的形式，并注重其变形形式的运用；5合理配组，反复应
64、用均值等式.（3）利用均值不等式求最值必须同时满足三个条件：一正、二定、三相等；积定和最小，和定积最大.1正：a，b 都是正数；2定：积 ab（或和 ab）为常数.（有时需要“配凑、拆分”凑出定值）；3等：a 与 b 必须能够相等.（等号能够取到）；4积定和最小：a，bR，若 abP（P 为正定值），则当 ab时，和 ab有最小值 2 P5和定积最大：a，bR，若 abS（S 为正定值），则当 ab时，积 ab 有最大值24S（4）利用均值不等式解应用问题的步骤：1阅读材料；2建立数学模型；3讨论不等关系；4得出问题结论.4.用二元一次不等式组表示平面区域（1）二元一次不等式（组）表示的平面区
65、域：不等式表示区域0AxByC直线0AxByC某一侧的所有点组成的平面不包括边界直线0AxByC包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分（2）确定二元一次不等式表示的平面区域的方法：1直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；2特殊点定域：由于对所在直线0AxByC同侧的点，实数 AxByC的符号都相35同，故为确定 AxByC的值的符号，可采用特殊点法.如取0,0、0,1 等.5.简单的线性规划：（1）线性规划相关概念：名称意义约束条件由变量 x、y 组成的一次不等式线性约束条件由 x、y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数求
66、最大值或最小值的函数线性目标函数关于 x、y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题（2）线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下：1zaxby（截距型）；2ybzxa（斜率型）；322zxayb（距离的平方型）；4za xby（折线式）5zOA OB（与向量的综合型）（3）利用线性规划求最值的一般步骤：（图解法）1分析并将已知数据列出表格；2确定线性约束条件；3确定线性目标函数；4画出可行域；5利用线性目标函数（直线）求出最优解；6实际问题需要整数解时，应适当调整
67、，以确定最优解.六、推理与证明1.推理（1）定义：根据一个或几个已知的事实（或假设）得出一个判断的思维方式叫做推理.（2）分类：合情推理和演绎推理；（3）结构：一是前提；一是结论.形式是：前提 结论36连接词：“如果，那么”“因为，所以”“根据，可知”等.2.合情推理（1）定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，称为合情推理.（2）步骤：从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想.（3）分类：归纳推理和类比推理.3.归纳推理（1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概
68、括出一般结论的推理，称为归纳推理简言之，归纳推理是由部分到整体，个别到一般的推理（2）特点：1归纳推理是由部分到整体，有个别到一般的推理；2归纳推理的结论不一定为真；3归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.（3）归纳推理的一般步骤：1通过观察个别情况发现某些相同性质；2从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.4.类比推理（1）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理（2）特点：1类比推理是由特殊到特殊的推理；2类比推理属于合情推理，其结论具有不可靠性，可
69、能为真，也可能为假；3类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，类比得出的命题就越可靠.（3）类比推理的一般步骤：1找出两类事物之间的相似性或一致性；2用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）5.演绎推理（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.（2）三段论推理：1在推理中：“若 bc，而 ab，则 ac”这种推理规则叫三段论推理，它包括：大前提：已知的一般原理；小前提：所研究的特殊情况；结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断.2“三段论”可以表示为：大前提：M 是 P；小前提
70、：S 是 M；结论：S 是 P.3利用集合知识说明“三段论”：若集合 M 的所有元素都具有性质 P，S 是 M 的一个子集，那么 S 中所有元素也都具有性质 P.6.直接证明与间接证明37（1）综合法1定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.这种证明方法叫做综合法.2框图表示：1PQ12QQ23QQ nQQ.3思维方向：综合法的思维方向是“顺推”，即由已知条件出发，逐步推出其必要条件（由因到果），最后推导出所要证明的结论成立，故综合法又叫顺推证法或由因到果法.4综合法的依据：已知条件以及逻辑推理的基本理论.在推理时要注意：作为依据和出
71、发点的命题一定要正确.（2）分析法1定义:从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.这种证明方法叫做分析法.2框图表示：11QP12PP23PP 得到一个明显成立的条件.3思维方向：分析法的思维方向是“逆求”，即由特征的结论出发，逐步逆求它要成立的充分条件（执果索因），最后得到的充分条件是已知（或已证）的命题，故分析法又叫逆推证法或执果索因法.4分析法证明的模式：用分析法证“若 A 则 B”这个命题的模式：为了证明命题 B 为真，这只需证明命题1B 为真，从而有这只需证明命题2B 为真，从而有这只需
72、证明命题 A 为真.而已知 A 为真，故 B 必真.（3）反证法1定义：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.它是一种间接证明方法.2反证法中常见的矛盾形式：与已知条件，即题设矛盾；与假设，即反设矛盾；与已知的定义、公理、定理相矛盾，即得出一个恒假命题；与简单的基本事实相矛盾；自相矛盾；3反证法的一般步骤：反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾（与已知条件、已知公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾）；结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“
73、反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.4反证法的适用范围：已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；命题的结论以否定形式出现时；38命题的结论以“至多”“至少”的形式出现时；命题的结论以“无限”的形式出现时；关于存在性命题；某些定理的逆定理.总之，正难则反，直接的东西较少、较抽象、较困难时，其反面的东西会较多、较具体、较容易，此时可尝试用反证法.（4）数学归纳法1归纳法：由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法.它是人们发现规律，产生猜想的一种方法；2归纳法分类：完全归纳法和不完全归纳法.3数学归纳法：是证明关于正整数 n 的命题的一种方法.4数学归纳法证
74、明命题的步骤：第一步：证明当 n 取第一个值0n（*0n N）时命题成立；第二步：假设 nk（*0,knkN）时命题成立，推证当1nk 时结论也正确.由此可以断定，对任意不小于0n 的正整数 n，命题都正确.5数学归纳法的适用范围：由于数学归纳法是以正整数的归纳公理作为它的理论基础的.因此，数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的命题.6数学归纳法可证明的命题：证明恒等式；证明整除与几何问题；证明不等式；证明数列有关问题.七、平面向量1.平面向量的相关概念（1）向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模（2）零向量：长度为零的向量，记作：0，其方向是任意的（3）单位向量：长度等
75、于1个单位的向量（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量2.向量加法与减法向量运算定义法则(或几何意义)运算律39加法求两个向量和的运算交换律：abba结合律：abcabc减法向量 a加上向量 b的相反向量，叫做 a与 b的差，即abab abab 3.向量的数乘（1）实数 与向量 a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 a，它的长度与方向规定如下：aa；当0，a与 a的方向相同；当0 时，a与 a的方向相反；当0 时，0a.（2）运算律:设 、是两个实数，则：1aa；2
76、aaa；3abab；（3）共线向量定理向量 a（0a）与 b共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使 ba.（4）若 a与 b不共线，0ab，则0.（5）已知 OAOBOC（，为常数），则 A，B，C 三点共线 1.4.平面向量的基本定理如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量 a，有且只有一对实数1，2 使1 122aee.（基底中一定不含零向量）.5.平面向量的正交分解及其坐标表示（1）向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.（2）平面向量的坐标表示1111,ax iy jx y，2211axy；402222,bx iy jxy，
77、2222bxy.6.用坐标表示的平面向量的加法、减法与数乘运算（1）设11,ax y，22,bxy，则：1212,abxxyy；1212,abxxyy；1111,ax yxy；1212a bx xy y.（2）设11,A x y，22,B xy，则：1212,BAxxyy，221212BAxxyy.7.数量积（1）向量的夹角：已知两个非零向量 a和b，若OAa，OBb，则AOB（0180）叫做向量 a和 b的夹角.特别的当90 时，向量 a和 b垂直，记作：ab.（2）向量的数量积定义：已知两个非零向量 a和b，它们的夹角为，则数量cosa b 叫作 a和b的数量积(或内积)，记作 a b，即
78、cosa ba b ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 00a.几何意义：数量积 a b 等于 a的长度 a与 b在 a的方向上的投影cosb的乘积.（3）向量数量积的性质：若 a和 b非零向量，e是与 b方向相同的单位向量，是 a与 e的夹角.1cose aa ea ；2ab0a b；3当 a与 b同向时，a ba b ；当 a与 b反向时，a ba b ；当 ab时，22cos0a aaa aa ，即2aa.4若 为 a，b的夹角，则 cosa bab ；415a ba b （仅当 ab 时，等号成立）（4）向量数量积的运算律：1交换律：a bb a ；2结合律：aba bab；3分
79、配律：abca cb c ；4两个重要结论：2222abaa bb 22ababab（5）设11,ax y（0a），22,bxy（0b），表示 a与 b之间的夹角夹角公式：121222221122cosx xy ya ba bxyxy ；垂直：ab0a b 12120 x xy y；共线：ab ba（0b）12210 x yx y.重要不等关系：a ba ba b 22222222112212121122xyxyx xy yxyxy8.三角形“五心”向量形式的充要条件：设 O 为 ABC 所在平面上一点，角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c，则：1O 为 ABC 的外心 222OAOBO
80、C；2O 为 ABC 的重心 0OAOBOC；3O 为 ABC 的垂心 OA OBOB OCOC OA ；4O 为 ABC 的内心 0aOAbOBcOC；5O 为 ABC 的A 的旁心 aOAbOBcOC.9.用向量方法解决简单的问题（1）平面向量在平面几何中的应用1证明线段平行问题：ab ba（0b）12210 x yx y；2证明垂直问题：ab0a b 12120 x xy y；3求夹角问题：121222221122cos,cosx xy ya ba ba bxyxy （,0,a b 表示 a与 b42夹角）4求线段长度：,ax y，则222aaxy；11,A x y，22,B xy，则2
81、21212BAxxyy.5用向量法解决平面几何问题的“三步曲”：建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面问题 向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系；把运算结果“翻译”成几何关系；（2）平面向量在解析几何中的应用：解析几何就是用坐标的方法研究图形，而向量也引入了坐标运算，因此可以用向量的坐标运算解决解析几何中的证明与计算.（3）平面向量在物理中的应用1向量在物理中的应用表现：向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；向量在速度的分解与合成中的应用.2如何用向量法来解决物理问题：将相关物理量用几何图形表示出来；将物理问题抽象成数学模型，转化为数学问题；最后将数学问
82、题还原为物理问题.八、导数及其应用1.导数的概念及几何意义（1）函数在某点处的导数定义：设函数 yf x在0 x 及其附近有定义，当自变量在0 xx附近改变量为 x 时，函数值相应 地 改 变00yf xxf x .如 果 当0 x趋 近 于 0 时，平 均 变 化 率00f xxf xyxx 趋近于一个常数l，那么常数l 称为函数 f x 在点0 x 处的瞬时变化率.通常称为 f x 在点0 x 处的导数，又称 f x 在点0 x 处是可导的，并记作0fx.记作：0000limxf xxf xlfxx .（2）导函数的定义：如果 f x 在开区间,a b 内每一点 x 都是可导的，则称 f
83、x 在区间,a b 可导，这样，对开区间,a b 内每个 x，都对应一个确定的导数 fx，于是在开区间,a b 内，fx构成一个新的函数，称函数 yf x的导函数.记作：fx或 y43或xy，导函数通常简称为导数.（3）由定义求导数的一般步骤：1求增量：yf xxf x ；2算比值：f xxf xyxx ；3求极限：0limxyfxx.（4）导数与微分的区别和联系:区别：导数：0limxf xxf xdyfxxdx ；微分：dyfx dx；联系：00 x xdyfxdx（5）导数的几何意义：曲线在其上一点,P x y 处切线的斜率.说明：1“在”与“过”的区别：曲线 yf x在点00,P x
84、y处的切线是指 P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为0kfx，是唯一的一条切线；曲线 yf x过点00,P x y的切线，是指切线经过 P 点，点 P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条；2点不在曲线上一定不是切点，点在曲线上可能是切点也可能不是切点；一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点；3利用导数求曲线的切线方程，求出 yf x在0 x 处的导数为0fx，利用直线方程的点斜式写出切线方程 00yyfxxx.4显然 0fx，切线与 x 轴正向的夹角为锐角；0fx，切线与 x 轴正向的夹角为钝角；0fx，切线与 x 轴平行；fx不存在，切线与 y 轴平行.2.导数的运
85、算（1）常见初等函数的导数公式440C（C 为常数）；1nnxnx ；sincosxx；cossinxx ；lnxxaaa（0a 且1）；xxee；1loglnxaxa（0a 且1）；1ln xx.（2）导数的运算法则：设 ,f xg x 是可导的则 f xg xfxgx；f xg xfx g xf x gx；2f xfx g xf x gxg xgx（0g x）；Cf xCfx（C 为常数）.（3）复合函数的导数：设 ,yf uug x，则 yf g x xuyyufugxfg xgx；（4）应用复合函数求导法则的注意点：1分析清楚复合函数的复合关系，即复合函数由哪些基本初等函数复合而成，适
86、当选定中间变量；2分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的系数；3根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；4复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合而成的函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导.3.导数的应用（1）导数单调性的判断1如果在,a b 内，0fx，那么 f x 在此区间是增函数；2如果在,a b 内，0fx，那么 f x 在此区间是减函数；3如果在,a b 内，0fx，那么 f x 在此区间是常数函数.（2）求单调区间的一般步骤（五步法
87、）：1求定义域（写出题干中参数范围）；2求导函数（慎重）；453求根：无根；有根（讨论：开口方向、判别式；根与根之间讨论；根与区间端点的讨论）；4列表；5结论.（3）几个重要的充分条件：在区间,a b 内 yf x是可导函数 yf x在区间,a b 内为增函数的必要不充分条件是：在,a b 内 0fx 恒成立；yf x在区间,a b 内为增函数的充分不必要条件是：在,a b 内 0fx恒成立；yf x在区间,a b 内为增函数的充要条件是：在,a b 内 0fx 且 fx不恒等于 0 成立；yf x在区间,a b 内为增函数的必要不充分条件是：在,a b 内 0fx 恒成立；yf x在区间,a
88、 b 内为增函数的充分不必要条件是：在,a b 内 0fx恒成立；yf x在区间,a b 内为增函数的充要条件是：在,a b 内 0fx 且 fx不恒等于 0 成立.（4）利用导数判断函数单调性的应用1证明不等式：要证明不等式 f xg x，,xa b，可转化为证明 0f xg x.如果 0f xg x，说明函数 F xf xg x在开区间,a b 上是增函数；若 0f ag a，由增函数的定义可知，当,xa b时，0f xg x，即 f xg x.2研究方程根的个数的问题：用求导的方法确定根的个数，是一种很有效的方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定函数的图象与 x 轴的交点
89、个数，最简单的一种是只有一个交点（即一个根）的情况，即函数在整个定义域内是单调函数，再结合某一个特殊值来确定 0f x.3求参数的值（或取值范围）：求函数 yf x的单调增区间、减区间分别是解不等式 0fx，0fx所得的 x的取值集合.反过来，若已知 f x 在区间 D 上单调递增，求 f x 中的参数值问题，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即 0fx 在 D 上恒成立，求 f x 的参数值.4求函数的值域：46有些函数的值域用以前学的方法有时不简便，这时我们可以考虑研究函数的单调性，特别是函数的自变量是一区间时，这时可用单调性来研究值域.（5）利用导数来研究函数的极值和最值1极大值：函
90、数 yf x在1xx处及其附近有定义，若有 1f xf x，则称 1yf x为极大值，称1xx为极大值点；2极小值：函数 yf x在2xx处及其附近有定义，若有 2f xf x，则称2yf x为极小值，称2xx为极小值点；3极值：极大值和极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；因此，极大值不一定比极小值大；极小值不一定比极大值小；极大值不一定是最大值；极小值不一定是最小值.4极值点：极值点不是一个点而是一个值；函数在极值点处导数可能为0，也可能不存在（如：f xx在0 x 处的导数不存在，但是0 x 是函数的极小值点）；区间的端点不能成为极值点.5求极值
91、的逆向思维问题：已知一个函数，我们可以用单调性研究它的极值.但有时候也会遇到已知函数的极值，反过来确定函数的系数问题，这类问题为逆向思维的问题.6最值定理：闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值.7求最值的一般步骤：（三步法：一判二看三比）首先判断函数在该闭区间上的单调性；其次要看该闭区间内是否包含极值点；最后加上端点的函数值进行比较.8求最值的常见四类问题：区间定，极值点定；区间定，极值点变；区间变，极值点定；区间变，极值点变.9求最值时讨论方向一般是极值点在区间的左边，中间，右边三种情况（个别情况需要细分），函数最值是一个“整体”概念.（6）关于恒
92、成立、能成立、恰成立问题，求参数的取值范围：转化成最值问题解决1恒成立问题：关键字：任意，都，恒，1,1x ，都有 f xM恒成立 maxf xM；1,1x ，都有 f xM恒成立 minf xM；1,1x ，都有 f xg x恒成立 构造 h xf xg x max0h x；471,1x ，都有 f xg x恒成立 构造 h xf xg x min0h x.2能成立问题：关键字：存在，能，01,1x，都有0f xM能成立 minf xM；01,1x，都有0f xM能成立 maxf xM；01,1x，都有00f xg x能成立 构造 h xf xg x min0h x；01,1x，都有00f
93、xg x能成立 构造 h xf xg x max0h x.3恰成立问题：不等式()f xA在区间 D 上恰成立 不等式()f xA的解集为 D；不等式()f xA在区间 D 上恰成立 不等式()f xA的解集为 D.4双变量问题：单个计算处理121,1,1,2xx ，都有 12f xg x恒成立 maxminf xg x；121,1,1,2xx ，都有 12f xg x恒成立 minmaxf xg x；121,1,1,2xx ，都有 12f xg x恒成立 maxmaxf xg x；121,1,1,2xx ，都有 12f xg x恒成立 minminf xg x.5子集型问题：包含关系121,
94、1,1,2xx ，都有 12f xg x恒成立 maxmaxminminf xg xf xg x.方法一：（集合观点）设 1122|11,|12Af xxBg xx，则 AB；方法二：（不等式观点）121212f xg xf xg xf xg x.6绝对值型问题12,1,1x x，都有12f xf xM（0M）恒成立 maxminf xf xM48（7）如何利用导数来刻画函数图象：遇到函数的零点问题，方程根的个数问题，两个函数的交点问题，恒（能）成立问题，优先参变分离法.步骤：参变分离 构造新的函数 刻画新函数的图象（单调性、零点、渐近线、重要点的函数值）（8）利用导数来证明不等式：必须烂熟在
95、心里的不等式：当0 x 时，111ln1xexxxxx 补充知识：23123nxxxxexn！；231123nnxxxxexn ！3521sin13521nnxxxxxn！；242cos112nnxxxxn 2！4！；231111nnxxxxx ；23111nxxxxx ；2341ln 11234nnxxxxxxn；234ln 1234nxxxxxxn .4.利用导数解决某些实际问题：生活中的优化问题（1）优化问题：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.（2）解决优化问题的方法很多，如：判别式法、均值不等式法、线性规划法、利用二次函数的性质等.不少优化问
96、题，可以为求函数最值问题.导数方法是解这类问题的有效工具.（3）利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：1分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 yf x；2求函数的导函数 fx，解方程 0fx；3比较函数在区间端点和使 0fx的点的数值的大小，最大（小）者为最大（小）值.（4）解决生活中的优化问题应当注意的问题：1在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；2在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点 0fx的情形.如果函数在这点49有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值.3在解
97、决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间.（5）解决优化问题的基本思路：典型的数学建模过程实际优化问题 用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案5.定积分（1）定积分的概念：1如果函数 f x 在区间,a b 上连续，用分点0121iinaxxxxxxb ，把区间,a b 分为 n 个小区间，其长度依次为1,0,1,2,1.iiixxx in 记 为这些小区间长度的最大者，当 趋近于 0 时，所有的小区间长度都趋近于 0.在每个小区间内任取一点i，作和式 10nniiiIfx，当0 时，如果和式的极限存在，我们把和
98、式nI 的极限叫做函数 f x 在区间,a b 上的定积分.记作：ba f x dx，即 100limnbiiaifx dxfx；2其中 f x 叫做被积函数，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，f x dx 叫做被积式，区间,a b 叫做积分分区间，x 叫做积分变量；定积分的值时一个常数，可正、可负、可为零.3用定义求定积分的四个基本步骤：分割 近似代替 求和 取极限.（2）微积分基本定理：如果函数 f x 在区间,a b 上连续，并且 Fxf x，且 f x 在,a b 上可积，则 ba f x dxF bF a，叫做微积分基本定理，还可以写成：babf x dxF xF bF aa，其
99、 中()F x 叫 做()f x的 一 个 原 函 数，因 为()()()F xCF xf x说明：bbaaf x dxf t dt，定积分大小仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量无关.（3）常用积分公式：10dxC（C 为常数）5021dxxC311xx dxC（1 ）41lndxxCx5xxe dxeC6lnxxaa dxCa（0,1aa）7sincosxdxxC 8cossinxdxxC91sincosaxdxaxCa（0a）101cossinaxdxaxCa（0a）（4）定积分的性质：1 babadxxfkdxxkf)()(（k 是常数）2()()()()bbbaaaf xg x
100、dxf x dxg x dx3()()()bcbaacf x dxf x dxf x dx（其中 acb）4利用函数的奇偶性求定积分:若()f x 是,a a上的奇函数,则 0aa f x dx；若()f x 是,a a上的偶函数,则0()2()aaa f x dxf x dx（5）定积分的几何意义：定积分()ba f x dx表示在区间,a b 上的曲线()yf x与直线 xa、xb以及 x 轴所围成的平面图形（曲边梯形）的面积的代数和，即()baxxf x dxSS轴上方轴下方.（在 x 轴上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积取负号）（6）求曲边梯形面积的方法与步骤：1画出草图，在直角坐
101、标系中画出曲线或直线的大致图像；2借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；3写出定积分表达式；4求出曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.（7）定积分在几何中的简单应用：几种常见的曲边梯形面积的计算方法511由一条曲线()yf x（()0f x）与直线 xa，xb，（ab）以及 x 轴所围成的曲边梯形的面积：()bSf x dxa（如图（1）；图（1）2由一条曲线()yf x（其中()0f x）与直线 xaxb（ab）以及 x 轴所围成的曲边梯形的面积：()()bbaaSf x dxf x dx（如图（2）；图（2）3由一条曲线()yf x与直线,xa xb（ab）以及 x
102、 轴所围成的曲边梯形的面积：()()cbacSf x dxf x dx()().cbacf x dxf x dx（如图（3）图（3）4由两条曲线()yf x，()yg x（()()f xg x）与直线 xa，xb（ab）所围成的曲边梯形的面积：()()()().bbbaaaSf x dxg x dxf xg x dx（如图（4）52图（4）（8）定积分在物理中的应用：1变速直线运动的路程：作变速直线运动的物体所经过的路程 S，等于其速度函数()vv t（()0v t）在时间区间,a b 上的定积分，即()baSv t dt.2变力作功：物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与(
103、)F x 相同的方向从 xa移动到 xb（ab），那么变力()F x 所作的功()baWF x dx.九、数系的扩充与复数的引入1.复数的基本概念，复数相等的条件（1）虚数单位：i，21i ；（2）定义：形如 zabi（a，bR）其中 a，b 分别是它的实部和虚部.当0b 时，za为实数；当0b 时，zabi为虚数；当0a，0b 时，zbi为纯虚数.（3）两个轴：实轴：x 轴；虚轴：y 轴.实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数.（4）复数相等：abicdi ac，bd（a，b，c，d R）.（5）复数的模及共轭复数：1模：向量OZ的模 r 叫做复数 zabi（a，bR）的模
104、（或绝对值），记作 Z 或 abi，由模的定义可知：则22zabirab（显然0r，r R）；2共 轭复 数：设 zabi，z 的 共轭 复数 记 为 z，则 zabi，22zab，22z zab.（6）复数的几何意义：复数 zabi（a，bR）对应复平面上的点,Z a b，对应的向量是,OZa b.532.复数代数形式的四则运算法则：（1）加法：abicdiacbd i；（2）减法：abicdiacbd i；（3）乘法：abicdiacbdbcad i；（4）除法：222222abicdiacbdbcad iabiacbdbcad icdicdicdicdcdcd.3.常见的运算规律：zz；
105、2zza；2zzbi；2222zzzzab；zz；zzzR；41nii ；421ni ；43nii ；441ni ；21ii ；11iii；11iii；212ii ；设132i 是1的立方虚根 210；31n；32n；331n .十、立体几何初步1.柱、锥、台、球及其简单组合：（1）多面体的结构特征：多面体结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分（2）旋转体的形成及结构特征：旋转体旋转图形旋转轴结构特征圆柱矩形任一边所在的直线底面是圆形，轴截
106、面是矩形圆锥直角三角形一条直角边所在的直线底面是圆形，轴截面是等腰三角形圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线底面是圆形，轴截面是等腰梯形球半圆直径所在的直线截面为圆，球心与截面圆的圆心连线垂直于截面（3）特殊的棱柱之间的关系：侧棱与底面边长相等底面为正方形底面为矩形长方体正四棱柱正方体四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面54（4）特殊的棱锥正棱锥：侧棱相等；底面是正多边形；侧面是等腰三角形正四面体：所有棱长都相等的四面体叫正四面体2.斜二测画法简单空间图形的直观图、三视图（1）投影平行投影：平行投影的投影线互相平行；中心投影：中心投影的投影线相交于一点（2）斜二测：原图与直
107、观图中的“三变、三不变”：“三变”：坐标轴的夹角变为 45或135；于 y 轴平行的长度变为原来的一半；图形改变：24SS直观图原图形，2 2SS原图形直观图；“三不变”：平行性不变；与 x 轴、z 轴平行的长度不变；相对位置不变（3）三视图：1定义：三视图是观察者从不同位置观察同一几何体，画出它的空间几何体图形，它们包括正（主）视图、侧（左）视图、俯视图.2画三视图注意事项：规则：正视图、侧视图高度一样；正视图、俯视图长度一样；侧视图、俯视图宽度一样.顺序：先画正视图，俯视图画在正视图的下方，侧视图画在正视图的右边；实线与虚线：被挡住的轮廓线画成虚线，能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的
108、轮廓线和棱用虚线表示.模型：一般找长方体、正方体等模型辅助.3将三视图还原实物图：（三步法）看视图，明关系 分部分，想整体 综合起来，定整体.3.球、棱柱、棱锥的表面积和体积（1）柱、锥、台和球的侧面积和体积：面积体积圆柱2Srh侧2VShr h圆锥Srl侧2222111333VShr hrlr圆台12Srr l侧13VSSS Sh下下上上22121 21 3rrrrh直棱柱Sch侧VSh正棱锥12Sch侧（h 为斜高）13VSh正棱台12Scc h侧13VSSS Sh下下上上55（h 为斜高）球24SrR球面34 3VR（2）几何体的表面积：1棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和；2圆柱
109、、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面积之和；3转化思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法；4正方体与球：如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径；球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题.（3）求空间几何体体积的常用方法：1公式法：直接根据相关的体积公式计算；2等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易
110、，或是求出一些体积比等；3割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体.4.公理1、公理 2、公理 3、公理 4、定理（1）平面的性质及推论：图形文字语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内AlBllAB 公理 2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C 三点不共线有且只有一个平面，使A，B，C.公理 3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若 P且 P，则a，且 Pa推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面Aa 有且只有一个平面，使 A，a.推论 2经过两条相交直线
111、，有且只有一个平面abP 有且只有一个平面，使 a，b.推论 3经过两条平行直线，有且只有一个平面ab 有且只有一个平面，使 a，b.56公理 4平行于同一直线的两条直线平行ab，bc ac.（2）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.5.空间线、面的位置关系（1）空间中两条直线的位置关系：1相交直线：同一个平面内，有且只有一个公共点；2平行直线：同一个平面内，没有公共点；3异面直线：空间中，两条直线既不平行也不相交，没有公共点.（2）空间中直线与平面、平面与平面的位置关系：图形语言符号语言公共点直线与平面相交aA 1个平行a0 个在平面内a无数个平面与平面平行
112、0 个相交l 无数个（3）异面直线所成的角：1定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间中任一点 O 作直线 aa，bb，把 a 与 b所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角)；2找角方法：平移到同一个平面内；3范围：0,2.（4）异面直线的判定方法：1判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；2反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.6.线面、面面平行的判定和性质：（1）线面平行判定性质定义定理图形57条件a a，b，baaa，a，b 结论aba ba（2）思考途径：1转化为直线与平面无公共点；2转化为线线平行；
113、3转化为面面平行.（3）面面平行判定性质定义定理图形条件 a，b，abP，a，b，a，b，a结论aba（4）思考途径：1转化为判定二平面无公共点；2转化为线面平行；3转化为线面垂直.7.线面、面面垂直的判定和性质：（1）线面垂直判定性质定义定理图形条件a，laa，b，abP，la，l，ala，l58lb结论llla（2）思考途径：1转化为该直线与平面内任一直线垂直；2转化为该直线与平面内相交二直线垂直；3转化为该直线与平面的一条垂线平行；4转化为该直线垂直于另一个平行平面；5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.（3）面面垂直判定性质定义定理图形条件二面角为 90l，l，l，la，la结论ll
114、（4）思考途径:1转化为判断二面角是直二面角；2转化为线面垂直8.三垂线定理及其逆定理判定定理逆定理图形59 2 1 A B D C条件PO，O，PAA a，aOAPO，O，PAA a，aPA结论aPAaOA简记影直斜也直斜直影也直9.三余弦定理：设 AC 是平面 内的任一条直线，AD 是 的一条斜线 AB 在 内的射影，且BDAD，垂足为 D.设 AB 与(AD)所成的角为1，AD 与 AC 所成的角为2，AB 与 AC 所成的角为 则12coscoscos10.面积射影定理：已知平面 内一个多边形的面积为 S（S原），它在平面 内的射影图形的面积为 S（S射），平面 与平面 所成的二面角的
115、大小为锐二面角，则cos=SSSS 射原.十一、空间向量与立体几何1.空间直角坐标系与向量的坐标运算（1）空间直角坐标系名称内容空间直角坐标系以空间一点 O 为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立三条两两垂直的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这时建立了一个空间60直角坐标系Oxyz坐标原点点 O坐标轴x 轴、y 轴、z 轴坐标平面通过每两个坐标轴的平面（2）空间中点 M 的坐标：空间中点 M 的坐标常用有序实数组,x y z 来表示，记作,M x y z，其中 x 叫做点 M 的横坐标，y 叫做点 M 的纵坐标，z 叫做点 M 的竖坐标.建立了空间直角坐标系后，空间中的点 M 和有序实数组
116、,x y z 可建立一一对应的关系.（3）空间两点间的距离：1设点111,A x y z，222,B xy z，则222212121ABxxyyzz；特别地，点,M x y z 与坐标原点 O 的距离为：222OPxyz.2设点111,A x y z，222,B xy z，333,C x y z则线段 AB 的中点坐标为121212,222xxyyzz.ABC 的重心坐标为123123123,333xxxyyyzzz（4）空间向量的有关概念：名称概念表示零向量模为 0 的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表
117、示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的线性运算及运算律:（1）定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算.如：OBOAABab；BAOAOBab；OAa（R）（2）运算律：1加法交换律：abba；2加法结合律：abcabc；613数乘分配律：abab.（3）空间向量的有关定理：1共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b（0b），ab 的充要条件是存在实数 ，使得 ab；2共面向量定理：如果两个向量 a，b不共线，那么向量 c与向量 a，b共面的充要条件是存在实数 x，y 的有序实数对,x y，使 cxayb.推论：若
118、 OA，OB不共线，则 P、A、B 三点共线 OPxOAyOB（1xy）3空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组,x y z，使得 pxaybzc.其中,a b c 叫做空间的一个基底.推论：若 OM、OA，OB不共线，则 P、M、A、B 四点共面 OPxOMyOAzOB（1xyz）.3.空间向量直角坐标运算：设111,ax y z，222,bxyz则：1121212,abxxyyzz；2121212,abxxyyzz；3111,axyz（R）；4121212a bx xy yz z.4.空间向量的坐标表示：设111,Ax y z，222,Bx
119、y z，则：121212,BAOAOBxxyyzz.5.空间的线线平行、垂直、夹角公式：设111,ax y z，222,bxyz，则：（1）a bab（0b）121212xxyyzz；（2）12121 200aba bx xy yz z；（3）夹角公式：121212222222111222cos,x xy yz za bxyzxyz（,0,a b ）62推论：222222212121 2111222x xy yz zxyzxyz（三维柯西不等式）（4）异面直线所成的角：0,90 121212222222111222coscos,abx xy yz za ba bxyzxyz （其中 为异面直线
120、 a，b 所成的角，a，b分别为异面直线 a，b 的方向向量）；（5）直线 AB 与平面 所成的角：0,90 sinAB mABm ，arcsinAB mABm （m为平面 的法向量，AB为直线 AB 的方向向量）；（6）二面角l 的平面角：0,180 cosm nm n ，arccos m nm n 或 arccos m nm n （m、n为平面、的法向量）6.利用法向量求空间距离：（1）点Q 到直线l 的距离221da ba ba （点若Q 为直线l 外的一点,P 在直线l 上，a 为直线l 的方向向量，b=PQ，则点Q 到直线l 距离为）.（2）点 A 到平面 的距离若点 A 为平面 外
121、一点，点 A 为平面 内任一点，平面 的法向量为 n，则 P 到平面 的距离就等于 MP在法向量 n方向上的投影的绝对值.即cos,dMPn MPn MPMPn MP n MPn.（3）直线 a 与平面 之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.即n MPdn（4）两平行平面,之间的距离63利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.即.n MPdn（5）异面直线间的距离设向量 n与两异面直线 a，b 都垂直，Ma，Pb则两异面直线 a，b 间的距离 d 就是M
122、P在向量 n方向上投影的绝对值.即n MPdn.7.直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量:若 A、B 是直线l 上的任意两点，则 AB为直线l 的一个方向向量；与 AB平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.（2）平面的法向量：若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，那么向量n叫做平面 的法向量.（3）平面法向量的求法（待定系数法）建立适当的坐标系；设平面 的法向量为(,)nx y z；求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,),(,)aa a abb b b；根据法向量定义建立方程组00n an b ；解方程组，取其中一组解，即得平面 的法向量 n.如
123、图8.用向量方法判定空间中的平行（1）线线平行设直线 1l，2l 的方向向量分别是 a，b，则要证明 12ll，只需证明ba，即 ab（R）.（2）线面平行64（法一）设直线l 的方向向量是 a，平面 的法向量是u，则要证明l，只需证明0a ul .（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.（3）面面平行若平面 的法向量为u，平面 的法向量为v，要证，只需证u v ，即证uv.9.用向量方法判定空间的垂直关系（1）线线垂直设直线 1l，2l 的方向向量分别是 a，b，则要证明 12ll，只需证明 ab，即=0a b.（2）线面垂直（法一）设直
124、线l 的方向向量是 a，平面 的法向量是u，则要证明l，只需证明a u，即au.（法二）设直线l 的方向向量是a，平面 内的两个相交向量分别为 m，n，若00a ma n ，则l.（3）面面垂直若平面 的法向量为u，平面 的法向量为v，要证，只需证uv，即证0u v .十二、平面解析几何初步1.直线的倾斜角和斜率倾斜角：0，2121yykxx2.直线的斜率（1）当倾斜角2 时，tank；（2）过两点的斜率：2121yykxx（12xx），11,yA x、22,yB x.3.直线方程的表达式：（1）斜截式：ykxb（2）点斜式：00yyk xx（0 xx）（3）两点式：121121yyyyxxx
125、x（12xx）65（4）截距式：1xyab 的（0ab）（5）一般式：0AxByC的（A、B 不全为0）4.两条直线平行或垂直的判定（1）斜截式形式：1l：11yk xb；2l：22yk xb12ll1212=kkbb；1l 和 2l 相交 12kk；1l 和 2l 重合 1212=kkbb；12ll12=1k k.（2）一般式形式：1l：1110A xB yC；2l：2220A xB yC12ll12211221=A BA BB CB C；1l 和 2l 相交 1221A BA B；1l 和 2l 重合 12211221=A BA BB CB C；12ll1212+=0A AB B.5.距离
126、（1）两点的距离公式：设（11,A x y、22,B xy）222121ABxxyy；（2）点到直线的距离:点 00,A xy到直线l：0AxByC的距离：0022AxByCdAB（点）；（3）两平行线间的距离：设 1l：10AxByC；2l：20AxByC（12CC）1222CCdAB.666.圆的标准方程与一般方程（1）圆的标准方程：222xaybr；其中圆心,a b，半径：r；（2）一 般 方 程：220 xyDxEyF（隐 含 条 件：2240DEF）其 中 圆 心22DE，-，半径：22142rDEF.7.直线与圆的位置关系直线0AxByC与圆222()()xaybr的位置关系有三种
127、：dr 相离 0；=d r 相切=0；dr 相交 0；弦长公式：222lrd8.两圆的位置关系：圆心距12O Od，Rr外离：dRr；外切：=d Rr；相交：RrdRr；内切：=d Rr；内含：dRr.十三、圆锥曲线与方程1.椭圆焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程22221xyab（0ab）22221yxab（0ab）第一定义到 两 定 点1F、2F 的 距 离 之 和 等 于 常 数 2a，即21|2MFMFa（212|0aF F）672.双曲线第二定义与 一 定 点 的 距 离 和 到 一 定 直 线 的 距 离 之 比 为 常 数 e，即 MFed（01e）范围axa
128、 且 byb bxb 且 aya 顶点1,0a、2,0a1 0,b、2 0,b1 0,a、2 0,a1,0b、2,0b轴长长轴的长 2a，短轴的长2b对称性关于 x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称焦点1,0Fc、2,0F c1 0,Fc、2 0,Fc焦距12=2F Fc（222cab）离心率22222221ccabbeaaaa（01e）准线方程2axc 2ayc 焦半径0,0()M x y左焦半径：10MFaex右焦半径：20MFaex下焦半径：10MFaey上焦半径：20MFaey焦点三角形面积2 tan 2ABCSb（12=F MF）通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2bHHa（焦点）弦
129、长公式1,1()A x y，2,2()B x y22212121211()4ABkxxkxxx x焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形683.抛物线标准方程22221xyab（0a，0b）22221yxab（0a，0b）第一定义到两定点1F、2F 的距离之差的绝对值等于常数 2a，即21|2MFMFa（2102|aF F）第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即 MFed（1e）范围xa 或 xa，yRya 或 ya，xR顶点1,0Aa、2,0A a1 0,Aa、2 0,Aa轴长实轴的长 2a，虚轴的长2b对称性关于 x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称焦点1,0Fc
130、、2,0F c1 0,Fc、2 0,Fc焦距12=2F Fc（222cab）离心率2222222+1+ccabbeaaaa（1e）准线方程2axc 2ayc 渐近线方程byxa ayxb 焦半径0,0()M x yM 在右支1020MFexaMFexa左焦：右焦：M 在左支1020MFexaMFexa 左焦：右焦：M 在上支1020MFeyaMFeya左焦：右焦：M 在下支1020MFeyaMFeya 左焦：右焦：焦点三角形面积2 cot 2ABCSb（12=F MF）通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2bHHa（焦点）弦长公式1,1()A x y，2,2()B x y22212121211(
131、)4ABkxxkxxx x69图形标准方程22yp x（0P）22yp x（0P）22xp y（0P）22xpy（0P）定义与一定点 F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线l 上顶点0,0离心率1e 对称轴x 轴y 轴70范围0 x 0 x 0y 0y 焦点,02pF,02pF 0,2pF 0,2pF 准线方程2px 2px 2py 2py 焦半径0,0()M x y02pMFx02pMFx 02pMFy02pMFy 通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HHp 焦点弦长公式12ABxxp71关于抛物线的几个定理：设 AB 为过抛物线22yp x（0
132、p）焦点的弦，12,A x y、22(,)B xy，直线 AB 的倾斜角为，则：2124px x，212y yp；22sinpAB；以 AB 为直径的圆与准线相切；焦点 F对 A、B 在准线上射影的张角为 2；112|FAFBP4.直线与圆锥曲线的位置关系：以直线和焦点在 x 轴上的椭圆为例（通性通法）数学思想：分类讨论思想、方程思想、数形结合思想、转化化归思想；数学方法：设而不求法、代入法、点差法；数学语言：解析语言、向量语言、代数语言.通性通法：参数 p 的几何意义参数 p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔72分类讨论：（1）当直线斜率 k 不存在时候，得到垂直于 x 轴的一条直线
133、，代入检验是否符合题意；（2）当直线斜率 k 存在时，不妨设直线l：ykxm联立方程组22221ykxmxyab 22222222220ba kxa kmxa ma b（*）讨论2=4bac000 相交相切相离；特别的当2=40bac时，（*）有两个不同的实数根1x，2x，即直线与椭圆相交于不同的两点 11,A x y，22,B xy（设而不求法）韦达定理2122222222122222a kmxxba ka ma bx xba k；代入法：将 11,A x y，22,B xy代入直线方程l：ykxm中得：1122ykxmykxm1212221212121221121222yyk xxmy y
134、k x xkm xxmx yx ykx xm xx；点差法：将将 11,A x y，22,B xy代入椭圆方程中做差：（00,M xy是相交弦 AB 中点）22112222222211xyabxyab22221212220 xxyyab22221212220 xxyyab22212120122221212120=AByyyyyyybkxxxxxxxa（0axa）相交弦长：弦长公式：设直线:l ykxm，l 上两点 11,A x y，22,B xy所以2121ABkxx或21211AByyk；形与数的转化，转化方向：垂直、中点、对称.5.曲线与方程的对应关系73（1）一般地，在平面直角坐标系中，
135、如果某曲线C 上的点与一个二元方程,0f x y 的实数解建立了如下关系：曲线上点的坐标都是方程,0f x y 的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（2）直接法求动点的轨迹方程的一般步骤：建立适当的坐标系，用有序实数对,x y 表示曲线上任意一点 M 的坐标；写出适合条件 P 的点 M 的集合=|PM P M；用坐标表示条件P M，列出方程,0f x y；化方程,0f x y 为最简形式；说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上（3）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立 x，y 之间的关系,0F x y；待定系数法：已知所求
136、曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；代入转移法：动点,P x y 依赖于另一动点00,Q x y的变化而变化，并且00,Q x y又在某已知曲线上，则可先用 x，y 的代数式表示0 x，0y，再将0 x，0y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；参数法：当动点,P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程十四、算法初步1.算法的含义（1）算法的概念：算法通常是指按照一定的规则解决某
137、一类问题的明确、有限的步骤.（2）算法的特点：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性.（3）设计算法的要求：写出的算法，必须能解决某一类问题，并且能够重复使用；要使算法尽量简单、步骤尽量减少；要保证算法正确，且计算机能够执行；算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含糊不清，而且在有限步后能得出结果.2.程序框图的三种基本逻辑结构：顺 序 结构、条件结构、循环结构 当型循环结构直到型循环结构（1）顺序结构示意图：语句 n+1语句 n74（图 1）（2）条件结构示意图：IF-THEN-ELSE 格式：（图 2）IF-THEN 格式：（图 3）（3）循环结构示意图：当型（WHI
138、LE 型）循环结构示意图：（图 4）直到型（UNTIL 型）循环结构示意图：满足条件？语句 1语句 2是否满足条件？语句是否满足条件？循环体是否满足条件？循环体是否75（图 5）3.基本算法语句：（1）输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”；变量（2）输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式（3）赋值语句的一般格式：变量表达式（“=”有时也用“”）.（4）条件语句的一般格式有两种：IFTHENELSE 语句的一般格式为：IFTHEN 语句的一般格式为：（5）循环语句的一般格式是两种：当型循环（WHILE）语句的一般格式：IF条件THEN语句 1ELSE语句 2END IFIF条件
139、 THEN语句END IF（图3）（图2）WHILE条件循环体WEND（图 4）76直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：4.算法案例：（1）辗转相除法结果是以相除余数为0 而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商0S 和一个余数0R；若0=0R，则n 为 m，n 的最大公约数；若00R，则用除数 n 除以余数0R 得到一个商1S和一个余数1R；若1=0R，则1R 为 m，n 的最大公约数；若10R，则用除数0R 除以余数1R 得到一个商2S和一个余数2R；依次计算直至=0nR，此时所得到的1nR 即为所求的最大公约数。（2）更相减损术结果是以
140、减数与差相等而得到利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是，执行第二步。以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。（3）进位制十进制数化为 k 进制数除k 取余法k 进制数化为十进制数先将 k 进制写成不同位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：即：121101210nnnnnnka aa aakakakaka.十五、计数原理1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理（1）分类加法计数原理：做一件事情，完成它有 n 类办法，在第一类办法
141、中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法在第 n 类办法中有nm 种不同的方法.那么完成这件事情共有12nNmmm种不同的方法.（2）分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要 n 个步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法做第 n 个步骤有nm 种不同的方法.那么完成这件事情共有12nNmmm种不同的方法.2.用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题（1）两个特点：分类加法计数原理的特点是独立、互斥；分步乘法计数原理的特点是关联、连续解题时经常是两个原理交叉在一起使用，两个原理综合使用时，一般先分类，再分步，分类要DO循环体LO
142、OPUNTIL条件（图 5）77标准明确，分步要步骤连续，有的题目也可能出现先分步，在“步”里面再分类.（2）两个关键：分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的步骤，既要合理分类，又要准确分步.3.排列、组合的概念、排列数、组合数：（1）排列定义：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的一个排列.（2）组合定义：一般地，从 n 个不同的元素中任取m（mn）个元素并成一组，叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的一个组合.（3）排列数：从 n 个不同的元素中任取 m（mn）个元素的所有排
143、列的个数，叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的排列数，记作mnA.（4）组合数：从 n 个不同的元素中任取 m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的组合数，记作mnC.（5）排列数公式：121mnAn nnnm；!mnnAnm！；!nnAn，规定 0!1.（6）组合数公式：121!mnn nnnmCm或!mnnCm nm！；mn mnnCC，规定01nC.（7）排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.（8）排列与组合的联系：mmmnnmACA，即排列就是先组合再全排列.(1)(1)!()(1)2 1!mmnnmmAnnnmnCmnAmmm nm（
144、9）排列与组合的两个性质性质：排列11mmmnnnAAmA ；组合11mmmnnnCCC.（10）解排列组合问题的方法：特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）.间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）.相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）.不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把
145、有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）.有序问题组合法.78选取问题先选后排法.至多至少问题间接法.相同元素分组可采用隔板法.分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成 n 组问题别忘除以!n.4.用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题：（1）二项式定理：011222nnnnrn rrnnnnnnnabC aC abC abC abC b（nN）（2）二项展开式的通项公式：1rn rrrnTC ab（0rn，r N，nN）.（3）项的系数与二项式系数项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数.如在()naxb的展开式中，第1r
146、 项的二项式系数为rnC，第1r 项的系数为rn rrnC ab；而1()nxx的展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为正，而项的系数不一定为正.（4）1nx的展开式：0112201nnnnnnnnnxC xC xC xC x，若令1x，则有0121 12nnnnnnnCCCC.二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即02413512nnnnnnnCCCCCC.（5）二项式系数的性质：对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mn mnnCC；增减性与最大值：当12nr时，二项式系数rnC 的值逐渐增大，当12nr时，rnC 的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n 为
147、偶数时，中间一项（第12n 项）的二项式系数2nnC 取得最大值.当n 为奇数时，中间两项（第12n 和112n 项）的二项式系数1122nnnnCC相等并同时取最大值.（6）系数最大项的求法：设第 r 项的系数rA 最大，由不等式组11rrrrAAAA可确定 r.（7）赋值法：若2012().nnnaxbaa xa xa x，则设()()nf xaxb.有：0(0)af；012.(1)naaaaf；0123.(1)(1)nnaaaaaf；0246(1)(1).2ffaaaa；1357(1)(1).2ffaaaa.79十六、统计1.简单随机抽样（1）定义：设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不
148、放回地抽取 n 个个体作为样本(nN)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.（2）最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法2.分层抽样和系统抽样（1）系统抽样的步骤:假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本编号：先将总体的 N 个个体编号；分段：确定分段间隔 k，对编号进行分段，当 Nn(n 是样本容量)是整数时，取Nkn；定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号1（1k）；获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将1加上间隔k 得到第 2 个个体编号1+k，再加 k 得到第3个个体编号1 2k，依次进行下去，直到获取
149、整个样本（2）分层抽样：定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样分层抽样的步骤：分层：将总体按某种特征分成若干部分；确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比；确定各层应抽取的样本容量；在每一层进行抽样(各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取)，综合每层抽样，组成样本3.频率分布表，直方图、折线图、茎叶图（1）频率直方图：通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的频率分布估计总体的分布；另一种是用样
150、本的数字特征估计总体的数字特征（2）作频率分布直方图的步骤：求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；决定组距与组数；将数据分组；列频率分布表；画频率分布直方图（3）在频率分布直方图中，纵轴表示 频率组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示各小长方形的面积总和等于1.（4）频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图（5）总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线80（6）茎叶图的两个突出的优点：统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；茎叶图中的数
151、据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示.4.样本数据的基本的数字特征（如平均数、标准差）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等平均数：样本数据的算术平均数，即1231nxxxxxn；样本方差：2222121nsxxxxxxn；标准差222121nsxxxxxxn，其中nx 是样本数据的第 n 项，n 是样本容量，x 是平均数，标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方通常用样本方差估计总体方差，当样本
152、容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差.5.用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征（1）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值；（2）平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和；（3）众数：最高的矩形的中点的横坐标；（4）直方图与条形图的区别不要把直方图错以为条形图，两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机变量，纵坐标刻度为频率/组距，这是密度，连续随机变量在某一点上是没有频率的；（5）平均数、中位数、众数的影响：由于平均数与每一个样本数据有关，所以
153、，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是中位数、众数都不具有的性质；众数考查各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关众数可以有多个；某些数据的变动对中位数可能没有影响中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中当中间是两个数时，中位数为这两个数的平均值，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势.6.线性回归方程（1）变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；（2）制作散点图，判断线性相关关系；（3）线性回归方程：ybxa（最小二乘法）811221niiiniix ynxybxnxaybx 注意：线性回归直线经过定点(,)x y7.独立性检验：假设有两个
154、分类变量 X 和Y，它们的值域分另为12,x x和12,y y，其样本频数 2 2列联表为：1y2y总计1xabab2xcdcd总计acbdabcd 若要推断的论述为1H：“X 与Y 有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度.具体的做法是，由表中的数据算出随机变量2K 的值22()()()()()n adbcKab cd ac bd，其中 nabcd 为样本容量，2K 的值越大，说明“X 与Y有关系”成立的可能性越大.随机变量2K 越大，说明两个分类变量，关系越强；反之，越弱。23.841K 时，X 与Y 无关；23.841K 时，X 与 Y
155、有 95%可能性有关；26.635K 时，X 与Y 有 99%可能性有关.十七、概率1.随机事件的概率（1）事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；（2）必然事件、不可能事件、随机事件的特点；（3）随机事件 A 的概率：()mP An（0()1P A）.2.随机事件的运算、互斥事件的概率加法公式：（1）不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；（2）如果事件12,nA AA任意两个都是互斥事件，则称事件12,nA AA彼此互斥；（3）如果事件 A，B 互斥，那么事件 AB发生的概率，等于事件 A，B 发生的概率的和，82即：()()()P ABP AP B；（4）如果事件12,nA AA
156、彼此互斥，则有：1212()()()()nnP AAAP AP AP A；（5）对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件.事件 A 的对立事件记作 A：()()1P AP A,()1()P AP A.对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。3.古典概型（1）基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；（2）古典概型的特点：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件都是等可能发生.（3）古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n 个，事件 A 包含了其中的m 个基本事件，则事件 A 发生的概率()mP An；4.几何概型（1）几何概型的特点：所有的基本事件
157、是无限个；每个基本事件都是等可能发生.（2）几何概型概率计算公式：()dP AD的测度的测度.其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等.5.取有限值的离散型随机变量及其分布列（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量奎屯王新敞新疆 随机变量常用字母,X Y 等表示.（2）离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.（3）连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随
158、机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.（5）若 X 是随机变量，YaXb（a，b 是常数）则Y 也是随机变量.并且不改变其属性（离散型、连续型）.（6）离散型随机变量的分布列：概率分布（分布列）设离散型随机变量 X 可能取的不同值为12,x x，ix，nx.X 的每一个值ix（1,2,in）的概率()iiP Xxp，则称表83X1x2xnxP1P2PnP为随机变量 X 的概率分布，简称 X 的分布列.性质：0ip，1,2,.in；11niip.（7）两点分布：如果随机变量 X 的分布列为：则称 X 服从两点分布
159、，并称(1)PP X为成功概率.（8）二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是：()(1)kkn knP XkC pp；其中0,1,2,.,kn，1qp 于是得到随机变量 X 的概率分布如下：X01knP00nnC p q111nnC p qkkn knC p q0nnnC p q我们称这样的随机变量 X 服从二项分布，记作,X B n p，并称 p 为成功概率.（9）判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；重复性：即试验是独立重复地进行了 n 次；等概率性：在每次试验中事件
160、发生的概率均相等.注：二项分布的模型是有放回抽样；二项分布中的参数是,p k n.6.超几何分布一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件XkX01P1pp84发生的概率为kn kMN MnNC CP XkC（0,1,2,mk）,于是得到随机变量 X 的概率分布如下：其中min,mM n,nN，MN，,n M NN；我们称这样的随机变量 X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量 X 服从超几何分布.注:超几何分布的模型是不放回抽样；超几何分布中的参数是,.M N n 其意义分别：总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量.7.条件概率：对任意事件
161、 A 和事件 B，在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，叫做条件概率.记作|P B A，读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.公式：()()()P ABP B AP A，()0P A.8.事件的独立性事件 A（或 B）是否发生对事件 B（或 A）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.当 AB、是相互独立事件时，那么事件 A B发生（即 AB、同时发生）的概率，等于事件 AB、分别发生的概率的积.即：()()()P A BP AP B.若 AB、两事件相互独立，则 A 与 B、A 与 B、A 与 B 也都是相互
162、独立的.9.n 次独立重复试验与二项分布（1）定义：一般地，在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验.（2）独立重复试验的概率公式：如果在1次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个试验恰好发生 k次的概率：()(1)kkn knnP kC pp（0,1,2,kn）10.取有限值的离散型随机变量的均值、方差（1）离散型随机变量的均值：一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：X01mP00nMNMnNC CC11nMNMnNC CCmn mMNMnNC CC85X1x2xnxP1P2PnP则称1122nnE Xx px px p 为离散型随机变量 X 的均
163、值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.性质：()()E aXbaE Xb；若 X 服从两点分布，则()E Xp；若,X B n p，则()E Xnp.（2）离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为X1x2xnxP1P2PnP则称21()()niiiD XxE Xp为离散型随机变量 X 的方差，并称其算术平方根()D X为随机变量 X 的标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.()D X越小，X 的稳定性越高，波动越小，取值越集中；()D X 越大，X 的稳定性越差，波动越大，取值越分散.性质：2()()D aXba D
164、X；若 X 服从两点分布，则()(1)D Xpp；若,X B n p，则()(1)D Xnpp.11.正态分布（1）正态曲线的定义：函数 222,12xxe，,x ，其中实数 ，(0)为参数，我们称,x 的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线86（2）正态曲线的性质：曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线 x对称；曲线在 x处达到峰值12；曲线与 x 轴之间的面积为1；当 一定时，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示；当 一定时，曲线的形状由 确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示（3）
165、正态分布的定义及表示：如果对于任何实数 a，b(ab)，随机变量 X 满足 ,baP aXbx dx ，则称随机变量 X 服从正态分布，记作：2XN，（4）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：+=0.6826PX；2+2=0.9544PX；3+3=0.9974PX.十八、坐标系与参数方程1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换xx,(0):yy,(0)的作用下，点(,)P x y 对应到点(,)P x y，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；
166、再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.xO图 1M(,)87点 M 的极坐标：设 M 是平面内一点，极点O 与点 M 的距离|OM 叫做点 M 的极径，记为；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM叫做点 M 的极角，记为.有序数对(,)叫做点 M 的极坐标，记为(,)M .极坐标(,)与(,2)k （k Z）表示同一个点.极点O 的坐标为(0,)（R）.若0,则0,规定点(,)与点(,)关于极点对称，即(,)与(,)表示同一点.如果规定0（02），那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示（即一一对应的关系）；同时
167、，极坐标(,)表示的点也是唯一确定的.极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数 、对应唯一点 P，但平面内任一个点 P 的极坐标不唯一；一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P，（极点除外）的全部坐标为(,2)k (,21)k，（k Z）极点的极径为0，而极角任意取若对 、的取值范围加以限制；则除极点外，平面上点的极坐标就唯一了，如限定0，02或0，等极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不唯一的.3.极坐标与直角坐标的互化设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x
168、y，极坐标是(,)，从图中可以得出：cosx，siny，222xy，t nyax（0 x）4.简单曲线的极坐标方程:（1）圆的极坐标方程：以极点为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是a；（如图1）以(,0)a(0)a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是2 cosa；（如图 2）以(,)2a(0)a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是2 sina；（如图 4）cosxsiny222yx)0(tanxxyyyxOMHN（直极互化图）88（2）直线的极坐标方程：过极点的直线的极坐标方程是（0）和（0）；（如图1）过点(,0)A a（0a），且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是cosa.化为直角坐标
169、方程为 xa.（如图 2）过点(,)2A a 且平行于极轴的直线l 的极坐标方程是sina.化为直角坐标方程为ya.（如图 4）895.柱坐标系与球坐标系:（1）柱坐标：空间点 P 的直角坐标(,)x y z 与柱坐标(,)z 的变换关系为：cossinxyzz；（2）球坐标系空间点 P 直角坐标(,)x y z 与球坐标(,)r 的变换关系：2222sincossinsincosxyzrxryrzr ；6.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数t 的函数()()xf tyg t，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点(,)M x y 都在
170、这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数t 叫做参变数，简称参数；相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.7.常见曲线的参数方程:（1）圆222()()xaybr的参数方程为cossinxarybr（为参数）；（2）椭圆22221xyab（0ab）的参数方程为cossinxayb（为参数）；（3）椭圆22221yxab（0ab）的参数方程为cossinxbya（为参数）；（4）双曲线22221xyab（0ab）的参数方程sectanxayb（为参数）；（5）双曲线22221yxab（0ab）的参数方程cotcscxbya（为参数）；（6）抛物线22ypx（0P）参数方程222xptypt（t 为参数，1tant）；参数t 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.（7）过定点00(,)P xy，倾斜角为（2）的直线的参数方程00cossinxxtyyt（t 为参数）.908.参数方程与普通方程之间的互化:在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y 的取值范围保持一致；参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性.若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过 ,xf tyg t.根据t 的取值范围导出 x,y 的取值范围.
