1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1直线 l：AxByC0 与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系(1)几何方法：圆心(a，b)到直线 AxByC0 的距离d|AaBbC|A2B2，_直线与圆相交；_直线与圆相切；_直线与圆相离dr(2)代数方法：由AxByC0，xa2yb2r2，消元，得到一元二次方程判别式为，则_直线与圆相交；_直线与圆相切；_直线与圆相离000)与(xa2)2(yb2)2r22(r20)的圆心距为 d，则：dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2
2、d|r1r2|0d|r1r2|有两组不同的实数解两圆_；有两组相同的实数解两圆_；有无数组解两圆重合；无实数解两圆_(2)代数方法：方程组x2y2D1xE1yF10，x2y2D2xE2yF20，相交相切外离或内含1若PQ是圆x2y29的弦，PQ的中点是(1,2)，则直线PQ的方程是_答案：x2y502(2011年扬州质检)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的_条件答案：充分而不必要课前热身3直角坐标平面内过点P(2,1)且与圆x2y24相切的直线有_条答案：24圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是_答案：相交考点探究挑战高考 考点突破 直线与圆的位置关系 直线与
3、圆的位置关系有相离(没有公共点)、相切(只有一个公共点)、相交(有两个公共点)三种，判断直线与圆的位置关系主要有两种方法：一是圆心到直线的距离与圆的半径比较大小；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数已知直线方程mxym10，圆的方程x2y24x2y10.当m为何值时，圆与直线(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点【思路分析】直线与圆有两个公共点直线与圆相交；直线与圆只有一个公共点直线与圆相切；直线与圆没有公共点直线与圆相离例1【解】法一：将直线 mxym10 代入圆的方程化简整理得，(1m2)x22(m22m2)xm24m40.4m(3m4)，当 0 时，即 m0 或 m
4、43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当 0 时，即 m0 或 m43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当 0 时，即43m0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点法二：已知圆的方程可化为：(x2)2(y1)24，即圆心为(2,1)，半径 r2.圆心(2,1)到直线 mxym10 的距离d|2m1m11m2|m21m2.当 d2 时，即 m0 或 m43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当 d2 时，即 m0 或 m43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当 d2 时，即43m0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点【名师点评】解决此类问题的关键是搞清直线
5、与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用联立方程互动探究1 本例中直线改为mxy2m10，则该直线与圆有几个交点？解：直线mxy2m10为m(x2)(y1)0，直线过点(2,1)，即过圆的圆心该直线与圆有两个交点1判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法2若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项即可得到圆与圆的位置关系 已知两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线方程
6、；(3)求公共弦的长度例2【思路分析】将两圆方程化为标准方程 判断两圆位置关系 作差求公共弦所在的直线 求公共弦的长度 【解】(1)将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x1)2(y5)250，C2：(x1)2(y1)210.则圆 C1 的圆心为(1，5)，半径 r15 2；圆 C2 的圆心为(1，1)，半径 r2 10.又 C1C2 2 5，r1r25 2 10，r1r25 2 10.r1r2 C1C2 r1r2，两圆相交(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x2y40.(3)法一：两方程联立，得方程组x2y22x10y240 x2y22x2y80 两式相减得 x2y4，把代入得 y22
7、y0，y10，y22.x14y10或x20y22，所以交点坐标为(4,0)和(0,2)两圆的公共弦长为4020222 5.法二：两方程联立，得方程组x2y22x10y240 x2y22x2y80，两式相减得 x2y40，即两圆相交弦所在直线的方程；由 x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，其圆心为 C1(1，5)，半径 r15 2.圆心 C1 到直线 x2y40 的距离d|12541223 5，设公共弦长为 2l，由勾股定理 r2d2l2，得 5045l2，解得 l 5，所以公共弦长 2l2 5.【名师点评】求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法
8、：此类问题包含知识较多，多与方程、向量、不等式相结合，解决问题时，首先由直线与圆的知识入手，然后转化为方程等知识解决直线与圆的综合问题(2011 年盐城高三调研)已知O：x2y21和点 M(4,2)(1)过点 M 向O 引切线 l，求直线 l 的方程；(2)求以点 M 为圆心，且被直线 y2x1 截得的弦长为 4 的M 的方程；(3)设 P 为(2)中M 上任一点，过点 P 向O 引切线，切点为 Q.试探究：平面内是否存在一定点 R，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由例3【思路分析】(1)由切线意义可求斜率；(2)利用点到直线的距离公式；(3)先假设
9、存在设出定值，找出关系式计算【解】(1)设切线 l 方程为 y2k(x4)，易得|24kk211，解得 k8 1915.切线 l 方程为 y28 1915(x4)(2)圆心到直线 y2x1 的距离为 5.设圆的半径为 r，则 r222(5)29.M 的方程为(x4)2(y2)29.(3)假设存在这样的点 R(a，b)，点 P 的坐标为(x，y)，相应的定值为，根据题意可得 PQ x2y21，x2y21xa2yb2，即 x2y212(x2y22ax2bya2b2)，(*)又点 P 在圆上，(x4)2(y2)29，即 x2y28x4y11，代入(*)式得：8x4y122(82a)x(42b)y(a
10、2b211)若系数对应相等，则等式恒成立，282a8，242b4，2a2b21112，解得 a2，b1，2或 a25，b15，103，可以找到这样的定点 R，使得PQPR为定值如点 R 的坐标为(2,1)时，比值为 2；点 R 的坐标为(25，15)时，比值为 103.【名师点评】圆的综合问题主要是直线、弦、中点、弦心距以及圆的几何性质、有关方程等问题，尽量结合图形的特征分析，转化为有关的代数式计算变式训练 2(2011 年徐州质检)已知圆 O：x2y24和点 M(1，a)(1)若过点 M有且只有一条直线与圆 O相切，求实数 a 的值，并求出切线方程；(2)若 a 2，过点 M 的圆的两条弦
11、AC，BD 互相垂直，求 ACBD 的最大值解：(1)由条件知点 M 在圆 O 上，所以 1a24.则 a 3.当 a 3时，点 M 为(1，3)，kOM 3，k 切线 33，此时切线方程为 y 3 33(x1)，即 x 3y40.当 a 3时，点 M 为(1，3)，kOM 3，k 切线 33，此时切线方程为 y 3 33(x1)，即 x 3y40.所以所求的切线方程为 x 3y40或 x 3y40.(2)法一：设 O 到直线 AC，BD 的距离分别为 d1，d2(d1，d20)，则 d21d22OM23.于是 AC24d21，BD24d22.所以 ACBD2 4d2124d22.则(ACBD
12、)24(4d214d2224d214d22)4(52164d21d22d21d22)4(524d21d22)因为 2d1d2d21d223，所以 d21d2294，当且仅当d1d232时取等号，所以4d21d2252.所以(ACBD)24(5252)40，所以 ACBD2 10，即 ACBD 的最大值为 2 10.法二：当 AC 的斜率为 0 或不存在时，可求得ACBD2(2 3)当 AC 斜率存在且不为 0 时，设直线 AC 的方程为 y 2k(x1)，直线 BD 的方程为 y 21k(x1)根据弦长公式 l2 r2d2，可得 AC2 3k22 2k2k21，BD22k22 2k3k21.因
13、为 AC2BD24(3k22 2k2k212k22 2k3k21)20，所以(ACBD)2AC2BD22ACBD2(AC2BD2)40.故 ACBD2 10，即 ACBD 的最大值为 2 10.方法技巧1在直线与圆的位置关系中，直线与圆相切时，求切线和相交时研究与弦长有关的问题是两个重点内容；求切线时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条方法感悟2解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式，就是通常所说的“几何法”和“代数法”3解决直线与圆或圆与圆的位置关系问题，一般有两种方法，即
14、几何法或代数法，从运算的合理、简明的要求选择，通常采用几何法，但代数法具有一般性4数形结合法是解决直线与圆的位置关系的重要方法失误防范1直线与圆的位置关系的判断易片面化，即只研究方程或只研究图形，这样易产生失误，要数形结合，从数与形两方面加以判断2应用弦心距、半径、弦长一半构成的三角形时，易把弦长看作三角形的一条边长用于计算考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的江苏高考试题来看，直线与圆的位置关系、弦长、圆与圆的位置关系等是高考的热点，三种题型都有可能出现，难度属中等偏高；客观题主要考查直线与圆的位置关系，弦长等问题；主观题考查较为全面，除考查直线与圆的位置关系、弦长等问题外，还考查基本运算、
15、等价转化、数形结合思想等 预测2012年江苏高考仍将以直线与圆的位置关系为主要考点，考查运算能力和逻辑推理能力(本题满分 14 分)(2009 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：(x3)2(y1)24 和圆 C2：(x4)2(y5)24.(1)若直线 l 过点 A(4,0)，且被圆 C1 截得的弦长为 2 3，求直线 l 的方程；例规范解答(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等试求所有满足条件的点P的坐标【解】(1)由于直线 x4 与圆 C1 不
16、相交，所以直线l 的斜率存在设直线 l 的方程为 yk(x4)，圆 C1的圆心到直线 l 的距离为 d.因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3，所以 d22 321.3 分由点到直线的距离公式得 d|1k341k2.从而 k(24k7)0，即 k0 或 k 724.所以直线 l 的方程为 y0 或 7x24y280.5 分(2)设点 P(a，b)满足条件，不妨设直线 l1 的方程为ybk(xa)，k0，则直线 l2 的方程为 yb1k(xa).7 分因为圆 C1 和 C2 的半径相等，及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，所以圆C1 的圆心到直线
17、 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2的距离相等，即|1k3ab1k251k4ab1 1k2.整理得|13kakb|5k4abk，9 分从而 13kakb5k4abk 或13kakb5k4abk，即(ab2)kba3 或(ab8)kab5.10 分因为 k 的取值有无穷多个，所以ab20ba30 或ab80，ab50.12 分解得 a52b12或a32，b132.这样点 P 只可能是点 P1(52，12)或点 P2(32，132)经检验点 P1和 P2满足题目条件.14 分【名师点评】本题主要涉及直线与圆的知识，熟知直线与圆的位置关系，并能应用相关的几何性质是解答此题的基本要求，在考查圆
18、的知识时，离不开直线及相关的点对圆的影响，因而直线与圆相交或相切是最常见的考查点，弦长、弦的中点、切点、直线与圆的交点以及某些可能出现的解题“关键点”都在解题中或多或少地出现并应用，所以掌握一系列的有关题型的解法可以破解这一类题，成为高考的得分项1已知圆C：x2y24，直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A，B两点，若2，则直线l的方程是_名师预测解析：当直线斜率不存在时，方程为 x1，圆心到这条直线的距离为 1，圆的半径为 2，故圆被直线截得的弦长为 22212 3，符合题意；当直线斜率存在时，可设为 k，则直线方程为 y2k(x1)即 kxy2k0，由 AB 2 3，半径为 2，容易求得圆
19、心到此直线的距离为 1，即|2k1k21，解得 k34，此时直线方程为 3x4y50.综上可得符合条件的直线方程为 x1 与 3x4y50.答案：x1和3x4y502已知直线 xya 与圆 x2y24 交于 A，B 两点，且|OA OB|OA OB，其中 O 为原点，则实数 a_.解析：因为|OA OB|OA OB，则以OA，OB 为邻边的平行四边形的对角线相等，则此四边形为矩形所以 OAOB.a2.答案：23已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(1,0)和 B(3,4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D，且 CD 4 10.(1)求直线 CD 的方程；(2)求圆 P 的方程解：(1)直线 AB 的斜率 k1，AB 中点坐标为(1,2)，直线 CD 方程为 y2(x1)，即 xy30.(2)设圆心 P(a，b)，则由 P 在 CD 上得：ab30.又直径 CD 4 10，PA 2 10，(a1)2b240，由解得a3b6或a5，b2，圆心 P(3,6)或 P(5，2)圆 P 的方程为(x3)2(y6)240 或(x5)2(y2)240.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
