1、2015届高三年级第三次四校联考数学试题（理）【试卷综述】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。注重双基和数学思想数学方法的复习，注重运算能力思维能力的培养。较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，能考查学生的能力。【题文】第卷（选择题 60分）【题文】一、选择题(51260分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)【题文】1. 已知集合,则 A.B
2、. C. D. 【知识点】集合的运算A1【答案】【解析】C 解析：根据已知得,所以,故选B.【思路点拨】根据已知得到集合A,B,然后再求交集.【题文】2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是 A. B. C. D.【知识点】复数的运算;复数的几何意义L4【答案】【解析】A 解析：因为,所以在复平面内对应点的坐标是,故选A.【思路点拨】先把原复数化简,再根据几何意义得到对应的点坐标.【题文】3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.【知识点】由三视图求面积、体积BG2【答案】【解析】B 解析：几何体是一个简单组合体，是一个圆柱里挖去一个圆锥，所以体积为,
3、故选B.【思路点拨】几何体是一个简单组合体，是一个圆柱里挖去一个圆锥，用圆柱的体积减去圆锥的体积即可【题文】4. 等比数列的前项和为，若， ，则 A.31 B. 36 C. 42 D.48【知识点】等比数列的性质D3【答案】【解析】A 解析：a3a5=a2a6=64，a3+a5=20，a3和a5为方程x220x+64=0的两根，an0，q1，a3a5，a5=16，a3=4，q=2，a1=1，S5=31故选A【思路点拨】利用等比中项的性质求得a3a5=a2a6，进而根据a3+a5=20，构造出一元二次方程求得a3和a5，则a1和q可求得，最后利用等比数列的求和公式求得答案【题文】5. 设，其中实
4、数满足，若的最大为，则的最小值为A. B. C. D.【知识点】简单线性规划E5【答案】【解析】A 解析：作出不等式对应的平面区域，由z=x+y，得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大为6即x+y=6经过点B时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小由得，即A（3，3），直线y=k过A，k=3由，解得，即B（6，3）此时z的最小值为z=6+3=3，故选：A【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出k的值，通过平移即可求z的最小值为【题文】6. 有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一
5、名的不同分派方法种数为A. B. C. D.【知识点】排列、组合及简单计数问题J1 J2【答案】【解析】A 解析：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3若是1，1，3，则有=60种，若是1，2，2，则有=90种所以共有150种不同的方法故选：A【思路点拨】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案【题文】7. 执行如图的程序框图，则输出的值为A. 2016B. 2 C. D.【知识点】程序框图L1【答案】【解析】B 解析：模拟执行程序框图，可得s=2，k=0满足条件k2016，s=1，k=1满足条件k2016，s=，k=2满
6、足条件k2016，s=2k=3满足条件k2016，s=1，k=4满足条件k2016，s=，k=5观察规律可知，s的取值以3为周期，由2015=3*671+2，有满足条件k2016，s=2，k=2016不满足条件k2016，退出循环，输出s的值为2故选：B【思路点拨】模拟执行程序框图，依次写出前几次循环得到的s，k的值，观察规律可知，s的取值以3为周期，由k等于2015=3*671+2时，满足条件k2016，s=2，k=2016时不满足条件k2016，退出循环，输出s的值为2【题文】8. 若的展开式中含有常数项，则的最小值等于 A. B. C. D. 【知识点】二项式系数的性质J3【答案】【解析
7、】C 解析：由题意，（x6）n的展开式的项为Tr+1=Cnr（x6）nr（）r=Cnr=Cnr，令6nr=0，得n=r，当r=4时，n取到最小值5故选：C【思路点拨】二项式的通项公式Tr+1=Cnr（x6）nr（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值【题文】9. 已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.关于函数，下列说法正确的是A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称C. 函数是奇函数 D. 当时，函数的值域是【知识点】函数y=Asin（x+）的图象变换C4【答案】【解析】D 解析：f（x）=sinx+co
8、sx=，由题意知，则T=，=，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得g（x）=f（x+）=2=2cos2x其图象如图：由图可知，函数在，上是减函数，A错误；其图象的对称中心为（），B错误；函数为偶函数，C错误；，当x，时，函数g（x）的值域是2，1，D正确故选：D【思路点拨】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，画出其图象，则答案可求【题文】10. 函数的图象大致为【知识点】函数的图像；函数的奇偶性B4 B8【答案】【解析】D 解析：由知：，即 ，所以函数为奇函数，排除A;当，总会存在x,使cos6x0,故排
9、除B,C,故选D.【思路点拨】先判断出原函数为奇函数，再利用排除法即可。【题文】11. 在正三棱锥中，是的中点，且,底面边长,则正三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体G8【答案】【解析】B 解析：取AC中点，连接BN、SNN为AC中点，SA=SC，ACSN，同理ACBN，SNBN=N，AC平面SBNSB平面SBN，ACSBSBAM且ACAM=ASB平面SACSBSA且SBAC三棱锥SABC是正三棱锥SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直底面边长AB=2，侧棱SA=2，正三棱锥SABC的外接球的直径为：2R=外接球的半径为R=正三棱锥SABC的外接
10、球的表面积是S=4R2=12故选：B【思路点拨】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出ACSB，结合SBAM，得到SB平面SAC，因此可得SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥SABC的外接球的表面积【题文】12. 过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为M，延长交曲线于点N，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为 A. B. C. D.【知识点】双曲线的简单性质H6【答案】【解析】D 解析：设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为（c，0）因为曲线C1与C3有一个共同的焦点，所以y2=4cx ，因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，所以O
11、M为NF1F2的中位线，所以OMPF2，因为|OM|=a，所以|NF2|=2a又NF2NF1，|FF2|=2c 所以|NF1|=2b 设N（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，x=2a-c ，过点F作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a ，由勾股定理 y2+4a2=4b2，即4c（2a-c）+4a2=4（c2-a2），得e2-e-1=0，e=故选：D【思路点拨】双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用O为F1F2的中点，M为F1N的中点，可得OM为NF1F2的中位线，从而可求|NF1|，再设N（x，y） 过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率【题文】第卷
12、（非选择题 90分）【题文】二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)【题文】13. 已知，则_.【知识点】向量的运算;向量的模F2【答案】【解析】 解析：设,则,解得,所以,故答案为.【思路点拨】设,然后利用解得,最后利用向量的模的公式解之.【题文】14. 设随机变量，若，则_.【知识点】正态分布I3【答案】【解析】 解析：根据正态分布的定义可知对称轴为,而m与6-m关于对称,所以,故,故答案为.【思路点拨】根据正态分布的定义可知对称轴为,而m与6-m关于对称,所以,结合定义可得结果.【题文】15. 函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是
13、_.【知识点】函数的零点与方程根的关系B9【答案】【解析】 解析：方程f（x）=mx恰有四个不相等的实数根可化为函数与函数y=mx有四个不同的交点，作函数与函数y=mx的图象如下，由题意，C（0，），B（1，0）；故kBC =，当x1时，f（x）=lnx，f（x）=；设切点A的坐标为（x1，lnx1），则=；解得，x1=；故kAC =；结合图象可得，实数m的取值范围是故答案为：【思路点拨】方程f（x）=mx恰有四个不相等的实数根可化为函数与函数y=mx有四个不同的交点，作函数与函数y=mx的图象，由数形结合求解【题文】16. 设数列的前项和为，且，为等差数列，则 的通项公式_.【知识点】等差数
14、列的性质D2【答案】【解析】 解析：设bn=nSn+（n+2）an，数列an的前n项和为Sn，且a1=a2=1，b1=4，b2=8，bn=b1+（n1）（84）=4n，即bn=nSn+（n+2）an=4n当n2时，SnSn1+（1+）an（1+）an1=0=，即2，是以为公比，1为首项的等比数列，=，【思路点拨】令bn=nSn+（n+2）an，由已知得b1=4，b2=8，从而bn=nSn+（n+2）an=4n，进一步得到是以为公比，1为首项的等比数列，由此能求出an的通项公式【题文】三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 【
15、题文】17. (本小题满分12分)在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知 （1）求证：成等差数列； （2）若 求.【知识点】余弦定理；正弦定理C8【答案】【解析】（1）见解析；（2） 解析：（1）由正弦定理得：即 2分即 4分 即成等差数列。 6分（2） 8分又 10分由（1）得： 即 12分【思路点拨】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形，整理后再利用正弦定理化简，利用等差数列的性质判断即可得证；（2）利用三角形面积公式列出关系式，把sinB与已知面积代入求出ac的值，利用余弦定理列出关系式，整理得出b的值即可【题文】18
16、.（本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.【知识点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列K1 K6【答案】【解析】（1）；（2）见解析解析：（1）设事件为“两手所取的球不同色”， 则 4分（2） 依题意，的可能取值为0,1,2左手
17、所取的两球颜色相同的概率为 6分右手所取的两球颜色相同的概率为 7分 10分012所以的分布列为： 12分【思路点拨】（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，由此能求出；（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，左手所取的两球颜色相同的概率为，右手所取的两球颜色相同的概率为分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），由此能求出X的分布列和EX【题文】19. (本小题满分12分)直三棱柱 中，分别是、 的中点，为棱上的点.（1）证明：; （2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为?若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由.【知识点】线面垂直的性质定理；二面角的求法G10 G1
18、1【答案】【解析】（1）见解析；（2）当点为中点时，满足要求. 解析：（1）证明： ， 又 面 又面 2分 以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 则, 设 ， 且,即： 5分 6分（2）假设存在,设面的法向量为 ， 则 即： 令 . 8分 由题可知面的法向量 9分 平面与平面 所成锐二面的余弦值为 即： 或 （舍） 11分 当点为中点时，满足要求. 12分【思路点拨】【题文】20. (本小题满分12分)椭圆的上顶点为是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点
19、的坐标；如果不存在，说明理由【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程H5 H8【答案】【解析】（1）（2）存在两个定点，使它们到直线的距离之积等于1. 解析：（1），由题设可知，得 1分又点P在椭圆C上， 3分联立解得， 4分故所求椭圆的方程为 5分（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去y，整理得（）方程（）有且只有一个实根，又，所以得 8分假设存在满足题设，则由对任意的实数恒成立,所以， 解得，当直线的斜率不存在时，经检验符合题意.总上，存在两个定点，使它们到直线的距离之积等于1.12分【思路点拨】（1）由题设可得，又点P在椭圆C上，可得a2=2，又b2+c2=a2=
20、2，联立解得c，b2，即可得解（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（），由得，假设存在满足题设，则由对任意的实数k恒成立由 即可求出这两个定点的坐标【题文】21. (本小题满分12分)函数，若曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）.（1）若在上存在极值，求实数的取值范围；（2）求证：当时，.【知识点】利用导数求函数的极值；利用导数证明不等式B11 B12【答案】【解析】（1）；（2）见解析 解析：（1） 由已知 得 2分 当为增函数； 当时，为减函数。 是函数的极大值点 4分 又在上存在极值 即 故实数的取值范围是 5分（2） 即为 6分 令 则 再令
21、则 在上是增函数 在上是增函数 时， 故 9分令则 即上是减函数时， 11分所以， 即 12分【思路点拨】(1)先求导得，利用单调性判断出是函数的极大值点，所以有，解不等式组即可；（2）先转化为， 令，再求导结合单调性证明。【题文】请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑【题文】22(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲 如图所示,已知圆外有一点,作圆的切线,为切点,过的中点,作割线,交圆于、两点,连接并延长,交圆于点,连接交圆于点,若.（1）求证:;（2）求证:四边形是平行四边形.【知识
22、点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定N1【答案】【解析】（1）见解析；（2）见解析解析：(1)是圆的切线, 是圆的割线, 是的中点, ,又, , 即., , ,. 5分 (2),即, ,是圆的切线,即, 四边形PMCD是平行四边形. 10分【思路点拨】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得，进而，结合，可得，则，即；再由MC=BC，可得MAC=BAC，再由等角的补角相等可得MAP=PAB，进而得到APMABP（II）由ACD=PBN，可得PCD=CPM，即PMCD；由APMABP，PM是圆O的切线，可证得MCP=DPC，即MCPD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形
23、【题文】23(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆C的参数方程以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化N3【答案】【解析】（1）；（2） 解析：（1）圆C的普通方程为，又所以圆C的极坐标方程为 5分（2）设，则由 解得 7分设，则由解得 9分所以 10分【思路点拨】（I）利用cos2+sin2=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程（II）设为点P的极坐标，由，联立即可解得设的极坐标，同理可解得利
24、用|即可得出【题文】24(本小题满分10分)选修45：不等式选讲设=. （1）求的解集;（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.【知识点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法N4【答案】【解析】（1）；（2） 解析： (1)由得：或或3分解得所以的解集为 5分 （2） 当且仅当时，取等号. 8分由不等式对任意实数恒成立，可得解得：或. 故实数的取值范围是 10分【思路点拨】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x1，1x1，x1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围
