1、2020-2021学年下学期宣化一中高二数学期初试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 命题“x1，2x-10”的否定是()A. x1，2x-10B. x01，2x0-10C. x00D. x03D. m44. 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)，直线l：y=3(x-a2+b2)与双曲线C仅有一个公共点，则双曲线C的离心率为()A. 23B. 3C. 2D. 3325. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M是BD的中点，则B1M与平面AA1D1D所成角的余弦值为()A. 66B. 33C. -306D. 3066. 若椭圆x24+y2m=1(m0)的离
2、心率为12，则实数m等于()A. 3B. 1或3C. 3或163D. 1或1637. 若“x(1,4，x2-2ax+90”是假命题，则实数a的取值范围为()A. (-,3B. 3,+)C. (3,+)D. 5,+)8. 设曲线C的方程为x416+y44=1，给出关于曲线C的性质的结论：曲线C关于坐标轴对称，也关于坐标原点对称；曲线C上的所有点均在椭圆x216+y24=1内部.下面判断正确的是()A. 错误正确B. 正确错误C. 都错误D. 都正确9. 如图，F1，F2是双曲线C：x2a2-y23=1(a0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若点A为F2B的中点
3、，且F1BF2B，则|F1F2|=()A. 4B. 43C. 6D. 910. 以M(0,2)为圆心，4为半径的圆与抛物线C：x2=8y相交于A，B两点，如图，点P是优弧AB上不同于A，B的一个动点，过P作平行于y轴的直线交抛物线于点N，则PMN的周长的取值范围是()A. (8,12)B. (8,12C. 8,12)D. 8,1211. 以下四个关于双曲线的命题：设A，B为两个定点，m为正数，若动点P使|PA|-|PB|=m，则动点P的轨迹是双曲线；方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线x225-y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点；若双曲线C：x2-y
4、23=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，若|PF1|=52，则|PF2|=12或92其中真命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知椭圆x24+y23=1上存在两个不同的点A，B关于直线x+y+m=0对称，则实数m的取值范围是()A. (-7,7)B. (-377,377)C. -77,77D. (-77,77)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 王安石在游褒禅山记中写道：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也.”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的_ 条件.(填“充分”“必要”“充要”中的一个)14
5、. 双曲线C：x24-y22=1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|OP|=2|OF|，则PFO的面积为_ 15. 如图，二面角-l-为135，A，B，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为C，D，若AC=1，BD=2，CD=2，则AB的长度为_ 16. 已知抛物线C：x2=ay焦点为F，准线方程y=-1，直线l与抛物线C交于A，B两点，连接AF并延长交抛物线C于点D，若AB中点的纵坐标为|AB|-1，则当AFB最大时，|AD|= _ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知p：方程x2m-5-y2m=1对应的图形是双曲线；q：函数f(x)=-x2+2mx+
6、1-m(x0,1)的最大值不超过2.若pq为真命题，pq为假命题，求实数m的取值范围18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD平面ABP，BC/AD，PAB=90，PA=AB=2，AD=3，BC=1，E是PB的中点(1)证明：PB平面ADE；(2)求二面角C-AE-D的余弦值19. 已知过点(-2,1)的双曲线C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是x+y=0(1)求双曲线C的方程；(2)若O是坐标原点，直线l：y=kx-1与双曲线C的两支各有一个交点，且交点分别是A，B，AOB的面积为2，求实数k的值20. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1平面ABC，BAAC，
7、四边形ACC1A1为菱形，且A1AC=60，E，F分别是棱BC，BB1的中点，AC=2AB=2(1)求异面直线A1B和EF所成角的余弦值；(2)求C1到平面AEF的距离21. 以抛物线C：y2=2px(p0)的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=42，|DE|=25(1)求抛物线C的方程；(2)过(-1,0)的直线l交抛物线C于不同的两点P，Q，交直线x=-4于点G(Q在PG之间)，直线QF交直线x=-1于点H.是否存在这样的直线l，使得GH/PF(F为C的焦点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由22. 已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2
8、=1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线2x-3y-2=0与椭圆C交于P，Q两点，R为P，Q的中点，直线OR的斜率为-1(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点F2的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且与圆O：x2+y2=2相交于G，H两点，求|AB|GH|2的取值范围2020-2021学年下学期宣化一中高二数学期初试卷答案和解析1.【答案】B【解析】解：由全称命题的否定是特称命题，可知“x1，2x-10”的否定为“x01，2x0-10“故选：B根据全称命题的否定是特称命题，即可得到命题“x1，2x-10”的否定本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题2.【答案】B【解析】解：抛物线
9、y=4x2的标准方程为x2=14y，p=18，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为(0,116)，故选：B把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键3.【答案】A【解析】解：因为m=4x+2x+1=(2x+1)2-1，当x0时，2x1，(2x+1)2-13，故关于x的方程4x+2x+1-m=0有正实数解的充要条件是m3，所以选项B，C，D都是方程4x+2x+1-m=0有正实数解的充分条件，排除选项B，C，D，故选：A根据求谁解谁的思想，方程转化为m=4x+2x
10、+1=(2x+1)2-1，当x0时，求出(2x+1)2-1的范围，即可得出x的方程4x+2x+1-m=0有正实数解的充要条件，根据充分必要条件的定义即可判断本题考查了充分条件和必要条件的定义，利用条件求出m的取值范围，得出命题成立的等价条件是解决本题的关键属于基础题4.【答案】C【解析】解：由题意知直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线仅有一个公共点，则l与双曲线的一条渐近线平行，所以ba=3，所以e=1+(ba)2=1+3=2故选：C说明直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线仅有一个公共点，则l与双曲线的一条渐近线平行，推出ba=3，然后求解双曲线的离心率本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线
11、的位置关系的应用，是基础题5.【答案】D【解析】解：以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为2，则B1(2,2，2)，M(1,1，0)，B1M=(-1,-1,-2)，由DC平面AA1D1D，所以DC=(0,2，0)是平面AA1D1D的一个法向量，所以B1M与平面AA1D1D所成角的正弦值为sin=|DCB1M|DC|B1M|=|0(-1)+2(-1)+0(-2)|02+22+02(-1)2+(-1)2+(-2)2=226=66，所以所求角的余弦值为cos=1-(66)2=306故选：D建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出B1M与平面A
12、A1D1D所成角的正弦值，再求余弦值本题考查了空间中直线与平面所成的角计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题6.【答案】C【解析】解：椭圆的方程为：x24+y2m=1(m0)，若0m4，则椭圆的焦点在y轴，e2=m-4m=14，解得m=163综上所述，m=3或m=163故选：C对m分0m4两类讨论，利用椭圆的简单性质即可求得m的值本题考查椭圆的简单性质，考查转化思想与分类讨论思想，考查运算能力，属于中档题7.【答案】B【解析】解：因为“x(1,4，x2-2ax+902”是假命题，所以“x(1,4，x2-2ax+90”是真命题，即存在x(1,4，使2ax+9x成立又x+9x2x9x=6等号仅当
13、x=9x，即x=3时成立，所以只要2a6，解得a3故选：B直接利用存在性问题和恒成立问题的应用，真假命题的判定的应用判定参数a的取值范围本题考查的知识要点：存在性问题和恒成立问题的应用，真假命题的判定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题8.【答案】D【解析】解：设曲线上点为A(x,y)，则A关于原点对称的点为B(-x,-y)，关于x轴对称的点C(x,-y)，关于y轴对称的点D(-x,y)，显然B，C，D点都在曲线上，故正确，在曲线C上，-2x2，-2y2，而在椭圆中，-4x4，-2y2，即曲线C在一个48的矩形内，易判断该矩形在椭圆内部，故正确故选：D根据曲线方程即可判断正
14、确，再根据椭圆的几何性质即可判断是否正确本题考查了曲线方程的性质以及椭圆的几何性质，属于基础题9.【答案】A【解析】解：因为点A为F2B的中点，所以OA/F1B，又F1BF2B，所以OAF2B，|OF1|=|OF2|=|OB|，所以AOF2=AOB=BOF1=60，所以3a=tan60=3，所以a=1所以|F1F2|=21+3=4故选：A结合已知条件判断OA/F1B，推出AOF2=AOB=BOF1=60，然后求解a，即可求解|F1F2|.本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力10.【答案】A【解析】解：圆心M(0,2)也是抛物线C的焦点，设PN与抛物线的准线y=-2交于点H，
15、根据抛物线的定义，可得|MN|=|NH|，故PMN的周长l=|NH|+|NP|+|MP|=|PH|+4设点B的坐标为(x0,y0)，则B(4,2)由于点P不与A、B两点重合，也不在y轴上，所以|PH|的取值范围为(4,8)，所以PMN的周长的取值范围为(8,12)故选：A圆心M(0,2)也是抛物线C的焦点，设PN与抛物线的准线y=-2交于点H，推出PMN的周长l=|PH|+4.设点B的坐标为(x0,y0)，得到B的坐标为(4,2)，然后转化求解即可本题考查抛物线的简单性质，是基本知识的考查，属中档题11.【答案】B【解析】解：对于，A，B为两个定点，m为正数，|PA|-|PB|=m，当m=|A
16、B|时，动点P的轨迹是两条射线，故错误；对于，方程2x2-5x+2=0的两根为12和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故正确；对于，双曲线x225-y29=1的焦点坐标为(34,0)，椭圆x235+y2=1的焦点坐标为(34,0)，故正确；对于，因为c=1+3=2，所以a+c=3|PF1|，所以点P在双曲线的左支，所以|PF2|-|PF1|=2，即|PF2|-52=2，所以|PF2|=92，故错误故正确的命题有故选：B直接利用椭圆和双曲线的定义和性质的应用判定四个命题的真假本题考查的知识要点：椭圆和双曲线的定义和性质，命题真假的判定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题12
17、.【答案】D【解析】解：依题意，设直线AB的方程是y=x+n，代入椭圆方程化简得7x2+8nx+4n2-12=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点是D(x0,y0)，则=64n2-28(4n2-12)0，解得-7n7，又x1+x2=-8n7，所以x0=x1+x22=-4n7，y0=x0+n=3n7因为AB的中点D在直线x+y+m=0上，所以-4n7+3n7+m=0，所以n=7m，所以-77m7，解得-77m0，消去y，得x2-43x-4=0，所以x1+x3=43，所以y1+y3=3(x1+x3)+2=14所以|AD|=y1+y3+2=16故答案为：16利用抛物线C：x2=ay的
18、准线方程y=-1，求解a，得到抛物线方程，不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x3,y3)，由抛物线定义得y1+y2+2=|AF|+|BF|.推出|AF|+|BF|=2|AB|，结合余弦定理以及基本不等式推出当AFB最大时，AFB为等边三角形，此时A，B关于y轴对称，然后转化求解y1+y3的值，即可推出结果本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力17.【答案】解：对于p，因为方程x2m-5-y2m=1对应的图形是双曲线，所以m(m-5)0，解得m5所以若p为真命题，则m5对于q：当m0时，f(x)max=f(0)=1-m2，解得m-1
19、，所以-1m0；当0m1时，f(x)max=f(m)=m2-m+12，解得1-52m1+52，所以0m1；当m1时，f(x)max=f(1)=m2，所以1m2所以若q为真命题，则-1m2若pq为真命题，pq为假命题，则p，q一真一假若p真q假，则实数m满足m5m0，解得m5；若p假q真，则实数m满足0m5-1m2，解得0m2综上，实数m的取值范围为(-,-1)0，2(5,+)【解析】求出两个命题分别是真命题时，m的范围，然后利用复合命题的真假，列出不等式组求出m的取值范围本题考查命题的真假的判断，复合命题的真假的判断，是基本知识的考查18.【答案】解：(1)证明：因为AD平面PAB，PB平面P
20、AB，所以ADPB；(2分)又PA=AB，E是PB的中点，所以AEPB；(3分)又AD，AEADE，且ADAE=A，所以PB平面ADE.(5分)(2)因为AD平面PAB，PA平面PAB，AB平面PAB，所以ADAB，ADPA；又因为PAAB，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的建立空间直角坐标系A-xyz；则A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(2,1，0)，E(1,0，1)，P(0,0，2)，所以AC=(2,1,0)，AE=(1,0,1)；(7分)设平面AEC的法向量n=(x,y,z)，nAC=x-2y-z=0nAE=x+z=0，令x=1，则y=-2，z=-1，
21、所以n=(1,-2,-1)；(9分)又因为PB平面AED，所以PB=(2,0,-2)是平面ADE的一个法向量，所以cosn,PB=nPB|n|PB|=4622=33.(11分)由图可知二面角C-AE-D是锐二面角，所以二面角C-AE-D的余弦值是33.(12分)【解析】(1)证明ADPB，AEPB，即可证明PB平面ADE(2)以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的建立空间直角坐标系A-xyz.求出平面AEC的法向量，平面ADE的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题1
22、9.【答案】解：(1)因为双曲线C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是x+y=0，所以可设双曲线C的方程是x2-y2=(0)，则(-2)2-1=，解得=1所以双曲线C的方程是x2-y2=1.(5分)(2)y=kx-1代入x2-y2=1，消去y整理，得(1-k2)x2+2kx-2=0.(6分)由题意知，解得-2k2且k1设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=-2k1-k2，x1x2=-21-k2.(8分)因为l与双曲线的交点分别在左、右两支上，所以x1x20，所以-1k1，则SOAB=12|x1-x2|=2所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(22)
23、2，即(-2k1-k2)2+81-k2=8，(11分)解得k=0或k=62，又62(-1,1)，所以k=0.(12分)【解析】(1)设双曲线C的方程是x2-y2=(0)，代入点的坐标，求解，点的双曲线方程(2)直线方程代入双曲线方程，得(1-k2)x2+2kx-2=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用韦达定理，结合l与双曲线的交点分别在左、右两支上，得到-1k0，解得-2k2，-2k2且k0由韦达定理得x1+x2=8-2k2k2，x1x2=1.(6分)方法一：直线QF的方程为y=y2x2-2(x-2)，又xH=-1，所以yH=-3y2x2-2，所以H(-1,-3y2x2-2)，(7分
24、)GH/PF，直线GH与直线PF的斜率相等，又G(-4,-3k)，-3k+3y2x2-2-3=y1x1-2，(8分)整理得k=y1x1-2+y2x2-2，即k=k(x1+1)x1-2+k(x2+1)x2-2，化简得1=x1+1x1-2+x2+1x2-2，1=2x1x2-(x1+x2)-4x1x2-2(x1+x2)+4，即x1+x2=7，(9分)8-2k2k2=7，整理得k2=89，(11分)解得k=223.经检验，k=223符合题意，这样的直线l存在，且直线l的方程为y=223(x+1)或y=-223(x+1)，即y=223x+223或y=-223x-223.(12分)方法二：GH/PF，|P
25、Q|GQ|=|QF|QH|，x2-x2x2+4=2-x2x2+1，(9分)整理得x1x2+(x1+x2)=8，8-2k2k2=7，(10分)整理得k2=89，(11分)解得k=223，经检验k=223符合题意这样的直线l存在，且直线l的方程为y=223(x+1)或y=-223(x+1)，即y=223x+223或y=-223x-223.(12分)【解析】(1)设圆的方程为x2+y2=r2，设A(x0,22)，代入y2=2px，.求出A(4p,22)，代入x2+y2=r2，结合|DE|=25，转化求解P，得到抛物线C的方程(2)方法一：C的焦点F的坐标(2,0)，显然直线l与坐标轴不垂直，设直线l
26、的方程为y=k(x+1)(k0)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，代入抛物线方程消，得k2x2+(2k2-8)x+k2=0.利用韦达定理，求出直线QF的方程推出H的坐标，通过GH/PF，直线GH与直线PF的斜率相等结合抛物线的性质求出k，得到直线方程方法二：利用韦达定理后，结合GH/PF，推出x2-x2x2+4=2-x2x2+1，然后求解k得到直线方程本题考查抛物线的简单性质，抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题22.【答案】解；(1)在2x-3y-2=0中，令y=0，得右焦点F2的坐标是(1,0)，所以a2-b2=1.(1分)设P(x1,y
27、1)，Q(x2,y2)，R(x0,y0)，则x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，两式相减得x12-x22a2+y12-y22b2=0，(x1+x2)(x1-x2)a2=-(y1+y2)(y1-y2)b2，2x0(x1-x2)a2=-2y0(y1-y2)b2，又OR的斜率为-1，所以y0x0=-1，所以y1-y2x1-x2=b2a2，所以b2a2=23.(3分)解得所以椭圆C的方程为x23+y22=1.(5分)(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=1，易求A，B的坐标为(1,233)，(1,-233)，G，H的坐标为(1,1)，(1,-1)，所以|AB|=433，|
28、GH|2=4，|AB|GH|2=1633.(6分)若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x-1)，A(x1,y1)，B(x2,y2).消去y整理得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0，则x1+x2=6k22+3k2，x1x2=3k2-62+3k2，.(7分)所以|AB|=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+k2)(6k22+3k2)2-4(3k2-6)2+3k2=43(k2+1)2+3k2.(8分)因为圆心O(0,0)到直线l的距离d=kk2+1，所以|GH|2=4(2-k2k2+1)=4(k2+2)1+k2，(9分)所以|AB|GH|2=43(k2+1)2+3k24(k2+2)1+k2=163(k2+2)2+3k2=1633k2+2k2+23=1633|1+43k2+23|因为k20,+)，所以|AB|GH|2(1633,163.(11分)综上，|AB|GH|2的取值范围是1633,163.(12分)
