1、解题思维5高考中数列解答题的提分策略1.2020南昌市三模,12分已知数列an中,a1=2,anan+1=2pn+1(p为常数).(1)若-a1,12a2,a4成等差数列,求p的值;(2)若an为等比数列,求p的值及an的前n项和Sn.2.2021山东济南模拟,12分设等比数列an的前n项和为Sn,a1=1,S3=13.(1)求数列an的通项公式;(2)若an是递增数列,求数列|an-n-2|的前n项和.3.2021河南省名校第一次联考,12分已知数列an的首项a1=1,其前n项和为Sn,且满足Sn+1=2Sn+n+1.(1)求证:数列an+1是等比数列.(2)令bn=n(an+1),求数列b
2、n的前n项和Tn.4.原创题,12分已知正项数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn2=an+12-Sn+1,其中为常数.(1)证明:Sn+1=2Sn+.(2)是否存在实数,使得数列an为等比数列?若存在,求出;若不存在,请说明理由.答 案解题思维5高考中数列解答题的提分策略1.(1)令n=1,则a1a2=2p+1,又a1=2,所以a2=2p.anan+1=2pn+1,an+1an+2=2pn+p+1,得an+2an=2p,故a4=2pa2=(2p)2.(3分)若-a1,12a2,a4成等差数列,则a4-2=a2,即(2p)2-2=2p,解得2p=2,即p=1.(6分)(2)若an为等比数列,
3、则由a10,a20,知此数列的首项和公比均为正数.设其公比为q,因为an+2an=2p,所以q2=2p,q=2p2,故2p2=a2a1=2p2,得p=2.(9分)此时a1=2,q=2,所以an=2n,故anan+1=22n+1,故2pn+1=22n+1,因此p=2,所以数列an的前n项和Sn=2(1-2n)1-2=2n+1-2.(12分)2.(1)设等比数列an的公比为q.由题意得a1+a1q+a1q2=13,即1+q+q2=13,解得q=3或q=-4.故数列an的通项公式为an=3n-1,nN*或an=(-4)n-1,nN*.(4分)(2)由(1)知,an=3n-1,nN*.令bn=|an-n-2|=|3n-1-n-2|.(6分)由3n-1-n-20得3n-1n+2,所以n3.由3n-1-n-20,Sn+10,Sn+1-2Sn-=0,Sn+1=2Sn+.(5分)(2)Sn+1=2Sn+,Sn=2Sn-1+(n2),两式相减,得an+1=2an(n2).(8分)S2=2S1+,即a2+a1=2a1+,a2=1+,由a20,得-1.若an是等比数列,则a1a3=a22,(10分)即2(+1)=(+1)2,得=1.(11分)经检验,=1符合题意.故存在=1,使得数列an为等比数列.(12分)
