1、2.4正态分布自主预习探新知情景引入高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”那么，什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？新知导学1正态曲线及其性质(1)正态曲线：函数，(x)e，x(，)，其中实数，(0)为参数，我们称，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的性质：曲线位于x轴_上方_，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线_x_对称；曲线在x处达到峰值_；曲线与x轴之间的面积为_1_；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平
2、移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小；曲线越“瘦高”，总体分布越集中，如图乙所示甲乙2正态分布一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布(normal distribution)正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(，2)如果随机变量X服从正态分布，则记为XN(，2)3正态总体三个特殊区间内取值的概率值P(X)_0.6826_；P(2X2)_0.9544_；P(3X3)_0.9974_43原则通常服从正态分布N(，2)的随机变量X只取(3，3)之间的值预习自测1(2020
3、遂宁模拟)已知随机变量服从正态分布N(，2)，若P(2)P(6)0.15，则P(24)等于(B)A0.3B0.35C0.5D0.7解析由题意可得P(24)0.35，故选B2(2020孝义市一模)一次考试中，某班学生的数学成绩X近似服从正态分布N(100,100)，则该班数学成绩的及格率可估计为(成绩达到90分为及格)(参考数据：P(X)0.68)(D)A60%B68%C76%D84%解析X服从正态分布N(100,100)，P(90X100)P(90X110)0.680.34，P(X100)0.5，P(X90)0.340.50.84故选D3已知随机变量服从正态分布N(1，2)，且P(2)0.6，
4、则P(01)_0.1_解析随机变量服从正态分布N(1，2)，曲线关于直线x1对称，P(2)0.6，P(0110)P(90)0.2该班学生成绩在110分以上的人数为0.25010人5商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N(10，0.12)(单位：kg)任选一袋这种大米，质量在9.810.2 kg的概率是多少？解析因为大米的质量服从正态分布N(10,0.12)，要求质量在9.810.2的概率，需化为(2，2)的形式，然后利用特殊值求解由正态分布N(10,0.12)知，10，0.1，所以质量在9.810.2kg的概率为P(1020.1c)，则c(B)A0B1C2D3解析(1)由密度函数知，均值(
5、期望)80，标准差10，又曲线关于直线x80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的(2)因为P(Xc)P(Xc)，所以c1，故选B命题方向利用正态分布求概率典例2已知N(4，2)，且P(26)0.682 6，则_2_，P(|2|4)_0.84_解析N(4，2)且P(26)0.682 6，4，结合“3”原则可知2P(|2|4)P(26)P(22)P(26)P(210)P(26)P(26)P(210)P(26)P(33)P()(0.997 40.682 6)0.84规律总结求在某个区间内取值的概率的方法(1)利用X落在区间(，、(2，2、(3，3内的概率分别是
6、0.682 6,0.954 4，0.997 4求解(2)充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解熟记正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等P(Xa)1P(Xa)；P(Xa)跟踪练习2_(1)已知随机变量服从正态分布N(0，2)，若P(2)0.023，则P(2c)a，则P(4c)等于(B)AaB1aC2aD12a解析(1)P(22)120.0230.954(2)对称轴x2，P(4c)1P(c)1a命题方向正态分布的应用典例3某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸XN(4,0.25)质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm，试问该厂生产的这批零件
7、是否合格？思路分析判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想欲判定这批零件是否合格，关键是看随机抽查的一件产品的外径尺寸是在(3，3)之内还是在(3，3)之外解析由于圆柱形零件的外径尺寸XN(4,0.25)，由正态分布的特征可知，X在区间(430.5,430.5)(即(2.5,5.5)之外取值的概率约为0.002 7.而5.7(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合格的规律总结在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(，2)的随机变量X只取(3，3)之间的值如果服从正态分布的随机变量的某些取
8、值超出了这个范围就说明出现了意外情况求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：(1)根据题目中给出的条件确定与的值(2)将待求问题向(，(2，2，(3，3这三个区间进行转化(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果跟踪练习3_某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在8090内的学生占多少？解析(1)设学生的得分情况为随机变量X，XN(70,102)，则70，10分数在6080之间的学生的比为：P(7010X7010)0.682 6，所以不及格的学生的比为(10.682 6)0.158 7，即成绩不及格的学生占15.87%(2)成绩在8090内的学生的比为P(702100)P(X4)1，则_2_辨析对正态分布的正态曲线的对称性理解不到位而致误，充分认识P(X0)P(X4)1，又P(X0)P(X4)因此正态曲线的对称轴为x2.所以2误区警示错解的原因在于对正态曲线的对称性没有充分的认识，无法将所给条件进一步转化，找不清解题的思路本题的关键在于P(X90)1P(3090)，0.001 3，n10 000，即此次参加数学考试的学生共有10 000人
