1、23.2 平面向量的正交分解及坐标表示 23.3 平面向量的坐标运算 第二章 平面向量 1问题导航(1)怎样分解一个向量才为正交分解？(2)相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？(3)向量的坐标与点的坐标有什么不同？(4)求向量AB 的坐标需要知道哪些量？2例题导读 P96例2.通过本例学习,学会用正交分解的方法求向量的坐标.P97例4.通过本例学习，熟悉平面向量的坐标运算公式，掌握平面向量的坐标运算 试一试：教材P101A组T2你会吗？P97例5.通过本例学习,学会利用几何性质及向量相等的概念,通过向量的坐标运算求点的坐标 试一试：教材P101A组T3你会吗？1平面向量
2、的正交分解的定义把一个向量分解为两个_的向量 2平面向量的坐标表示(1)建系选基底：在平面直角坐标系中，分别取与_轴、_轴方向相同的两个_ i，j 作为基底(2)定义坐标：对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x，y，使得 a_.则有序数对_叫做向量 a 的坐标(3)特殊向量的坐标：i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)互相垂直xy单位向量xiyj(x，y)3平面向量的坐标运算(1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，R，则：ab_；ab_；a_(2)重要结论：已知向量AB 的起点 A(x1，y1)，终点 B(x2，y2)，则AB _(x1x2，y1y2)(x
3、1x2，y1y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)1判断下列说法是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向 量的 终点不 同，则这两 个向 量的坐 标一 定不同()(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关()(4)点的坐标与向量的坐标相同()解析：(1)错误对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样(2)正确根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标(3)错误根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关(4)错误当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐标 2已知 A(3,1)，
4、B(2，1)，则BA 的坐标是()A(2，1)B(2,1)C(1,2)D(1，2)C解析：BA(3,1)(2，1)(32,11)(1,2)3若 a(2,1)，b(1,0)，则 3a2b 的坐标是()A(5,3)B(4,3)C(8,3)D(0，1)C解析：3a2b3(2,1)2(1,0)(6,3)(2,0)(8,3)4已知AB(2，1)，AC(4,1)，则BC _.解析：BC AC AB(4,1)(2，1)(42,11)(6,2)(6,2)1对向量正交分解的认识(1)向量的正交分解是平面向量基本定理的一种特例(2)正交分解的两个基向量互相垂直，构成正交基底 2解读平面向量的坐标表示(1)向量的坐
5、标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关(2)向量确定后，向量的坐标就被确定了(3)引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示；另一种是坐标法，即用一对有序实数表示有了向量的坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决 3点的坐标与向量的坐标的区别和联系(1)区别：意义：点的坐标反映点的位置，它由点的位置决定；向量的坐标反映的是向量的大小和方向，与位置无关；表示形式：如点 A(x，y)，向量 aOA(x，y)当平面向量OA 平行移动到O1A1 时，向量不变，即O1A1 OA(x，y)，但O1A1 的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生
6、了变化点的坐标不能直接参与线性运算(2)联系：向量 a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系把坐标原点作为表示向量 a 的有向线段的起点，这时向量 a的坐标就由表示向量 a 的有向线段的终点唯一确定，即终点的坐标就是向量 a 的坐标 4相等向量坐标之间的关系由向量的坐标定义知，两向量相等等价于它们的坐标相等，若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2 且 y1y2.平面向量的坐标表示已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成30角求点 B、点 D、AB 与AD 的坐标 解 由题意知 B，D 分别是 30，120角的
7、终边与单位圆的交点设 B(x1，y1)，D(x2，y2)由三角函数的定义，得x1cos 30 32，y1sin 3012，B(32，12)x2cos 12012，y2sin 120 32，D(12，32)AB(32，12)，AD(12，32)方法归纳求向量坐标的三个步骤 1(1)已知 O(0,0)和 A(6,3)两点，点 P 在线段 OA 上，且OPPA12，若点 P 是线段 OB 的中点，则点 B 的坐标为_ 解析：如图所示，则OA(6,3)，因为OPPA12，所以OPOA13，得OP 13OA(2,1)，OB 2OP(4,2)，所以点 B 的坐标为(4,2)(4,2)(2)(2015怀化高
8、一检测)已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|OA|4 3，xOA60，求向量OA 的坐标解：设点 A(x，y)，则 x|OA|cos 604 3cos 602 3，y|OA|sin 604 3sin 606，即 A(2 3，6)，所以OA(2 3，6)平面向量的坐标运算(1)(2014高考北京卷)已知向量 a(2,4)，b(1,1)，则 2ab()A(5,7)B(5,9)C(3,7)D(3,9)(2)已知 A(2，4)，B(1,3)，C(3,4)，若CM 2CA 3CB，求点 M 的坐标 解析(1)因为 2a(4,8)，所以 2ab(4,8)(1，1)(5,7)，故选 A.A(2)解：
9、由 A(2，4)，B(1,3)，C(3,4)，可得CA(23，44)(1，8)，CB(13,34)(4，1)，则CM 2CA 3CB2(1，8)3(4，1)(2，16)(12，3)(14，19)设点 M 的坐标为(x，y)，则CM(x3，y4)由相等向量坐标相同可得x314，y419，解得x11，y15.点 M 的坐标为(11，15)方法归纳平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行 2已知 a(1,2)，b(1
10、，1)，c(3，2)，且有 cpaqb，试求实数 p，q 的值 解：a(1,2)，b(1，1)，c(3，2)，paqbp(1,2)q(1，1)(pq,2pq)cpaqb，pq3，2pq2，解得p1，q4.故所求 p，q 的值分别为 1,4.向量坐标运算的综合应用已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP OA tAB.(1)t 为何值时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？(2)四边形 OABP 能为平行四边形吗？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由(链接教材 P97 例 5)解(1)OP OA tAB(1,2)t(3,3)(13t,23t)若点
11、P 在 x 轴上，则 23t0，t23.若点 P 在 y 轴上，则 13t0，t13.若点 P 在第二象限，则13t0，23t0，23t13.(2)OA(1,2)，PB(33t,33t)若四边形 OABP 为平行四边形，则OA PB，33t1，33t2，该方程组无解故四边形 OABP 不能成为平行四边形 互动探究 若保持本例条件不变，问 t 为何值时，B 为线段AP 的中点？解：由OP OA tAB，得AP tAB.当 t2 时，AP2AB，B 为线段 AP 的中点 名师点评向量中含参数问题的求解关键向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随
12、之改变解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的3(1)已知在非平行四边形 ABCD 中，ABDC，且 A，B，D 三点的坐标分别为(0,0)，(2,0)，(1,1)，则顶点 C 的横坐标的取值范围是_ 解析：当 ABCD 为平行四边形时，则AC AB AD(2,0)(1,1)(3,1)，故满足题意的顶点 C 的横坐标的取值范围是(1,3)(3，)(1,3)(3，)(2)(2015洛阳高一检测)已知向量 u(x，y)与向量 v(y,2yx)的对应关系用 vf(u)表示证明：对任意向量 a，b 及常数 m，n，恒有 f(manb
13、)mf(a)nf(b)成立；设 a(1,1)，b(1,0)，向量 f(a)及 f(b)的坐标；求使 f(c)(p，q)(p，q 是常数)的向量 c 的坐标 解：证明：设 a(a1，a2)，b(b1，b2)，则 manb(ma1nb1，ma2nb2)，所以 f(manb)(ma2nb2,2ma22nb2ma1nb1)，又 mf(a)nf(b)m(a2,2a2a1)n(b2,2b2b1)(ma2nb2,2ma22nb2ma1nb1)，所以 f(manb)mf(a)nf(b)成立f(a)(1,211)(1,1)，f(b)(0,201)(0，1)设 c(x，y)，则 f(c)(y,2yx)(p，q)，
14、所以 yp,2yxq，解得 x2pq，所以 c(2pq，p)易错警示 混淆向量的坐标与点的坐标而致误(2015宿州高一检测)已知 A(2,3)，B(5,4)，C(7，10)，APAB AC(R)，点 P 在第三象限，则 的取值范围为_ 解析 设 P(x，y)，则AP(x，y)(2,3)(x2，y3)又因为AP AB AC(5,4)(2,3)(7,10)(2,3)(3,1)(5,7)(35，17)，1所以(x2，y3)(35，17)，即x235，y317，解得x55，y47.因为点 P 在第三象限，所以x550，y470，解得 1.错因与防范(1)解答本题，常因混淆向量AP的坐标与点 P的坐标而
15、导致错误，也容易因算错点 P 在第三象限应满足的坐标条件而致误(2)当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标相同向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，正确进行向量的坐标运算是解题的关键4已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，CM 3CA，CN2CB，则MN 的坐标为_ 解析：因为 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，所以CA(23,44)(1,8)，CB(33，14)(6,3)所以CM 3CA(3,24)，CN 2CB(12,6)设 M(x，y)，则CM 3CA(x3，y4)，(9，18)即x33，y424，解得x0，y20，所以 M(0,20)，同理
16、可得 N(9,2)，所以MN(90,220)(9，18)1(2014高考广东卷)已知向量 a(1,2)，b(3,1)，则 ba()A(2,1)B(2，1)C(2,0)D(4,3)B解析：由题意得 ba(3,1)(1,2)(2，1)，故选 B.2在平面直角坐标系中，|a|2 016，a 与 x 轴非负半轴的夹角为3，a 始点与原点重合，终点在第一象限，则向量 a 的坐标是()A(1 008 2，1 008 2)B(1 008 2，1 008 2)C(1 008,1 008 3)D(1 008 3，1 008)C解析：设 a(x，y)，则 x2 016cos 31 008，y2 016sin 31 008 3.故 a(1 008,1 008 3)故选 C.3已知向量 a(x3，x23x4)与AB 相等，其中 A(1,2)，B(3,2)，则 x_.解析：易得AB(2,0)，由 a(x3，x23x4)与AB 相等，得x32，x23x40，解得 x1.1本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
