1、永州四中高一入学考试数学试卷满分：150 时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则的真子集个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【详解】因为，所以，即，集合中有两个元素，所以的真子集个数是.故选：A2. 已知命题“，”，则命题（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【详解】由题意可得命题是，故选：B.3. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【详解】记集合，或.因为，所以“”是“”充分不必要条件.故选：A4.
2、如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【详解】设，则，所以，所以，故选：D5. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【详解】在单位圆上即终边在第三象限所以，所以所以.故选：C6. 已知函数，则函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【详解】函数的定义域是，所以函数是奇函数，应关于原点对称，故排除CD；，当时，所以，故排除B.故选：A7. 用二分法判断方程在区
3、间内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：，） （）A. 0.825B. 0.635C. 0.375D. 0.25【答案】B【详解】设，在内有零点，在内有零点，方程根可以是0.635.故选：B8. 定义在的函数满足：对，且，成立，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【详解】由且，则两边同时除以可得，令，则在单调递增，由得且，即解得，故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若，,则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【详解】对于A
4、,取 ，满足，,但，故A错误；对于B,因为，所以 ，又，故，B正确；对于C, 因为，所以，故，C正确；对于D,取满足，但，D错误，故选：10. 下列说法正确的是（ ）A. 函数定义城为B. 和g（x）=x表示同一个函数C. 函数的图像关于坐标原点对称D. 函数f（x）满足，则【答案】AC【详解】对于A：由解得或x2，所以函数的定义域为 ，故A正确；对于B：的定义域为 ，的定义为，定义域不相同，所以和不是同一个函数，故B错误；对于C： 由，所以为奇函数，所以函数的图像关于坐标原点对称，故C正确；对于D：因为函数f（x）满足，所以，由解得，故D错误；故选：AC.11. 已知是正数，且，则（ ）A.
5、 的最大值为4B. 最大值为0C. 的最小值为4D. 的最小值为【答案】BCD【详解】由是正数，且，可得，对A，由可得，无最大值，故A错误；对B，由，所以，当且仅当时等号成立，所以，故B正确；对C，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故C正确；对D，当且仅当时取等号，故D正确故选：BCD12. 已知函数，其中表示不超过x的最大整数，下列说法正确的是（ ）A. 函数为偶函数B. 的值域为C. 为周期函数，且最小正周期D. 与的图像恰有一个公共点【答案】BCD【详解】对于A，由于，所以，所以不是偶函数，故A错；对于B，由于为整数，的值有三种情况，所以的值域为故B正确；对于C，由于，所以，故C正确；
6、对于D，由B得，令，得或，而不是公共点的横坐标. 令，得或，而，所以是两个函数图像的一个公共点. 令，得或，而，所以不是两个函数图像的一个公共点.综上所述，两个函数图像有一个公共点，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知幂函数的图象经过点，那么_【答案】【详解】为幂函数，可设，则，解得：，.故答案为：.14. 已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集为_【答案】【详解】由题意得，所以，故，即，故解集为.故答案为：15. 若函数存在最大值和最小值，记，侧_【答案】16【详解】，令则，即为奇函数，由此故故答案为：16.16. 设函数，方程有四个不相
7、等的实根，则的取值范围是_.【答案】【详解】当时，所以在与上的图像关于对称.作出图象如下图所示，不防令，可得且所以，所以.因为，令，则原式化为.因为其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增所以所以的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 计算下列各式的值：（1）；（2）【答案】（1）； （2）.【小问1详解】解：原式.【小问2详解】解：原式18. 已知非空集合，（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围【答案】（1） （2）【小问1详解】当时，则,，【小问2详解】由题意得是的真子集，而是非空集合，则且与不
8、同时成立，解得，故a的取值范围是19. 科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是，2秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积y与时间x（单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：，其中m，b均为常数（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（2）若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒【答案】（1）选， （2）至少需4秒【小问1详解】因为函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越慢，根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即，由题意可得：，
9、解得：，所以该模型的解析式为：，【小问2详解】由（1）知：，由题意知：，也即，则有，至少需要4秒20. 已知，.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1） （2）【小问1详解】，解得.【小问2详解】，且，则，又，.21. 已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）令，求的最小值.【答案】（1）; （2）【小问1详解】，所以函数的最小正周期为.【小问2详解】由，可得，所以.令,则，令，其对称轴为，当，即，在上单调递增，所以；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；当，即时，在上单调递减，所以.综上所述， 故22. 已知函数是定义在上的奇函数（1）判断并证明函数的单调性；（2）是否存在实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】（1）是上的增函数，证明见解析 （2）存在；【小问1详解】，所以是上的增函数，证明如下：设，是上的单调增函数【小问2详解】假设存在实数，使之满足题意由（1）可得函数在上单调递增，为方程的两个根，即方程有两个不等的实根令，即方程有两个不等的正根，故存在，实数的取值范围为：
