1、第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1不等关系与不等式(第2课时)学习目标1.掌握常用不等式的基本性质.2.会将一些基本性质结合起来应用.3.学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:等式的性质有哪些?请大家用符号表示出来.问题2:根据等式的这些性质,你能猜想不等式的类似性质吗?请大家加以探究.二、信息交流,揭示规律问题3:上面得到的结论是否正确,需要我们给出证明.需要证明的不等式,是描述两个数之间的大小关系,可以用什么方法比较呢?其原理是什么呢?问题4:请大家用作差法证明性质(4).问题5:利用上面的性质,证明不等式的下列性质:性质5如果ab,cd
2、,那么a+cb+d;性质6如果ab0,cd0,那么acbd;性质7如果ab0,那么anbn(nN,n1);性质8如果ab0,那么nanb(nN,n2).三、运用规律,解决问题【例题】已知ab0,ccb.问题6:观察条件和结论中的不等式有什么差异?用不等式的哪些性质可以将条件向结论转化?问题7:请大家思考还有其他证明方法吗?请大家尝试一下.问题8:用作差法比较两个数的大小,一般经历哪几个步骤?四、变式训练,深化提高变式训练1:下列结论的正误,正确的打“”,错误的打“”.若ba0,则1ab,则1a1b. ()若1ab. ()若a+cb+d,则ab,cd.()若a2b20,则ab0. ()若ab,则
3、ab. ()变式训练2:设xyb,那么ba;如果bb.即abbb,bc,那么ac.即ab,bcac.(3)如果ab,那么a+cb+c.(4)如果ab,c0,那么acbc;如果ab,c0,那么ac0ab;a-b=0a=b;a-b0ab,c0,所以ac-bc=c(a-b)0,所以acbc.同理可证如果ab,c0,那么acb,所以a+cb+c.因为cd,所以b+cb+d. 由得,a+cb+d.(6)ab,c0acbccd,b0bcbdacbd;(7)因为ab0,由性质(6)可得anbn,(nN,n1);(8)(反证法)假设nanb,若nanbab矛盾,所以nanb.三、运用规律,解决问题【例题】证明
4、:因为ab0,所以ab0,1ab0.于是a1abb1ab,即1a1b.由ccb.问题6:结论中的a,b在分母上,且结论中a,b,c在同一个不等式中;性质(4).问题7:有,用作差法.证明:因为ca-cb=bc-acab=c(b-a)ab,又因为ab0,所以b-a0.又c0,所以cacb.问题8:作差变形定号结论,四个步骤.四、变式训练,深化提高变式训练1:答案:、变式训练2:解:方法一:(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)x2+y2-(x+y)2=-2xy(x-y),xy0,x-y0,(x2+y2)(x-y)(x2-y2)(x+y).方法二:xy0,x-yy2,x+y0.(x2+y2)(x-y)0,(x2-y2)(x+y)0,0(x2+y2)(x-y)(x2-y2)(x+y)=x2+y2x2+y2+2xy(x2-y2)(x+y).变式训练3:解析:由题设得02,036,-6-30,所以-62-3.答案:D五、反思小结,观点提炼略
