1、第8节 函数与方程考试要求 1.了解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的联系；2.掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.知 识 梳 理 1.函数的零点(1)函数零点的概念 对于函数yf(x)，把使_的实数x叫做函数yf(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_.f(x)0 x轴零点(3)零点存在性定理 如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；_；则函数yf(x)在(a，b)上存在零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根.f(a)f(b)0)的图象与零点的关系
2、 b24ac 0 0 0)的图象 与x轴的交点 _ _ 无交点 零点个数 2 1 0(x1，0)，(x2，0)(x1，0)常用结论与易错提醒 1.不满足零点存在性定理也可能有零点(如不变号零点).2.由函数yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示.所以f(a)f(b)0是图象连续的函数yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件.3.若函数f(x)在a，b上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)f(b)0函数f(x)在a，b上只有一个零点.诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误.(1)函数f(x)lg x的零点是(1，0).()(2)图象连续
3、的函数yf(x)(xD)在区间(a，b)D内有零点，则f(a)f(b)0.()(3)若连续函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点.()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x).()解析(1)f(x)lg x的零点是1，故(1)错误.(2)f(a)f(b)0是连续函数yf(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误.答案(1)(2)(3)(4)2.下列函数中既是偶函数又存在零点的是()A.ycos xB.ysin x C.yln xD.yx21 解析 由函数是偶函数，排除选
4、项B，C，又选项D中函数没有零点，排除D，ycos x为偶函数且有零点.答案 A 3.(必修1P88例1改编)函数f(x)ex3x的零点个数是()A.0B.1 C.2D.3 解析 由 f(x)ex30，所以 f(x)在 R 上单调递增，又 f(1)1e30，因此函数 f(x)有且只有一个零点.答案 B 4.(2019北京东城区期末)下列函数中是奇函数且存在零点的是()A.yx3xB.ylog2xC.y2x23 D.y2x解析 对于 A：yx3x 为奇函数，且存在零点为 x0，与题意相符；对于 B：ylog2x 为非奇非偶函数，与题意不符；对于 C：y2x23 为偶函数，与题意不符；对于 D：y
5、2x不存在零点，与题意不符，故选 A.答案 A 5.函数f(x)ax12a在区间(1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_.解析 因为函数 f(x)ax12a 在区间(1，1)上是单调函数，所以若 f(x)在区间(1，1)上存在一个零点，则满足 f(1)f(1)0，即(3a1)(1a)0，解得13a1.答案 13，16.已知 f(x)x2，x0，2x2，x0，则 f(f(2)_；函数 f(x)的零点的个数为_.解析 根据题意得：f(2)(2)24，则f(f(2)f(4)24216214；令f(x)0，得到2x20(x0)，解得：x1，则函数f(x)的零点个数为1.答案 14 1 考点一
6、函数零点所在区间的判断【例1】(1)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内B.(，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，)内D.(，a)和(c，)内(2)(一题多解)设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)解析(1)ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选
7、A.(2)法一 函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).法二 易知f(x)ln xx2在(0，)上为增函数，且f(1)1210.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点.答案(1)A(2)B 规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否
8、有交点来判断.【训练 1】(1)函数 f(x)4x2x 的零点所在区间是()A.0，12B.12，1C.1，32D.32，2(2)已知函数 f(x)ln x12x2的零点为 x0，则 x0 所在的区间是()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)解析(1)f(x)的图象在(0，)上连续，又 f(x)在(0，)上递减，且 f(1)20，f32 8323286 230.选 C.(2)f(x)ln x12x2在(0，)上是增函数，又 f(1)ln 1121ln 120，f(2)ln 2120ln 210.故 f(x)的零点 x0(2，3).答案(1)C(2)C 考点二 函数零点(或方
9、程根)个数的判断【例 2】(1)已知函数 f(x)|ln（x1）|，x1，2x11，x1，则方程 f(f(x)2f（x）34 0 的实根个数为()A.3 B.4 C.5 D.6(2)函数 f(x)2x|log0.5x|1 的零点个数为_.解析(1)令 tf(x)，则方程 f(f(x)2f（x）34 0 等价于 f(t)2t320.在同一平面直角坐标系中作出函数 yf(x)与直线 y2x32的图象，由图象可得有两个交点，且 f(t)2t320 的两根分别为 t10 和 1t22.当 t1f(x)0 时，解得 x2；当 t2f(x)(1，2)时，方程 f(x)t2 有 3个不等实根.综上所述，方程
10、 f(f(x)2f（x）34 0 的实根个数为 4，故选 B.(2)令 f(x)2x|log0，5x|10，得|log0.5x|12x.设 g(x)|log0.5x|，h(x)12x，在同一坐标系下分别画出函数 g(x)，h(x)的图象(如图).由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数 f(x)有 2 个零点.答案(1)B(2)2 规律方法 函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个
11、数即得零点个数.【训练 2】(1)(2020杭州二中模拟)已知函数 f(x)2x1，x0，x22x，x0，若实数m(0，1)，则函数 g(x)f(x)m 零点个数为()A.0 B.1 C.2 D.3(2)f(x)2sin xsinx2 x2 的零点个数为_.解析(1)函数g(x)f(x)m的零点即为函数yf(x)与函数ym的图象的交点.如图画出函数yf(x)的图象，结合0m1可知函数yf(x)与函数ym的图象的交点为3个，所以函数g(x)f(x)m的零点有3个，故选D.(2)f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2，则函数的零点个数即为函数ysin 2x与函数yx2图象的交点个数，如
12、图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点.答案(1)D(2)2 考点三 函数零点的应用【例 3】(1)(2020杭州质检)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间0，2上 f(x)x，若关于 x 的方程 f(x)logax 有三个不同的实根，则 a 的取值范围为_.(2)(2019江苏卷)设 f(x)，g(x)是定义在 R 上的两个周期函数，f(x)的周期为 4，g(x)的周期为 2，且 f(x)是奇函数.当 x(0，2时，f(x)1（x1）2，g(x)k（x2），0 x1，12，10.若在区间(0，9上，关于 x 的方程 f(x)g(x)有 8个不同的实数根，
13、则 k 的取值范围是_.解析(1)由f(x4)f(x)知，函数的周期T4.又f(x)为偶函数，f(x)f(x)f(4x)，因此函数yf(x)的图象关于x2对称.又f(2)f(6)f(10)2，要使方程f(x)logax有三个不同的实根.由函数的图象(如图)，必须有f（6）2，a1.即loga62，a1.解得 6a0)恒过定点A(2，0)，由图可知，当x(2，3(6，7时，f(x)与g(x)的图象无交点，当x(0，1(4，5(8，9时，f(x)与g(x)的图象有6个交点.由f(x)与g(x)的周期性可知，当x(0，1时，f(x)与g(x)的图象有2个交点.当 yk(x2)与圆弧(x1)2y21(
14、00)k 24.当 yk(x2)过点 A(2，0)与 B(1，1)时，k13.13km，其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_.解析(1)由题意可知，此问题等价于函数g(x)axb与函数h(x)x2的图象在1，1上有两个不同的交点，且b2ag(2)0，1，求g(1)ab的取值范围.画出临界位置的图象如图所示，当x1时，要使满足题意，直线l1，l2须经过线段AB，而当l1过点B时，直线与曲线没有交点，当l2过点B时，直线与曲线只有1个交点，均不合题意，故舍去y0的情况，所以g(1)ab1，0)，故选A.(2)在同一坐标系中，作出yf(x)与yb的图象.当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.答案(1)A(2)(3，)