1、2.2二项分布及其应用2.2.1条件概率自主预习探新知情景引入在一次英语口试中，共有10道题可选择从中随机地抽取5道题供考生回答，答对其中3道题即可及格假设作为考生的你，只会答10道题中的6道题那么，你及格的概率是多少？在抽到的第一题不会答的情况下你及格的概率又是多少？新知导学1条件概率一般地，设A、B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)_为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率一般把P(B|A)读作_A发生的条件下B发生的概率_如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生，显然知道了A的发生，研究事件B时，基本事件发生变化，从而B发生的概率也相应的发生变化，这就是_条件概率_要研究的问题2
2、条件概率的性质性质1：0P(B|A)1；性质2：如果B和C是两个互斥事件，那么P(BC|A)P(B|A)P(C|A)预习自测1已知P(AB)，P(A)，则P(B|A)为(B)ABCD解析由公式P(B|A)得P(B|A)2(2020武汉高二检测)据某地区气象台统计，在某季节该地区下雨的概率是，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上风又下雨的概率为，设事件A为下雨，事件B为刮四级以上的风，那么P(B|A)_解析由题意P(A)，P(B)，P(AB)，P(B|A)故答案为3在100件产品中有95件合格品，5件不合格品现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率
3、为_解析解法一：在第一次取到不合格品以后，由于不放回，故还有99件产品，其中4件次品，故第二次再次取到不合格产品的概率为解法二：第一次取到不合格品的概率为P1，两次都取到不合格产品的概率为P2，所求概率P4在一个口袋里装有大小相同的红色小球3个，蓝色小球5个，从中任取1球观察颜色，不放回，再任取一球，则(1)在第一次取到红球条件下，第二次取到红球的概率为多少？(2)在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为多少？(3)在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到蓝球的概率为多少？解析解法一：(1)第一次取到红球不放回，此时口袋里有2个红球，5个蓝球，故第二次取到红球的概率为P1(2)第一次取到蓝
4、球后不放回，这时口袋里有3红4蓝7个小球，从中取出一球，取到红球的概率为(3)第一次取到蓝球后不放回，这时口袋里有3红4蓝7个小球，从中取出一球，取到蓝球的概率为P3解法二：(1)记事件A为“第一次取到红球”，事件B为“第二次取到红球”，P(AB)，P(A)，P(B|A)(2)设C“第一次取到蓝球”，B“第二次取到红球”，则P(CB)，P(C)，P(B|C)(3)记C“第一次取到蓝球”，D“第二次取到蓝球”，则P(CD)，P(C)，P(D|C)互动探究攻重难互动探究解疑命题方向利用条件概率公式求条件概率典例1盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球E型
5、玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是E型玻璃球的概率是多少？思路分析通过表格将数据关系表示出来，再求取到蓝球是E型玻璃球的概率解析(1)令事件A取得蓝球，B取得蓝色E型玻璃球解法一：P(A)，P(AB)，P(B|A)解法二：n(A)11，n(AB)4，P(B|A)规律总结(1)在题目条件中，若出现“在发生的条件下发生的概率”时，一般可认为是条件概率(2)条件概率的两种计算方法在原样本空间中，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)计算求得P(B|A)；若事件为古典概型，可利用公式P(B|A)，即在缩小
6、后的样本空间中计算事件B发生的概率跟踪练习1_(1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(A)A0.8B0.75C0.6D0.45(2)分别用集合M2,4,5,6,7,8,11,12中任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另外一个元素与之构成可约分数的概率是_解析(1)本题考查条件概率的求法设A“某一天的空气质量为优良”，B“随后一天的空气质量为优良”，则P(B|A)0.8，故选A(2)设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A，“取出的两个元
7、素构成可约分数”为事件B，则n(A)7，n(AB)4，所以P(B|A)命题方向有关几何概型的条件概率典例2一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)、P(A|B)解析如图，n()9，n(A)3，n(B)4，n(AB)1，P(AB)，P(A|B)规律总结本题是面积型的几何概型，和小正方形的个数来等价转化，将样本空间缩小为n(B)跟踪练习2_如图，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在
8、正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)_；(2)P(B|A)_解析(1)由题意可得，事件A发生的概率P(A)(2)事件AB表示“豆子落在EOH内”，则P(AB).故P(B|A)命题方向缩小基本事件范围求概率典例3两台机床加工同一种机械零件如表：合格品次品总计甲机床加工的零件数35540乙机床加工的零件数501060总计8515100从这100个零件中任取一个零件，取得的零件是甲机床加工的合格品的概率是_0.875_思路分析所求概率样本空间包含的基本事件个数是40而不是100解析记“在100个零件中任取一件是甲机床加工的零件”为事件A，记“从100个
9、零件中任取一件取得合格品”为事件B则P(B|A)0.875规律总结利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法将原来的基本事件全体缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的跟踪练习3_集合A1,2,3,4,5,6，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率解析将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，
10、(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个，在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P条件概率的性质典例4外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒
11、子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球若第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率思路分析本题考查条件概率，先设出基本事件，求相应事件的概率，再将试验成功分解成两个互斥事件的和解析设A从第一个盒子中取得标有字母A的球，B从第一个盒子中取得标有字母B的球，R第二次取出的球是红球，W第二次取出的球是白球，易得P(A)，P(B)，P(R|A)，P(R|B)，事件“试验成功”表示为RARB，又事件RA与事件RB互斥，故由概率的加法公式得P(RARB)P(RA)P(RB)P(R|A)P(A)P(R|B)P(B)0.59规律总结若事件B，C互斥，则P(BC|A)P(
12、B|A)P(C|A)，即为了求得比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解成若干个互不相容的较简单事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用概率加法公式求得所求的复杂事件的概率跟踪练习4_抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率解析抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为6636，事件A的基本事件数为 6212，则P(A)366345548，4664558，56658,668，事件B的基本事件总数为432110P(B)又458,468，638,648，658，668，事
13、件AB的基本事件数为6故P(AB)由条件概率公式，得(1)P(B|A)(2)P(A|B)学科核心素养条件概率公式的推广的应用(1)条件概率定义的推广P(Ak|A1A2Ak1)，其中k1,2,3，P(A1A2Ak1)0(2)乘法公式的推广若P(A1A2An1)0，则P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An1)(3)全概率公式完备事件组：若事件A1，A2，An互斥，又一次试验中事件A1，A2，An必发生其中之一，即A1A2An，又AiAj(ij)，则称A1，A2，An为完备事件全概率公式：若事件B1，B2，Bn为完备事件组，且P(Bi)0(i1,2，n
14、)，则对任一事件A，有P(A)(Bi)P(A|Bi)典例5某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为，.现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品(1)求取得的一个产品是次品的概率；(2)若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是多少？(精确到0.001)解析(1)设A取得一个产品是次品，B1取得一箱是甲厂的，B2取得一箱是乙厂的，B3取得一箱是丙厂的显然B1，B2，B3是导致A发生的一组原因，这组原因是完备事件组(即一个划分)，A能且只能与B1，B2，B3之一同时发生三个厂的次品率分别为，P(A|B1)，
15、P(A|B2)，P(A|B3)12箱产品中，甲占，乙占，丙占，由全概率公式得P(A)(A|Bk)P(Bk)0.083(2)依题意，已知A发生，要求P(B2|A)，此时我们用贝叶斯公式：P(B2|A)0.287规律总结贝叶斯公式实质上是条件概率公式P(Bi|A)，P(BiA)P(Bi)P(A|Bi)，全概率公式P(A)(Bi)P(A|Bi)的综合应用易混易错警示因把基本事件空间找错而致错典例6一个家庭中有两名小孩，假定生男、生女是等可能的已知这个家庭有一名小孩是女孩，问另一名小孩是男孩的概率是多少？辨析解决条件概率的方法有两种，第一种是利用公式P(B|A).第二种为P(B|A)，其中找对基本事件
16、空间是关键正解方法一：一个家庭的两名小孩只有4种可能：两名都是男孩，第一名是男孩，第二名是女孩，第一名是女孩，第二名是男孩，两名都是女孩由题意知这4个事件是等可能的，设基本事件空间为，“其中一名是女孩”为事件A，“其中一名是男孩”为事件B，则(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，A(男，女)，(女，男)，(女，女)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)P(AB)，P(A).P(B|A)方法二：由方法一可知n(A)3，n(AB)2.P(B|A)误区警示1.条件概率易出错点之一就是把基本事件空间找错了2弄不清一个事件对另一事件的影响致错课堂达标固基础1已知P(
17、AB)，P(A)，则P(B|A)等于(B)ABCD解析P(B|A)2(2020新余二模)从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A“第一次取到的是奇数”，B“第二次取到的是奇数”，则P(B|A)(D)ABCD解析由题意，P(AB)，P(A)P(B|A)故选D3由“0”“1”组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)(A)ABCD解析在第一位数字为0的条件下，第二位数字为0的概率为P(A|B)4(2020烟台期末)袋中有大小形状都相同的4个黑球和2个白球如果不放回地依次取出2球，那么在第1次取到的是黑球的条件下，第2次取到黑球的概率为(C)ABCD解析设事件A表示“第一次取出黑球”，事件B表示“第二次取出黑球”，P(A)，P(AB)，在第1次取到的是黑球的条件下，第2次取到黑球的概率为：P(B|A)故选C56名同学参加百米短跑比赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率是_解析“甲排在第一跑道”记为事件A，“乙排在第二跑道”记为事件B则P(A)，P(AB)所以P(B|A)
