1、11正弦定理和余弦定理11.1正弦定理(一) 学习目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题知识链接下列说法中，正确的有_(1)在RtABC中，若C为直角，则sin A；(2)在ABC中，若ab，则AB；(3)在ABC中，CAB；(4)利用AAS、SSA都可以证明三角形全等；(5)在ABC中，若sin B，则B.答案(1)(2)(3)解析根据三角函数的定义，(1)正确；在三角形中，大边对大角，大角对大边，(2)正确；三角形的内角和为，(3)正确；AAS可以证明三角形全等，SSA不能证明，(4)不正确；
2、若sin B，则B或，(5)不正确，故(1)(2)(3)正确预习导引1在RtABC中的有关定理在RtABC中，C90，则有(1)AB90，0A90，0Ba，BA30，B60或120.当B60时，C180(AB)180(3060)90，c2；当B120时，C180(AB)180(30120)30，c1.(2)根据正弦定理，sin B.ba，B1.sin A1.A不存在，即无解规律方法已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一(3
3、)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论跟踪演练3(1)在ABC中，已知a2，c，C，求A，B，b.(2)在ABC中，已知a2，c，A，求C，B，b.解(1)，sin A.ca，CA.A.B，b1.(2)，sin C.又asin B，则角A与角B的大小关系为()AAB BAsin B2Rsin A2Rsin B(R为ABC外接圆的半径)abAB.2在ABC中，一定成立的等式是()Aasin Absin B Bacos Abcos BCasin Bbsin A Dacos Bbcos A答案C解析由正弦定理，得asin Bbsin A，故
4、选C.3在ABC中，已知A150，a3，则其外接圆的半径R的值为()A3 B. C2 D不确定答案A解析在ABC中，由正弦定理得62R，R3.4在ABC中，sin Asin C，则ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形答案B解析由sin Asin C知ac，ABC为等腰三角形5在ABC中，已知BC，sin C2sin A，则AB_.答案2解析由正弦定理，得ABBC2BC2.1.正弦定理的表示形式：2R，或aksin A，bksin B，cksin C(k0)2正弦定理的应用：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角3利用正
5、弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决一、基础达标1在ABC中，a5，b3，C120，则sin Asin B的值是()A. B.C. D.答案A解析根据正弦定理得.2在ABC中，absin A，则ABC一定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形答案B解析由题意有b，则sin B1，即角B为直角，故ABC是直角三角形3在ABC中，若，则C的值为()A30 B45C60 D90答案B解析，又由正弦定理.cos Csin C，即C45，故选B.4在ABC中，若A105，B45，b2，则
6、c等于()A1 B2C. D.答案B解析A105，B45，C30.由正弦定理得c2.5在ABC中，a15，b10，A60，则cos B等于()A B.C D.答案D解析由正弦定理得，sin B.ab，A60，B为锐角cos B.6在单位圆上有三点A，B，C，设ABC三边长分别为a，b，c，则_.答案7解析ABC的外接圆直径为2R2，2R2，2147.7已知在ABC中，c10，A45，C30，求a、b和B.解根据正弦定理，得a10.由三角形内角和定理，B180(4530)105.又，b20sin 75205()二、能力提升8在ABC中，已知A，a，b1，则c的值为()A1 B2 C.1 D.答案
7、B解析由正弦定理，可得，sin B，由ab，得AB，B.故C，由勾股定理得c2.9在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cos C等于()A. B C D.答案A解析由正弦定理及8b5c，得8sin B5sin C，又C2B，8sin B5sin 2B10sin Bcos B，sin B0，cos B，cos Ccos 2B2cos2B1221.10锐角三角形的内角分别是A、B、C，并且AB.下面三个不等式成立的是_sin Asin B；cos Acos Acos B.答案解析ABabsin Asin B，故成立函数ycos x在区间0，上是减函数，AB，
8、cos A，AB，则有sin Asin(B)，即sin Acos B，同理sin Bcos A，故成立11在ABC中，已知a2，A30，B45，解三角形解，b4.C180(AB)180(3045)105，c4sin(3045)22.12在ABC中，acosbcos，判断ABC的形状解法一acos(A)bcos(B)，asin Absin B由正弦定理可得：ab，a2b2，ab，ABC为等腰三角形法二acosbcos，asin Absin B.由正弦定理可得：2Rsin2A2Rsin2B，即sin Asin B，AB.(AB不合题意舍去)故ABC为等腰三角形三、探究与创新13在ABC中，a5，B45，C105，解三角形解由三角形内角和定理知ABC180，所以A180(BC)180(45105)30.由正弦定理，得ba55；ca555()
