1、专题检测（十一） 空间位置关系的判断与证明A组“633”考点落实练一、选择题1设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是()A若a，b，则abB若a，ab，则bC若a，ab，则bD若a，ab，则b解析：选B若a，b，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；若a，ab，则b或b，故C错误；若a，ab，则b或b或b与相交，故D错误故选B.2设l是直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若，l，则l解析：选B对于A，若l，l，则或与相交，故A错误；易知B正确；对于C，若，l，则l或l，故C错误；对于D，若，l，则l与的位置关系不确定
2、，故D错误故选B.3.如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE解析：选C因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理，DEAC，由于DEBEE，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.故选C.4已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出四个命题：若m，n，nm，则；若m，m，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则.其中正确的命
3、题是()ABCD解析：选B两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故不正确故选B.5在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A BCD解析：选C如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1OM，则MOD为异面直线AD1与DB1所成角因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA
4、1，AD12，DM，DB1，所以OMAD11，ODDB1，于是在DMO中，由余弦定理，得cosMOD，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选C.6.如图，在矩形ABCD中，AB，BC1，将ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于()A2B3C4D5解析：选B如图，设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E平面ABC，因为D1E平面ABD1，所以平面ABD1平面ABC.因为D1E平面ABC，BC平面ABC，所以D1EBC，又ABBC，D1EABE，所以BC平面ABD1，又BC
5、平面BCD1，所以平面BCD1平面ABD1，因为BC平面ABD1，AD1平面ABD1，所以BCAD1，又CD1AD1，BCCD1C，所以AD1平面BCD1，又AD1平面ACD1，所以平面ACD1平面BCD1.所以共有3对平面互相垂直故选B.二、填空题7正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ的长为_解析：如图所示，在线段DD1上靠近点D处取一点T，使得DT，因为N是线段DD1上靠近D1的三等分点，故D1N，故NT21，因为M为CC1的中点，故CM1，连接TC，由NTCM，且CMNT1，知四边形CMN
6、T为平行四边形，故CTMN，同理在AA1上靠近A处取一点Q，使得AQ，连接BQ，TQ，则有BQCTMN，故BQ与MN共面，即Q与Q重合，故AQ.答案：8.如图，ACB90，DA平面ABC，AEDB交DB于点E，AFDC交DC于点F，且ADAB2，则三棱锥DAEF体积的最大值为_解析：因为DA平面ABC，所以DABC，又BCAC，DAACA，所以BC平面ADC，所以BCAF.又AFCD，BCCDC，所以AF平面DCB，所以AFEF，AFDB.又DBAE，AEAFA，所以DB平面AEF，所以DE为三棱锥DAEF的高因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高，所以AE，设AFa，FEb，则AEF的面积
7、Sab，所以三棱锥DAEF的体积V(当且仅当ab1时等号成立)答案：9在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD4，AA12.过点A1作平面与AB，AD分别交于M，N两点，若AA1与平面所成的角为45，则截面A1MN面积的最小值是_解析：如图，过点A作AEMN，连接A1E，因为A1A平面ABCD，所以A1AMN，所以MN平面A1AE，所以A1EMN，平面A1AE平面A1MN，所以AA1E为AA1与平面A1MN所成的角，所以AA1E45，在RtA1AE中，因为AA12，所以AE2，A1E2，在RtMAN中，由射影定理得MEENAE24，由基本不等式得MNMEEN24，当且仅当MEEN，即E为M
8、N的中点时等号成立，所以截面A1MN面积的最小值为424.答案：4三、解答题10(2019全国卷)图是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图.(1)证明：图中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图中的四边形ACGD的面积解：(1)证明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM
9、.因为ABDE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG.由已知，四边形BCGE是菱形，且EBC60，得EMCG，故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中，DE1，EM，故DM2.所以四边形ACGD的面积为4.11.如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点求证：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.证明：(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.因为F为CD的中点，所以GFDE且GFDE.因为AB平面ACD，DE平面ACD，所以ABDE，所以GFAB.又因为ABDE，所以GFAB.所以四边形GFAB为平行四边
10、形，则AFBG.因为AF平面BCE，BG平面BCE，所以AF平面BCE.(2)因为ACD为等边三角形，F为CD的中点，所以AFCD.因为DE平面ACD，AF平面ACD，所以DEAF.又CDDED，所以AF平面CDE.因为BGAF，所以BG平面CDE.又因为BG平面BCE，所以平面BCE平面CDE.12如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，点E是BC边的中点，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体(1)求证：AB平面ADC；(2)若AD1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离解：(1)证明
11、：因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，又DCBD，DC平面BCD，所以DC平面ABD.因为AB平面ABD，所以DCAB.又因为折叠前后均有ADAB，且DCADD，所以AB平面ADC.(2)由(1)知DC平面ABD，所以AC在平面ABD内的正投影为AD，即CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成的角依题意知tanCAD，因为AD1，所以DC.设ABx(x0)，则BD ，易知ABDDCB，所以，即，解得x，故AB，BD，BC3.由于AB平面ADC，所以ABAC，又E为BC的中点，所以由平面几何知识得AE，同理DE，SADE1 ，DC平面ABDVABCDCDSABD，设点B到平面A
12、DE的距离为d，则dSADEVBADEVABDEVABCD，d，即点B到平面ADE的距离为.B组大题专攻强化练1如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，ABA1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的点，且AA1CM.(1)证明：MN平面ABC；(2)若ABA1B，求二面角ACMN的余弦值解：(1)证明：如图1，在三棱柱ABCA1B1C1中，连接BM.因为BCC1B1是矩形，所以BCBB1.因为AA1BB1，所以AA1BC.又AA1MC，BCMCC，所以AA1平面BCM，所以AA1MB，又ABA1B，所以M是AA1的中点取BC的中点P，连接NP，AP，因
13、为N是B1C的中点，所以NPBB1，且NPBB1，所以NPMA，且NPMA，所以四边形AMNP是平行四边形，所以MNAP.又MN平面ABC，AP平面ABC，所以MN平面ABC.(2)因为ABA1B，所以ABA1是等腰直角三角形，设ABa，则AA12a，BMAMa.又在RtACM中，ACa，所以MCa.在BCM中，CM2BM22a2BC2，所以MCBM，所以MA1，MB，MC两两垂直，如图2，以M为坐标原点， ，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则M(0，0，0)，C(0，0，a)，B1(2a，a，0)，所以(0，0，a)，N，则.设平面CMN的法向量为n1(x，y，z)，
14、则即得z0，取x1得y2.故平面CMN的一个法向量为n1(1，2，0)因为平面ACM的一个法向量为n2(0，1，0)，所以cosn1，n2.因为二面角ACMN为钝角，所以二面角ACMN的余弦值为.2.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点(1)求证：BD平面PAC；(2)若ABC60，求证：平面PAB平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由解：(1)证明：因为PA平面ABCD，所以PABD.因为底面ABCD为菱形，所以BDAC.又PAACA，所以BD平面PAC.(2)证明：因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE
15、.因为底面ABCD为菱形，ABC60，且E为CD的中点，所以AECD.所以ABAE.又ABPAA，所以AE平面PAB.因为AE平面PAE，所以平面PAB平面PAE.(3)棱PB上存在点F，使得CF平面PAE.取PB的中点F，PA的中点G，连接CF，FG，EG，则FGAB，且FGAB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CEAB.所以FGCE，且FGCE.所以四边形CEGF为平行四边形所以CFEG.因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE.3如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起
16、到图2中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值解：(1)证明：在图1中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在图2中，BEA1O，BEOC，从而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)知，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高由图1知，A1OABa，平行四边形BCDE的面积SBEOCa2.从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3，由
17、a336，得a6.4(2019天津高考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC平面PCD，PACD，CD2，AD3.(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH平面PAD；(2)求证：PA平面PCD；(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值解：(1)证明：连接BD，易知ACBDH，BHDH.又由BGPG，故GHPD.又因为GH平面PAD，PD平面PAD，所以GH平面PAD.(2)证明：取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DNPC.又因为平面PAC平面PCD，平面PAC平面PCDPC，所以DN平面PAC.又PA平面PAC，所以DNPA.又已知PACD，CDDND，所以PA平面PCD.(3)连接AN，由(2)中DN平面PAC，可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角因为PCD为等边三角形，CD2且N为PC的中点，所以DN .又DNAN，在RtAND中，sinDAN.所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.
