1、第4节 直线、平面平行的判定及其性质考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.知 识 梳 理 1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义 直线l与平面没有公共点，则称直线l与平面平行.(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外_平行，则该直线平行于此平面 a，b，aba 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的与该直线平行 a，a，bab 一条直线与此平面内的一条直线交线2.平面与平面平行(1)平面与平面平
2、行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条与另一个平面平行，则这两个平面平行 a，b，abP，a，b 相交直线性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线于另一个平面，aa 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的平行，a，bab 平行交线3.与垂直相关的平行的判定(1)a，b.(2)a，a.ab 常用结论与易错提醒 1.平行关系的转化 2.平面与平面平行的六个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.(3)经过平面外一点有且只有
3、一个平面与已知平面平行.(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行.(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误.(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.()(2)若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么
4、这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.(2)若a，P，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.答案(1)(2)(3)(4)2.(2018浙江卷)已知平面，直线m，n满足m，n，则“mn”是“m”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若m，n，mn，由线面平行的判定定理知m.若m，m，n，不一定推出mn，直线m与n可能异面，故“mn”是“m”的充分不必要条件.故选A.答案 A 3.下列命题中正确的是()A.若a，b是两条直线，且ab，那
5、么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行 C.若直线a，b和平面满足a，b，那么ab D.若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b 解析 根据线面平行的判定与性质定理知，选D.答案 D 4.(必修2P56练习2改编)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为_.解析 连接BD，设BDACO，连接EO，在BDD1中，O为BD的中点，E为DD1的中点，所以EO为BDD1的中位线，则BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.答案 平行 5.用一 个截面去截正三棱柱ABCA1B1C1，交A
6、1C1，B1C1，BC，AC分别于E，F，G，H四点，已知A1AA1C1，则截面的形状可以是_(把你认为可能的结果都填上).解析 由题意知，当截面平行于侧棱时所得截面为矩形，当截面与侧棱不平行时，所得的截面是梯形.答案 矩形或梯形 6.设，为三个不同的平面，a，b为直线.(1)若，则与的关系是_；(2)若a，b，ab，则与的关系是_.解析(1)由，.(2)a，abb，又b，从而.答案(1)平行(2)平行 考点一 线面、面面平行的相关命题的真假判断【例1】(1)(2019全国卷)设，为两个平面，则的充要条件是()A.内有无数条直线与平行 B.内有两条相交直线与平行 C.，平行于同一条直线 D.，
7、垂直于同一平面(2)(一题多解)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析(1)若，则内有无数条直线与平行，当无数条直线互相平行时，与可能相交；若，平行于同一条直线，则与可以平行也可以相交；若，垂直于同一个平面，则与可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是的充要条件.根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此B中条件是的充要条件.(2)法一 对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以A
8、BMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB平面MNQ.因此A项不正确.图(1)图(2)法二 对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQAB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.A项不正确.答案(1)B(2)A 规律方法(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.特别注意定理所要求的条件是否完备
9、，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.【训练1】(1)(2020杭州质检)已知三个不同的平面，和直线m，n，若m，n，则“”是“mn”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若n，mn，m，则m；若m，n，mn，则.其中是真命题的是_(填上正确命题的序号).解析(1)可知当“”时有“mn”，反之，不一定成立，则“”是“mn”的充分不必要条件，故选A.(2)mn或m，n异面，故错误；易知正确；m或m，故错误；或与相交，故错误
10、.答案(1)A(2)考点二 直线与平面平行的判定与性质 角度1 直线与平面平行的判定【例21】如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点.多维探究(1)证明：MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积.(1)证明 由已知得 AM23AD2.如图，取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 中点知TNBC，TN12BC2.又ADBC，故TN綉AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解 因为 PA平面 ABCD，N 为 PC
11、 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为12PA.如图，取 BC 的中点 E，连接 AE.由 ABAC3 得 AEBC，AE AB2BE2 5.由 AMBC 得 M 到 BC 的距离为 5，故 SBCM124 52 5.所以四面体NBCM 的体积 VNBCM13SBCMPA2 4 53.角度 2 直线与平面平行性质定理的应用【例 22】如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 17.点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH平面 ABCD，BC平面 GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的
12、面积.(1)证明 因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)解 如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，PO平面PBD.所以POGK，且GK底面ABCD，又EF平面ABCD，从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB8，EB2及EKAD，得EBABKBDB
13、14，从而 KB14DB12OB，即 K 为 OB 的中点.再由 POGK 得 GK12PO，即 G 是 PB 的中点，且 GH12BC4.由已知可得 OB4 2，PO PB2OB2 68326，所以 GK3.故四边形 GEFH 的面积 SGHEF2GK482 318.规律方法(1)判断或证明线面平行的常用方法有：利用反证法(线面平行的定义)；利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；利用面面平行的性质定理(，aa)；利用面面平行的性质(，a，aa).(2)利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.【训练
14、2】在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ABBC12AD，E，F，H 分别为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点.(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：GH平面PAD.证明(1)连接 EC，ADBC，BC12AD，E 为 AD 的中点，BC 綉 AE，四边形ABCE是平行四边形，O为AC的中点，又F是PC的中点，FOAP，又FO平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF.(2)连接FH，OH，F，H分别是PC，CD的中点，FHPD，又PD平面PAD，FH平面PAD，FH平面PAD.又O是BE的中点，H是CD的中点，OHAD，又AD平面PAD，
15、OH平面PAD，OH平面PAD.又FHOHH，平面OHF平面PAD.又GH平面OHF，GH平面PAD.考点三 面面平行的判定与性质【例3】(经典母题)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，则GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面.变式迁移(2)E，F分别为AB，AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点
16、，A1B1綉AB，A1G綉EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.【变式迁移1】如图，在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA.证明 如图 所示，连接A1B.D为BC1的中点，H为A1C1的中点，HDA1B，又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，HD平面A1B1BA.【变式迁移 2】在本例中，若将条件“E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点 D，D1 分别是 AC，A1C1 上的点，且平面 BC1D平面 AB1D1”，试求A
17、DDC的值.解 连接A1B交AB1于O，连接OD1.由平面 BC1D平面 AB1D1，且平面 A1BC1平面 BC1D BC1，平 面 A1BC1 平 面 AB1D1 D1O，所 以BC1D1O，则A1D1D1C1A1OOB 1.又由题设A1D1D1C1DCAD，DCAD1，即ADDC1.规律方法(1)判定面面平行的主要方法 利用面面平行的判定定理.线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).(2)面面平行的性质定理 两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面.若一平面与两平行平面相交，则交线平行.提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平
18、行.【训练3】在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB.(1)已知ABBC，AEEC.求证：ACFB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH平面ABC.证明(1)因为EFDB，所以EF与DB确定平面BDEF，如图，连接DE.因为AEEC，D为AC的中点，图 所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，所以AC平面BDEF.因为FB平面BDEF，所以ACFB.(2)如图，设FC的中点为I，连接GI，HI.在CEF中，因为G是CE的中点，所以GIEF.又EFDB，所以GIDB.图 在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC，因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.
