1、河北省张家口市2019-2020学年第二学期高三年级第二次模拟考试理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式得到，再计算交集得到答案.【详解】，则.故选：C.【点睛】本题考查了解不等式，集合的交集，属于简单题.2.已知非零复数满足（其中是的共轭复数，是虚数单位），在复平面内对应点，则点的轨迹为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，根据化简得，利用复数相等即可求解.【详解】因为，所以，因为在复平面内对应点，所以，所以，即，因为非零复数，所以，故点的轨迹为，故选：
2、B【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，复数的乘法运算，复数相等，属于中档题.3.若函数的部分图象如图所示，则函数可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由图象可知函数为奇函数，且当时，逐项判断各选项中函数的奇偶性及其在区间上的函数值符号，结合排除法可得合适的选项.【详解】由图象可知函数为奇函数，且当时，.对于A选项，该函数为偶函数，A选项不符；对于C选项，函数为偶函数，C选项不符；对于B选项，该函数为奇函数，且当时，此时，合乎题意；对于D选项，函数为奇函数，当时，D选项不符.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的图象确定函数解析式，一般从函数的定义域、单调性、奇偶性、零点
3、以及函数值符号来进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4.已知为等差数列的前项和，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，进而可求得的值.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，因此，.故选：D.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.5.已知向量，的夹角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量运算结合三角恒等变换得到，得到答案.【详解】，故.故选：C.【点睛】本题考查了向量模，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6.已知定义
4、在上的函数满足对其定义域内任意、，都有成立，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，根据题意得出，推导出，进而可得出，由此可计算出所求代数式的值.【详解】由，得，构造函数，则，取，则，可得，令，所以，即且，因此，.故选：A.【点睛】本题考查抽象函数求值，推导出是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.7.今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”，某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低，则身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】
5、【分析】将身高从低到高的9个人依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，则9号定在正中间，两边是四个元素的定序排列，6号与9号分左右两边相邻，与6在同一边的另外3个元素(从1，2，3，4，5种任选3个)定序排列，另一边的四个元素定序排列， 最后根据古典概型的概率公式可得答案.身高最高【详解】将身高从低到高9个人依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，则9号必须排在正中间，从其余8个人中任选4人排在9号的左边，剩下的4个人排在9号的右边，有种，当排名第四的6号排在最高的9号的左边时，从1，2，3，4，5中任选3个排在6号的左边，其余四个排在9号的右边，有种，同理当当排名第四的6号排在最
6、高的9号的右边时，也有10种，所以身高排名第四的6号与最高的9号相邻的排法有10+10=20种，所以身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为.故选：A.【点睛】本题考查了排列中的定序问题，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.8.已知直线与椭圆：交于两点，点，分别是椭圆的右焦点和右顶点，若，则（ ）A. 4B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】设椭圆的另一焦点为，根据椭圆对称性可得四边形为平行四边形，得到，从而有，得到关系，利用，即可求出结论.【详解】设椭圆的另一焦点为，连，直线过原点，所以坐标原点为中点，互相平分，所以四边形为平行四边形，.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的标准
7、方程以及简单几何性质，注意椭圆定义在解题中的应用，属于基础题.9.为彻底打赢脱贫攻坚战，2020年春，某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬菜大棚脱贫致富，若该农户计划种植冬瓜和茄子，总面积不超过15亩，帮扶资金不超过4万元，冬瓜每亩产量10 000斤，成本2000元，每斤售价0.5元，茄子每亩产量5000斤，成本3000元，每斤售价1.4元，则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为（ ）A. 4万元B. 5.5万元C. 6.5万元D. 10万元【答案】B【解析】【分析】设种植冬瓜和茄子的种植面积分别为，亩，种植总利润为万元，然后根据题意建立关于与的约束条件，得到目标函数，利用线性规划的知识求出最值即可
8、.【详解】设种植冬瓜和茄子的种植面积分别为，亩，种植总利润为万元，由题意可知，总利润作出约束条件如下图阴影部分： 联立解得，平移直线，当过点时，一年的种植总利润为取最大值5.5万元，故选：B.【点睛】本题主要考查了线性规划，解题的关键是得到约束条件和目标函数，同时考查了作图的能力，属于中档题.10.如图所示，四边形是正方形，其内部8个圆的半径相等，且圆心都在正方形的对角线上，在正方形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设正方形的边长为1，圆的半径为r，根据圆心都在正方形的对角线上，建立边长与半径的关系，求得半径，进而求得8个圆的面积，再
9、代入几何概型的概率公式求解.【详解】设正方形的边长为1，圆的半径为r，因为圆心都在正方形的对角线上，如图所示：，即，解得，所以阴影部分的面积为：，所以该点取自阴影部分的概率为.故选：A【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.11.已知双曲线:的左、右焦点分别为，渐近线分别为，过作与平行的直线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】不妨设，则，联立直线与，得到点的坐标，由，得到，再根据两点间的距离公式可得，从而可得离心率.【详解】不妨设，则，因为，联立，解得，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，
10、所以，所以离心率.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的焦点、渐近线、离心率，考查了平面向量的加、减法运算，属于中档题.12.对于函数（为自然对数的底数，），函数，给出下列结论：函数的图象在处的切线在轴的截距为函数是奇函数，且在上单调递增；函数存在唯一的极小值点，其中，且；函数存在两个极小值点，和两个极大值点，且.其中所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出，写出切线点斜式方程，化简可判断；由的定义域，即可判断；构造函数，通过判断的单调性，得到的解，即可判断；求出，进而求出的单调区间，极值点，根据对称性即可判断.【详解】对于，函数的图象在处的切线方程为，令
11、，即所求的切线在轴上的截距为，所以正确；对于，定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，所以不正确；对于，当，当，设，时，为增函数，又恒成立，在上单调递增，即在上单调递增，所以存在唯一的，使得，当，所以时，取得极小值，所以正确；对于，显然不是极值点，取的定义域为，此时为奇函数，为偶函数，令，转化为求与在的交点，画出两函数图象，如下图所示，与在为奇函数，两函数图象有四个交点，与均关于原点对称，当时，所以时，取得极大值，时，取得极小值，当时，时偶函数，所以时，取得极大值，时，取得极小值，此时，所以正确.故选：C.【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到导数的几何意义、单调性、极值，注意函数对称性的应
12、用，考查数形结合思想，以及直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.二填空题.13.如图，某班体重为70kg的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊的夹角为，拉力大小均为，若使身体能向上移动，则拉力的最小整数值为_N（取重力加速度大小为，）【答案】405【解析】【分析】根据向量的加法运算，两个拉力的合力大于体重即可【详解】设是两个拉力，合力为，由于，在菱形中知，所以，所以的最小整数为405故答案为：405【点睛】本题考查向量加法的物理意义，力的合成与向量加法是等价的14.已知各项均为正数的数列的前项和为，若，则_.【答案】【解析】【分析】由数列通项与前n项和的关系得到，代入，化简得到，再利
13、用等比数列的定义求解.【详解】由，代入，得：，即：，因为数列是正数数列，所以，所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查数列通项与前n项和的关系以及等比数列的大于和通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15.若函数在区间上恰好有一个零点，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据题意可转化为函数和函数的图象在区间上恰好有一个交点，根据函数单调性及图象可求a的范围，利用在上单调递增即可求解.【详解】依题意，函数在区间，上有零点等价于方程在区间，上恰有一个根，函数和函数的图象在区间上恰好有一个交点，函数关于对称，在上有最小值，时，函数，令，当时，由复合
14、函数单调性知单调递减，当时，所以函数和函数的图象在区间上无交点，当时，由复合函数单调性知单调递增，如图，由图可知，当，时，函数图象恰好有1个交点，此时，解得，因为在上单调递增，所以，即的最小值为，故答案为：【点睛】本题主要考查函数零点，函数图象的交点，函数的单调性，转化思想，分类讨论，利用函数单调性求最值，属于难题16.已知直三棱柱的顶点都在球的表面上，四边形的面积为若是等边三角形，则球体积的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据三棱柱是正三棱柱，得到外接球的球心为上下底面中心连线的中点，由四边形的面积为，得到底面边长和高的关系，然后利用基本不等式求得半径的最小值，再代入球的体积公式求解.【
15、详解】如图所示：因为三棱柱是正三棱柱，所以外接球的球心为上下底面中心连线的中点，设外接球的半径为R，底面边长为a，高为h，因为四边形的面积为所以ah=，所以，当且仅当，即时，取等号，所以，所以球体积最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查空间几何体的外接球问题以及基本不等式的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题17.如图，在中，点在边上，.（1）求的长；（2）求的面积.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）首先求出，再由正
16、弦定理求出；（2）在中由余弦定理求出，再由面积公式计算可得；【详解】解：（1）因为在中，所以，又，所以.在中，由正弦定理得，所以，解得.（2）在中，出余弦定理得，所以，整理得，解得或（舍），所以.即的面积为.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题.18.已知四边形是梯形，如图，为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（如图2），且（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，取的中点，连接，作于，根据勾股定理逆定理得到，证明平面，得到答案.（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如
17、图所示的空间直角坐标系，计算平面的一个法向量为，再利用向量夹角公式得到答案.【详解】（1）连接，因为，为的中点，所以四边形是边长为1的正方形，且.取的中点，连接，因为，所以，作于，则因为，所以，故.因为，所以平面.因平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，.以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，设平面的一个法向量为，则得即，令，则，所以.因为，设与平面所成的角为，则，即与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，建立坐标系是解题的关键.19.已知抛物线：的焦点为，直线：与抛物线交于
18、，两点.（1）若，求直线的方程；（2）过点作直线交抛物线于，两点，若线段，的中点分别为，直线与轴的交点为，求点到直线与距离和的最大值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）直线方程和抛物线方程联立，可得由利用韦达定理求得即可得出结果.（2）由（1）中韦达定理可求得点坐标为，直线，且均过焦点为，可求，进而求得直线的方程，得到的坐标为（3，0），设点到直线和的距离分别为，由利用基本不等式性质，即可求得结果.【详解】解：（1）由已知得，直线:与联立消，得.设，则，.由，得，即，得，所以或.所以直线的方程为或（2）由（1）知，所以，所以.因为直线过点且，所以用替换得.当时，:，整理化简得，所以当
19、时，直线过定点（3，0）；当时，直线的方程为，过点（3，0）.所以点的坐标为（3，0）设点到直线和的距离分别为，由，得.因为，所以，当且仅当时，等号成立,所以点到直线和的距离和的最大值为.【点睛】本题考查韦达定理在直线和抛物线的位置关系中的应用，考查在求最值中的应用，属于难题.20.某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这100位学生的数学成绩的平均值.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据整个年级的数学成绩，可以认为学生的数学成绩近似地服从正态分布经计算，（1）问中样本标准差的近似值
20、为10用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率.参考数据:若随机变量，则，（3）该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中“玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少领取老师相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均为，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（
21、奖励0分）或第15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第格的概率为，试证明是等比数列，并求的值.（获胜的概率）【答案】（1）74（2）0.8186（3）见解析，【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图直接结算即可；（2）由可知，根据参考数据，即可得出的概率；（3）根据分类加法计数原理可知，构造等比数列可得，利用累加法求出，即可求解.【详解】（1）（2）由，所以，.（3）小兔子开始在第1格，为必然事件，点一下开始按钮，小兔子跳1格即移到第2格的概率为，即，小兔子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种情况.小兔子先跳到第格，又点一下开始按钮跳了2格，其概率为；小兔了先跳到
22、第格，乂点一下开始按钮跳了1格，其概率为；因为，所以.所以当时，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，.所以获胜的概率.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，利用频率分布直方图求平均值，正态分布，等比数列，数列的递推关系，累加法，属于难题.21.已知函数（自然对数的底数）有两个零点.（1）求实数的取值范围；（2）若的两个零点分别为，证明：.【答案】（1）.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将有两个零点问题，转化为有两个零点，利用研究的单调性和零点，由此求得的取值范围.（2）将所要证明的不等式转化为证明，构造函数，利用证得，由此证得不等式成立.【详解】（1）有两个零点，等价于有两个零点，
23、令，则在时恒成立，所以在时单调递增，所以有两个零点，等价于有两个零点.因为所以当时，单调递增，不可能有两个零点；当时，令，得，单调递增；令，得，单调递减.所以.若，得，此时恒成立，没有零点；若，得，此时有一个零点；若，得，因为，且，所以在，上各存在一个零点，符合题意.综上，当时，函数有两个零点，即若函数有两个零点，则的取值范围为.（2）要证，只需证，即证，由（1）知，所以只需证.因为，所以，所以，只需证.设，令，则，所以只需证，即证.令，则，.即当时，成立.所以，即，即.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数证明不等式，属于难题.（二）选考题：请考生在22、23两题中任选一
24、题作答.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线:，点的极坐标为，圆的圆心在极轴上，且过，两点.（1）求圆的极坐标方程；（2）若直线与曲线，分别交于异于原点的点，求线段的中点的直角坐标方程.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）设圆的直径长为，根据题意得到，解得答案.（2）设，则，化简得到答案.【详解】（1）设圆的直径长为，因为点的极坐标为，的圆心在极轴上，且过，两点，所以，解得，所以圆的极坐标方程为.（2）由已知得直线的极坐标方程为，设，则，因为，所以点的极坐标方程为.因为，所以，即.即线段的中点的直
25、角坐标方程为.【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.选修4-5：不等式选讲23.已知，均正实数，且，证明：（1）（2）.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）首先根据题意得到，均为正数，将左边式子转换为，再展开式子利用基本不等式即可证明。（2）首先利用三元基本不等式得到，从而得到，再利用三元基本不等式即可证明。【详解】（1）因为，均为正实数，且，所以，均为正数.所以.所以，当且仅当时，等号成立.（2）因为，均为正实数，且，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立.因为.所以.当且仅当时，等号成立.【点睛】本题主要考查不等式的证明，利用基本不等式和三元基本不等式为解决本题的关键，属于中档题。
