1、2.3.2圆的一般方程一、非标准1.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为()A.-1B.1C.3D.-3解析:化圆为标准形式(x+1)2+(y-2)2=5,圆心为(-1,2).因为直线过圆心,所以3(-1)+2+a=0,所以a=1.答案:B2.过原点且与x轴、y轴的交点分别为A(a,0),B(0,b)(a0,b0)的圆的方程为()A.x2+y2+ax+by=0B.x2+y2-ax-by=0C.x2+y2+ax-by=0D.x2+y2-ax+by=0解析:因为圆过三点O(0,0),A(a,0),B(0,b),所以将三点坐标代入圆的一般方程即可;本题也可以采用验证
2、法.答案:B3.过(1,2)的直线平分圆x2+y2+4x+3=0,则该直线的方程是()A.3x-2y+4=0B.x=1C.2x-3y+4=0D.y=2解析:由于直线平分圆,把圆的方程化为标准方程得圆心(-2,0),则直线过圆心(-2,0).又直线过点(1,2),由两点式得直线方程为2x-3y+4=0.答案:C4.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是()A.36B.18C.62D.52解析:x2+y2-4x-4y-10=0(x-2)2+(y-2)2=18,即圆心为(2,2),半径为32.由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为102=52,由数
3、形结合思想(图略),可得该圆上的点到已知直线的距离的最小值为22,最大值为82,故所求距离之差为62.答案:C5.已知A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则ABC的面积的最大值为()A.3-2B.4-2C.6-22D.3+2解析:要使ABC的面积最大,只需点C到AB的距离最大,亦即求圆上的点到直线AB的距离的最大值,则应为圆心到直线AB的距离d与半径r之和.由于圆心C(1,0)到直线AB:x-y+2=0的距离d为|1-0+2|2=322,即C到AB的距离的最大值为322+1,故ABC的面积的最大值为12|AB|322+1=3+2.答案:D6.如图所示,定圆半径
4、为a,圆心为(b,c),则直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由图象得出b0,又a0,由ax+by+c=0,x-y+1=0,解得x=-b+ca+b,y=a-ca+b.由于圆远离y轴,可知|a|0,b0,从而有a-b,即a+bc0,所以a-c0,且-bac0,所以b+c0.所以x=-b+ca+b0,y=a-ca+b0,所以当=1时,则方程可化为2x-3=0,故方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线.当1时,则方程可化为x+3-12+y2=3-12,即方程表示的曲线是以-3-1,0为圆心,3|-1|为半径的圆.11.设ABC顶点坐标A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其中a0,圆M为ABC的外接圆.(1)求圆M的方程;(2)当a变化时,圆M是否过某一定点,请说明理由.解:(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为圆M过点A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),所以a2+aE+F=0,3a+3aD+F=0,3a-3aD+F=0,解得D=0,E=3-a,F=-3a,所以圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由3+y=0,x2+y2+3y=0,解得x=0,y=-3.所以圆M过定点(0,-3).
