1、24.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 第二章 平面向量学习导航学习目标 1.理解并掌握平面向量的数量积的坐标表示及运算(重点)2能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直等有关的问题(难点)学法指导 平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.第二章 平面向量1两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2).数量积 两个向量的数量积等于_，即ab
2、_ 两个向量垂直 ab_ 它们对应坐标的乘积的和x1x2y1y2x1x2y1y202.三个重要公式 1判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a(x1，y1),b(x2，y2),则abx1x2y1y20.()(2)若两个非零向量的夹角满足cos 0,则两向量的夹角一定是钝角()2已知向量 a(1，1)，b(2，x)若 ab1，则 x()A1 B12C.12D1 D3已知 a(3，1)，b(1，3)，那么 a，b 的夹角()A30 B60C120 D90 D4.已知a(2，3)，b(2，4)，则(ab)(ab)_.7数量积的坐标运算已知向量a与b同向，b(1，2)，ab10.(1)求向量a的
3、坐标；(2)若c(2，1)，求(ac)b.解(1)a与b同向，且b(1，2)，ab(，2)(0)又ab10，410，2，a(2，4)(2)ac22(1)40，(ac)b0b0.进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算 1已知向量a(1，2)，b(3，2)(1)求a(ab)；(2)求(ab)(2ab)；(3)若c(2，1)，求(ab)c，a(bc)解：(1)法一：a(1，2)，b(3，2)，ab(4，0)a(ab)(1，2)(4，0)(1)(4)204.法二：a(
4、ab)a2ab(1)222(1)3224.(2)ab(1，2)(3，2)(2，4)，2ab2(1，2)(3，2)(2，4)(3，2)(5，2)，(ab)(2ab)(2，4)(5，2)2(5)422.(3)(ab)c(1，2)(3，2)(2，1)(1322)(2，1)(2，1)a(bc)(1，2)(3，2)(2，1)(1，2)(3221)8(1，2)(8，16)向量模的坐标运算 解 ABC 是直角三角形AB(21，32)(1，1)，AC(21，52)(3，3)，BC(22，53)(4，2)已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明(链接教材P106例5)法一：A
5、B AC 1(3)130，AB AC.ABC 是直角三角形法二：|AB|2，|AC|18，|BC|20，AB2AC2BC2，ABC 是直角三角形 求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算若 a(x，y)，则 aaa2|a|2x2y2，于是有|a|x2y2.2(1)已知 a(1，2)，b(2，m)，若 ab，则|2a3b|等于()A.70 B4 5C3 5D2 5(2)已知|a|10，b(1，2)，且 ab10，则 a 的坐标为_解析：(1)由 ab 得 m40，m4.2a3b(4，8)，|2a3b|4
6、5.B(10，0)或(6，8)(2)设 a 的坐标为(x，y)，由题意得x2y10，x2y210，即x2y10，x2y2100，解得x10，y0，或x6，y8，所以 a(10，0)或 a(6，8)(2014武汉高一检测)已知a(1，2)，b(1，1)(1)若为2ab与ab的夹角，求的值(2)若2ab与kab垂直，求k的值 向量夹角的坐标运算解(1)因为 a(1，2)，b(1，1)，所以 2ab(3，3)，ab(0，3)，所以 cos（2ab）（ab）|2ab|ab|93 18 22.因为 0，所以 4.(2)kab(k1，2k1)，依题意(3，3)(k1，2k1)0，所以 3k36k30，所以
7、 k0.求两向量夹角坐标运算的步骤(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积(2)利用|a|x2y2计算出这两个向量的模(3)由公式 cos x1x2y1y2x21y21x22y22直接求出 cos 的值(4)在0，内，由 cos 的值求角.3已知a(1，1)，b(0，2)，当k为何值时，kab与ab的夹角为120？解：a(1，1)，b(0，2)，kabk(1，1)(0，2)(k，k2)，ab(1，1)(0，2)(1，1)|kab|k2（k2）2，|ab|12（1）2 2.又(kab)(ab)(k，k2)(1，1)kk22，而kab 与 ab 的夹角为 120，cos 120
8、（kab）（ab）|kab|ab|，即1222k2（k2）2，化简整理，得 k22k20，解得 k1 3.易错警示 没能正确理解夹角范围致误 已知 a(1，2)，b(1，)，且 a 与 b 的夹角 为锐角，则实数 的取值范围是()A(，2)(2，12)B(12，)C(2，23)(23，)D(，12)A解析 a 与 b 的夹角 为锐角，cos 0 且 cos 1，即 ab0 且 a 与 b 方向不同，即 ab120，且 amb(m0)，解得(，2)(2，12)错因与防范 1.解答本题易忽视a与b同向，即a与b的夹角0这一情况，从而未舍去2.2.解答此类问题应学会:对于非零向量a与b,设其夹角为,
9、则为锐角cos 0且cos 1ab0且amb(m0);为钝角cos 0且cos 1ab0且amb(m0)；为直角cos 0ab0.4已知向量 a(2，1)，b(，1)，且 a 与 b 的夹角为钝角，试求实数 的取值范围 解：因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 ab0.所以(2，1)(，1)210.所以 12.又当 a 与 b 反向共线，即夹角为 180时，ab|a|b|，则 21 521，解得 2.于是排除反向共线的情况，即 2，于是实数 的取值范围为(12，2)(2，)已知向量 a(cos()，sin()，b(cos(2)，sin(2)(1)求证：ab；(2)若存在不等于 0 的实数 k
10、和 t，使 xa(t23)b，ykatb 满足 xy，试求此时kt2t的最小值 数学思想 函数思想求向量坐标运算中的综合问题 解(1)证明：abcos()cos(2)sin()sin(2)sin cos sin cos 0ab.(2)由 xy，得 xy0，即a(t23)b(katb)0，ka2(t33t)b2tk(t23)ab0，k|a|2(t33t)|b|20.又|a|21，|b|21，kt33t0，kt33t，kt2tt3t23ttt2t3(t12)2114 故当 t12时，kt2t有最小值114.感悟提高 本题突破口是由 xy 得出 k 和 t 的关系，用 t表示 k，从而把kt2t转化为关于 t 的函数，利用函数性质求最值，体现了函数思想 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放