1、第二部分 讲练篇 专题五 解析几何第2讲 圆锥曲线的定义、方程及性质自 主 练 考 点 整 合 做小题激活思维1椭圆 C：x225y2161 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，则F1AB 的周长为()A12 B16 C20 D24C F1AB 的周长为|F1A|F1B|AB|F1A|F2A|F1B|F2B|2a2a4a.在椭圆x225y2161 中，a225，a5，F1AB 的周长为 4a20，故选 C.D 由已知得|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线2已知点 F14，0，直线 l：x14，点
2、 B 是 l 上的动点若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是()A双曲线B椭圆C圆D抛物线17 由题意知|PF1|9ac10，所以 P 点在双曲线的左支，则有|PF2|PF1|2a8，故|PF2|PF1|817.3设 P 是双曲线x216y2201 上一点，F1，F2 分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|_.209 或365 当 k4 时，有 e14k23，解得 k365；当 0k4 时，有 e1k423，解得 k209.故实数 k 的值为209 或365.4设 e 是椭圆x24y2k 1 的离心率，且 e23，则实数 k
3、的值是_5 双曲线的标准方程为x2a2y291(a0)，双曲线的渐近线方程为 y3ax.又双曲线的一条渐近线方程为 y35x，a5.5双曲线x2a2y291(a0)的一条渐近线方程为 y35x，则 a_.0，132 由 8x2y0，得 x218y.2p18，p 116，焦点为0，132.6抛物线 8x2y0 的焦点坐标为_扣要点查缺补漏1圆锥曲线的定义及标准方程(1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件，如 T3.(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化如 T1，T2.(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”2
4、圆锥曲线的几何性质(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到a，c 的关系式，如 T4.(2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等研 考 题 举 题 固 法 圆锥曲线的定义与标准方程(5 年 4 考)高考解读 高考对圆锥曲线的定义及标准方程的直接考查较少，多对于圆锥曲线的性质进行综合考查.1(2019全国卷)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，过F2 的直线与 C 交于 A，B 两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为()A.x22y21 B
5、.x23y221C.x24y231 D.x25y241切入点：|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|.关键点：挖掘隐含条件，确定点 A 的位置，求 a，b 的值 B 设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，由椭圆定义可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF1|2|AB|4a.又|AF2|2|F2B|，|AB|32|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF2|2|F2B|，|AB|32|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF2|a，A 为椭圆的短轴端点如图，不妨设 A(0，b)，又 F2(1,0)，AF2 2F2B，B32，b2.
6、将 B 点坐标代入椭圆方程x2a2y2b21，得 94a2 b24b21，a23，b2a2c22.椭圆 C 的方程为x23y221.故选 B.2(2015全国卷)已知 F 是双曲线 C：x2y281 的右焦点，P是 C 的左支上一点，A(0,6 6)当APF 周长最小时，该三角形的面积为_切入点：APF 的周长最小 关键点：根据双曲线的定义及APF 周长最小，确定 P 点坐标 12 6 由双曲线方程 x2y281 可知，a1，c3，故 F(3,0)，F1(3，0)当点 P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF 的周长|AP|PF|AF|AP
7、|PF1|2|AF|.因为|AF|326 6215 为定值，所以当(|AP|PF1|)最小时，APF 的周长最小，由图象可知，此时点 P 在线段 AF1 与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线 AF1 的方程为 y2 6x6 6，由y2 6x6 6，x2y281，得 y26 6y960，解得 y2 6或 y8 6(舍去)，所以 SAPFSAF1FSPF1F1266 61262 612 6.教师备选题1一题多解(2015全国卷)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为 y12x，则该双曲线的标准方程为_x24y21 法一：双曲线的渐近线方程为 y12x，可设双曲线的方程为 x24y2(0)双
8、曲线过点(4，3)，164(3)24，双曲线的标准方程为x24y21.法二：渐近线 y12x 过点(4,2)，而 30，b0)由已知条件可得 ba12，16a2 3b21，解得a24，b21，双曲线的标准方程为x24y21.2(2018天津高考)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为()A.x23y291 B.x29y231C.x24y2121 D.x212y241A 设双曲线的右焦点为 F(c,0)将 xc 代入x2a2y2b
9、21，得c2a2y2b21，yb2a.不妨设 Ac，b2a，Bc，b2a.双曲线的一条渐近线方程为 ybax，即 bxay0，则 d1bcab2ab2a2|bcb2|cbc(cb)，d2bcab2ab2a2|bcb2|cbc(cb)，d1d2bc2c2b6，b3.ca2，c2a2b2，a23，双曲线的方程为x23y291.故选 A.1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|d(d 为 M 点到准线的距离)易错提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误2求解圆锥曲线标准方
10、程的方法是“先定型，后计算”(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程；(2)计算：即利用待定系数法求出方程中的 a2，b2 或 p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为 y22ax 或 x22ay(a0)，椭圆方程常设为 mx2ny21(m0，n0，且 mn)，双曲线方程常设为 mx2ny21(mn0)1(椭圆的定义)设 F1，F2 为椭圆x29y251 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上，则|PF2|PF1|的值为()A.514 B.59 C.49 D.513 D 如图，设线段 PF1 的中点为 M，因为 O 是 F1F2
11、 的中点，所以 OMPF2，可得 PF2x 轴，|PF2|b2a 53，|PF1|2a|PF2|133，所以|PF2|PF1|513.故选 D.2(双曲线的标准方程)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 4 5，渐近线方程为 2xy0，则双曲线的方程为()A.x24y2161 B.x216y241C.x216y2641 D.x264y2161A 易知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦点在 x 轴上，所以由渐近线方程为 2xy0，得ba2，因为双曲线的焦距为 4 5，所以 c2 5.结合 c2a2b2，可得 a2，b4，所以双曲线的方程为x24y2161.3(抛物线的定义)
12、过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点，若|AF|2|BF|6，则 p_.4 设直线 AB 的方程为 xmyp2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1x2，将直线 AB 的方程代入抛物线方程得 y22pmyp20，所以 y1y2p2,4x1x2p2.设抛物线的准线为 l，过 A 作 ACl，垂足为 C(图略)，过 B 作 BDl，垂足为 D，因为|AF|2|BF|6，根据抛物线的定义知，|AF|AC|x1p26，|BF|BD|x2p23，所以 x1x23，x1x29p，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2，即 18p720，解得 p4.圆锥曲线
13、的性质(5 年 17 考)高考解读 高考对圆锥曲线性质的考查主要涉及椭圆和双曲线的离心率、双曲线的渐近线，难度适中.1(2019全国卷)若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆x23py2p1 的一个焦点，则 p()A2 B3 C4 D8切入点：抛物线的焦点是椭圆的焦点 关键点：正确用 p 表示抛物线和椭圆的焦点 D 抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为p2，0，椭圆x23py2p1 的焦点坐标为(2p，0)由题意得p2 2p，p0(舍去)或 p8.故选 D.2(2019全国卷)设 F 为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2y2
14、a2 交于 P，Q两点若|PQ|OF|，则 C 的离心率为()A.2 B.3 C2 D.5切入点：以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2 相交且|PQ|OF|.关键点：正确确定以 OF 为直径的圆的方程 A 令双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点F 的坐标为(c,0)，则 c a2b2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ 是以 OF 为直径的圆的直径，且 PQOF.设垂足为 M，连接 OP，则|OP|a，|OM|MP|c2，由|OM|2|MP|2|OP|2，得c22c22a2，ca 2，即离心率 e 2.故选 A.3一题多解(2017全国卷)设 A，B 是椭圆
15、 C：x23y2m1 长轴的两个端点若 C 上存在点 M 满足AMB120，则 m 的取值范围是()A(0,19，)B(0，39，)C(0,14，)D(0，34，)切入点：C 上存在点 M 满足AMB120.关键点：求椭圆上的点与椭圆两端点连线构成角的范围建立关于m 的不等式 A 法一：设焦点在 x 轴上，点 M(x，y)过点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 N，则 N(x,0)故 tanAMBtan(AMNBMN)3x|y|3x|y|1 3x|y|3x|y|2 3|y|x2y23.又 tanAMBtan 120 3，且由x23y2m1 可得 x233y2m，则2 3|y|33y2m y
16、23 2 3|y|13m y2 3.解得|y|2m3m.又 0|y|m，即 0 2m3m m，结合 0m3 解得 0m1.对于焦点在 y 轴上的情况，同理亦可得 m9.则 m 的取值范围是(0,19，)故选 A.法二：当 0m3 时，焦点在 x 轴上，要使 C 上存在点 M 满足AMB120，则abtan 60 3，即 3m 3，解得 03 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足AMB120，则abtan 60 3，即 m3 3，解得 m9.故 m 的取值范围为(0,19，)故选 A.教师备选题1(2018全国卷)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 3，则其渐近线方程
17、为()Ay 2x By 3xCy 22 xDy 32 xA 因为双曲线的离心率为 3，所以ca 3，即 c 3a.又 c2a2b2，所以(3a)2a2b2，化简得 2a2b2，所以ba 2.因为双曲线的渐近线方程为 ybax，所以 y 2x.故选 A.2(2017全国卷)已知 F 是双曲线 C：x2y231 的右焦点，P是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是(1,3)，则APF 的面积为()A.13B.12C.23D.32D 因为 F 是双曲线 C：x2y231 的右焦点，所以 F(2,0)因为 PFx 轴，所以可设 P 的坐标为(2，yP)因为 P 是 C 上一点，所以
18、4y2P3 1，解得 yP3，所以 P(2，3)，|PF|3.又因为 A(1,3)，所以点 A 到直线 PF 的距离为 1，所以 SAPF12|PF|1123132.故选 D.3(2017全国卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bxay2ab0相切，则 C 的离心率为()A.63B.33C.23D.13A 由题意知以 A1A2 为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为 a.又直线 bxay2ab0 与圆相切，圆心到直线的距离 d2aba2b2a，解得 a 3b，ba 13，eca a2b2a1ba21132 63.
19、故选 A.1椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a，b，c 的等量关系或不等关系，然后把 b 用 a，c 代换，求ca的值 2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零，分解因式可得(2)用法：可得ba或ab的值 利用渐近线方程设所求双曲线的方程1(椭圆的离心率)一题多解直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13 B.12 C.23 D.34B 法一：如图，|OB|为椭圆中心到 l 的距离，则|OA|OF|AF|OB|，即 bca
20、b2，所以 eca12.故选 B.法二：设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，由题意可取直线 l的方程为 yba2b2xb，椭圆中心到 l 的距离为b a2b2a，由题意知b a2b2a142b，即 a2b2a12，故离心率 e12.2(双曲线的离心率)设 F1，F2 分别是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点，N 是 MF2 的中点，O为坐标原点，且 ONMF2,3|ON|2|MF2|，则 C 的离心率为()A6 B5 C4 D3B 连接 MF1(图略)，由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a，因为N 为 MF2的中点，O 为 F1F2的中点
21、，所以 ONMF1，所以|ON|12|MF1|，因为 3|ON|2|MF2|，所以|MF1|8a，|MF2|6a，因为 ONMF2，所以 MF1MF2，在 RtMF1F2 中，由勾股定理得(8a)2(6a)2(2c)2，即 5ac，因为 eca，所以 e5，故选 B.3(椭圆与抛物线的综合)已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线 C：y28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|()A3 B6 C9 D12B 抛物线 C：y28x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为 x2.从而椭圆 E 的半焦距 c2.可设椭圆 E 的方程为x2a2y2b
22、21(ab0)，因为离心率 eca12，所以 a4，所以 b2a2c212.由题意知|AB|2b2a 2124 6.故选 B.直线与圆锥曲线的综合问题(5 年 5 考)高考解读 直线与圆锥曲线的位置关系是每年高考的亮点，主要涉及直线与抛物线、直线与椭圆的综合问题，突出考查研究直线与圆锥曲线位置关系的基本方法，注意通性通法的应用，考查考生的逻辑推理和数学运算核心素养.角度一：直线与圆锥曲线的位置关系1(2018全国卷)设抛物线 C：y22x，点 A(2,0)，B(2,0)，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；(2)证明：ABMAB
23、N.切入点：直线 l 过点 A；l 与 C 交于 M，N 两点；l 与 x 轴垂直 关键点：将问题转化为证明 kBM 与 kBN 具有某种关系 解(1)当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x2，可得点 M 的坐标为(2,2)或(2，2)所以直线 BM 的方程为 y12x1 或 y12x1.(2)证明：当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以ABMABN.当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x10，x20.由ykx2，y22x得 ky22y4k0，可知 y1y22k，y1y24.直线 BM，BN 的斜
24、率之和为 kBMkBN y1x12 y2x22x2y1x1y22y1y2x12x22.将 x1y1k 2，x2y2k 2 及 y1y2，y1y2 的表达式代入式分子，可得 x2y1x1y22(y1y2)2y1y24ky1y2k88k0.所以 kBMkBN0，可知 BM，BN 的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.角度二：直线与圆锥曲线的相交弦问题2(2018全国卷)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：x24y231交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M(1，m)(m0)(1)证明：k12；(2)设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且FPFAFB0.证明：2|F
25、P|FA|FB|.切入点：直线 l 与椭圆 C 相交；AB 的中点 M(1，m)关键点：根据FPFAFB0 及点 P 在 C 上确定 m，并进一步得出|FP|，|FA|，|FB|的关系 证明(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214y2131，x224y2231.两式相减，并由y1y2x1x2k 得x1x24y1y23k0.由题设知x1x221，y1y22m，于是 k 34m.由题设得 0m32，故 k12.(2)由题意得 F(1,0)设 P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及题设得 x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.
26、又点 P 在 C 上，所以 m34，从而 P1，32，|FP|32.于是|FA|x112y21x11231x2142x12.同理|FB|2x22.所以|FA|FB|412(x1x2)3.故 2|FP|FA|FB|.教师备选题(2018北京高考)已知椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 63，焦距为 2 2.斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B.(1)求椭圆 M 的方程；(2)若 k1，求|AB|的最大值；(3)设 P(2,0)，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C，直线 PB与椭圆 M 的另一个交点为 D，若 C，D 和点 Q74，14 共线，求 k.
27、解(1)由题意得a2b2c2，ca 63，2c2 2，解得 a 3，b1.所以椭圆 M 的方程为x23y21.(2)设直线 l 的方程为 yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由yxm，x23y21，得 4x26mx3m230，所以 x1x23m2，x1x23m234.所以|AB|x2x12y2y12 2x2x12 2x1x224x1x2 123m22.当 m0，即直线 l 过原点时，|AB|最大，最大值为 6.(3)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得 x213y213，x223y223.直线 PA 的方程为 y y1x12(x2)由y y1x12x2，x23y23，得(x1
28、2)23y21x212y21x12y213(x12)20.设 C(xC，yC)，所以 xCx112y21x1223y214x21124x17.所以 xC4x21124x17 x1127x14x17.所以 yC y1x12(xC2)y14x17.设 D(xD，yD)，同理得 xD127x24x27，yDy24x27.记直线 CQ，DQ 的斜率分别为 kCQ，kDQ，则 kCQkDQy14x1714127x14x17 74y24x2714127x24x27 744(y1y2x1x2)因为 C，D，Q 三点共线，所以 kCQkDQ0.故 y1y2x1x2.所以直线 l 的斜率 ky1y2x1x21.
29、1判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x，y 的方程组，消去 y(或 x)得到一个一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：画出直线与圆锥曲线，根据图形判断公共点个数 2弦长公式 设斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线 C 的两交点为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)则|PQ|x1x2|1k2 x1x224x1x21k2.或|PQ|y1y2|11k2y1y224y1y211k2(k0)3弦的中点 圆锥曲线 C：f(x，y)0 的弦为 PQ.若 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点
30、M(x0，y0)，则 x1x22x0，y1y22y0.1(直线与椭圆的综合)已知离心率为12的椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A2，上顶点为 B，且BA1 BA2 1.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆左焦点 F 的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，且直线 l 与x 轴不垂直，若 D 为 x 轴上一点，|DM|DN|，求|MN|DF|的值解(1)A1，A2，B 的坐标分别为(a,0)，(a,0)，(0，b)，BA1 BA2(a，b)(a，b)b2a21，c21.又 eca12，a24，b23.椭圆的标准方程为x24y231.(2)由(1)知 F(1,0)，设 M(
31、x1，y1)，N(x2，y2)，直线 l 与 x 轴不垂直，可设其方程为 yk(x1)当 k0 时，易得|MN|4，|DF|1，|MN|DF|4.当 k0 时，联立x24y231，ykx1，得(34k2)x28k2x4k2120，x1x2 8k234k2，x1x24k21234k2，|MN|x1x22y1y22 1k2|x1 x2|1k2x1x224x1x21212k234k2.又 y1y2k(x1x22)6k34k2，MN 的中点坐标为4k234k2，3k34k2，MN 的垂直平分线方程为 y3k34k21kx 4k234k2(k0)，令 y0 得，1kxk34k20，解得 xk234k2.
32、|DF|k234k21 33k234k2，|MN|DF|4.综上所述，|MN|DF|4.2(直线与抛物线的综合)过抛物线 E：x24y 的焦点 F 的直线交抛物线于 M，N 两点，抛物线在 M，N 两点处的切线交于点 P.(1)证明点 P 落在抛物线 E 的准线上；(2)设MF 2FN，求PMN 的面积解(1)抛物线 x24y 的焦点坐标为(0,1)，准线方程为 y1.设直线 MN 的方程为 ykx1，代入抛物线方程 x24y，整理得x24kx40.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x24k，x1x24.对 y14x2 求导，得 y12x，所以直线 PM 的方程为 yy112x1(xx1)直线 PN 的方程为 yy212x2(xx2)联立方程，消去 x，得 y1.所以点 P 落在抛物线 E 的准线上(2)因为MF(x1,1y1)，FN(x2，y21)，且MF 2FN.所以x12x2，1y12y21，得 x218，x222.不妨取 M(2 2，2)，N(2，12)，由得 P22，1.易得|MN|92，点 P 到直线 MN 的距离 d3 22，所以PMN 的面积 S12923 22 27 28.Thank you for watching!
