1、课时规范练49椭圆基础巩固组1.已知椭圆x23+y24=1的两个焦点F1,F2,M是椭圆上一点,|MF1|-|MF2|=1,则MF1F2是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形2.(2020陕西汉中高三模拟)已知椭圆x2m+y24=1(m0)的焦距为2,则m的值等于()A.5B.5或3C.3D.83.(2020广东惠州调研)设F1,F2为椭圆x29+y25=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2|PF1|的值为()A.514B.59C.49D.5134.椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的一条直线与椭圆交于A,B两点
2、,若ABF2的内切圆面积为,且A(x1,y1),B(x2,y2),则|y1-y2|=()A.53B.103C.203D.535.(2020北京人大附中二模,9)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=16.(2020山东济南三模,15)已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A,B是椭圆上关于x轴对称的两点,AF2的中点P恰好落在y轴上,若BPAF2=0,则椭圆C的离心
3、率的值为.综合提升组7.(2020广西重点中学联考)已知椭圆x24+y22=1的焦点为F,短轴端点为P,若直线PF与圆O:x2+y2=R2(R0)相切,则圆O的半径为()A.22B.1C.2D.28.已知椭圆y2a2+x2=1(a1)的离心率e=255,P为椭圆上的一个动点,则P与定点B(-1,0)连线距离的最大值为()A.32B.2C.52D.39.(2020河北邢台模拟,理16)设A(-2,0),B(2,0),若直线y=ax(a0)上存在一点P满足|PA|+|PB|=6,且PAB的内心到x轴的距离为33020,则a=.10.(2020北京丰台一模)已知双曲线M:x2-y23=1的渐近线是边
4、长为1的菱形OABC的边OA,OC所在直线.若椭圆N:x2a2+y2b2=1(ab0)经过A,C两点,且点B是椭圆N的一个焦点,则a=.11.(2020北京石景山一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(1,0),离心率为22.直线l过点F且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)求椭圆C的方程;(2)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(3)延长线段OM与椭圆C交于点P,若四边形OAPB为平行四边形,求此时直线l的斜率.12.(2020河北石家庄二模,文20)已知点A(2,0),椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,F
5、和B分别是椭圆C的左焦点和上顶点,且ABF的面积为32.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点A的直线l与C相交于P,Q两点,当OPOQ=13时,求直线l的方程.创新应用组13.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为23,点P为椭圆上一点,F1PF2=90,F1PF2的面积为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)设点B为椭圆的上顶点,过椭圆内一点M(0,m)的直线l交椭圆于C,D两点,若BMC与BMD的面积比为21,求实数m的取值范围.14.(2020全国3,理20)已知椭圆C:x225+y2m2=1(0m4时,m-4=1,m=5;当0m0)相切,所以圆心到直线的
6、距离等于圆的半径,即R=d=21+1=1.故选B.8.C椭圆y2a2+x2=1(a1)的离心率e=255,可得a2-1a=255,解得a=5,则椭圆方程为y25+x2=1.设P(cos,5sin),则P与定点B(-1,0)连线距离为(cos+1)2+5sin2=4sin2+2cos+2=6+2cos-4cos2=254-4cos-14252,当cos=14时,取得最大值52.故选C.9.3设点P(x,y),点P满足|PA|+|PB|=6,则点P在椭圆x29+y25=1上.由题意可得点P为直线y=ax(a0)与椭圆x29+y25=1的交点.联立y=ax与x29+y25=1,消去y,得x2=459
7、a2+5,则y2=45a29a2+5.因为APB的内心到x轴的距离为33020,所以PAB的内切圆的半径r=33020.所以APB的面积为12|AB|y|=12r(|AB|+|PA|+|PB|),即|y|=52r,y2=45a29a2+5=254r2=2542740,解得a2=3,又a0,所以a=3.10.3+12因为OA所在直线为双曲线x2-y23=1的渐近线,所以kOA=3,则AOB=60,所以AD=AOsin60=32,OD=AOcos60=12,则A12,32.因为OB=2OD=1,所以椭圆N的半焦距c=1.设椭圆N的左焦点为F1,则F1(-1,0),连接AF1,由椭圆的定义可得AF1
8、+AB=2a,即-1-122+0-322+1-122+0-322=2a,解得a=3+12.11.(1)解由已知,c=1,e=ca=22,又a2=b2+c2,解得a=2,b=1.所以椭圆方程为x22+y2=1.(2)证明设直线l的方程为y=k(x-1)(k0),联立x22+y2=1,y=k(x-1)(k0),消去y,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k22k2+1,因为M为线段AB的中点,所以xM=x1+x22=2k22k2+1,yM=k(xM-1)=-k2k2+1,所以kOM=yMxM=-12k,所以kOMkl=-12kk
9、=-12为定值.(3)解若四边形OAPB为平行四边形,则OA+OB=OP,所以xP=x1+x2=4k22k2+1,yP=y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2-2)=-2k2k2+1,因为点P在椭圆上,所以4k22k2+12+2-2k2k2+12=2,解得k2=12,即k=22,所以当四边形OAPB为平行四边形时,直线l的斜率为k=22.12.解(1)设F(-c,0)(c0),由条件知B(0,b),所以ABF的面积为12(2+c)b=32,由ca=22得a2=2c2,从而b2+c2=2c2,化简得b=c,联立,解得b=c=1,从而a=2,所以椭圆C的方程为x22+y2=1;
10、(2)当lx轴时,不合题意,故设l:y=k(x-2),将y=k(x-2)代入x22+y2=1消去y,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.由=4(2-4k2)0,得-22k0得4k2-m2+10,x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1,由x1=-2x2可求得x2=8km4k2+1,-2x22=4m2-44k2+1,-264k2m2(4k2+1)2=4m2-44k2+1.整理得4k2=1-m29m2-1.由k20,4k2-m2+10可得1-m29m2-10,19m21,解得13m1或-1m0,由题意知yP0.由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-1yQ(x-5),所以|BP|=yP1+yQ2,|BQ|=1+yQ2.因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.由直线BP的方程得yQ=2或8.所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).|P1Q1|=10,直线P1Q1的方程为y=13x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为102,故AP1Q1的面积为1210210=52.|P2Q2|=130,直线P2Q2的方程为y=79x+103,点A到直线P2Q2的距离为13026,故AP2Q2的面积为1213026130=52.综上,APQ的面积为52.
