1、高考大题专项(四)立体几何突破1空间中的平行与空间角1.如图,多面体ABCDE的一个面ABC内接于圆O,G,H分别是AE,BC的中点,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,且DC平面ABC.(1)证明:GH平面ACD;(2)若AC=BC=BE=2,求二面角O-CE-B的余弦值.2.(2020山东烟台期末)如图,在四棱锥S-ABCD中,ABCD为直角梯形,ADBC,BCCD,平面SCD平面ABCD,SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形,BC=2AD=2CD=4,E为BS上一点,且BE=2ES.(1)证明:SD平面ACE;(2)求二面角S-AC-E的余弦值.3.已知多面体ABC-DEF,四
2、边形BCDE为矩形,ADE与BCF为边长为22的等边三角形,AB=AC=CD=DF=EF=2.(1)证明:平面ADE平面BCF.(2)求BD与平面BCF所成角的正弦值.4.如图,四边形ABCD是菱形,EA平面ABCD,EFAC,CF平面BDE,G是AB中点.(1)求证:EG平面BCF;(2)若AE=AB,BAD=60,求二面角A-BE-D的余弦值.5.(2017全国2,理19)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,BAD=ABC=90,E是PD的中点.(1)证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为4
3、5,求二面角M-AB-D的余弦值.6.(2020福建福州三模,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD平面PAD,ADBC,BAD=90,PAD=120,BC=1,AB=AD=PA=2.(1)求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值;(2)若E是棱PB的中点,求证:对于棱CD上任意一点F,EF与PD都不平行.突破2空间中的垂直与空间角1.(2020天津,17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,ACBC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点.(1)求证:C1MB1D;(2)求二面角B-B1E-
4、D的正弦值;(3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.2.(2018全国3,理19)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.3.(2020山东济南三模)已知直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,AB=AD=12BC,将直角梯形ABCD(及其内部)以AB所在直线为轴顺时针旋转90,形成如图所示的几何体,其中M为圆弧CE的中点.(1)求证:BMDF;(2)求异面直线BM与EF所成角的大小.4.(2020浙江,19)如图,在三棱台AB
5、C-DEF中,平面ACFD平面ABC,ACB=ACD=45,DC=2BC.(1)证明:EFDB;(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.5.(2020河北衡水中学调研)如图,正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直,已知BC=4,AB=AD=2.(1)求证:ACBF;(2)在线段BE上是否存在一点P,使得平面PAC平面BCEF?若存在,求出|BP|PE|的值;若不存在,请说明理由.6.(2020山东烟台模拟,19)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是等腰梯形,ADBC,AD=2,BC=4,ABC=60,PAD为等边三角形,且点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G,点E在
6、线段BC上,且CEEB=13.(1)求证:DE平面PAD.(2)求二面角A-PC-D的余弦值.参考答案高考大题专项(四)立体几何突破1空间中的平行与空间角1.(1)证明连接GO,OH,GODC,OHAC,GO平面ACD,OH平面ACD,又GO交HO于O,平面GOH平面ACD,GH平面ACD.(2)解以CB为x轴,CA为y轴,CD为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2),平面BCE的法向量m=(0,1,0),设平面OCE的法向量n=(x0,y0,z0).CE=(2,0,2),CO=(1,1,0).nCE=0,
7、nCO=0,则2x0+2z0=0,x0+y0=0,令x0=-1,n=(-1,1,1).二面角O-CE-B是锐二面角,记为,则cos=|cos|=mn|m|n|=113=33.2.(1)证明连接BD交AC于点F,连接EF,因为ADBC,所以AFDCFB,所以BFFD=BCAD=2,又BEES=BFFD=2,所以EFSD,因为EF平面ACE,SD平面ACE,所以SD平面ACE.(2)解由题知,因为平面SCD平面ABCD,平面SCD平面ABCD=CD,BC平面ABCD,BCCD,所以BC平面SCD,以C为坐标原点,CD,CB所在的方向分别为y轴,z轴的正方向,与CD,CB均垂直的方向作为x轴的正方向
8、,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,因为BC=2AD=2CD=4,BE=2ES,则C(0,0,0),S(1,1,0),A(0,2,2),E23,23,43,所以CA=(0,2,2),CS=(1,1,0),CE=23,23,43,设平面SAC的一个法向量为m=(x,y,z),则mCA=0,mCS=0,即y+z=0,x+y=0,令z=1,得x=1,y=-1,于是m=(1,-1,1),设平面EAC的一个法向量为n=(x,y,z),则nCA=0,nCE=0,即y+z=0,x+y+2z=0,令z=1,得x=-1,y=-1,于是n=(-1,-1,1),设二面角S-AC-E的平面角的大小为,则cos=
9、|mn|m|n|=13,所以二面角S-AC-E的余弦值为13.3.(1)证明取BC,DE中点分别为O,O1,连接OA,O1A,OF,O1F.由AB=AC=CD=DF=EF=2,BC=DE=CF=AE=AD=BF=22,可知ABC,DEF为等腰直角三角形,故OABC,O1FDE,CDDE,CDDF.故CD平面DEF,平面BCDE平面DEF,所以O1F平面BCDE.同理OA平面BCDE,所以O1FOA.而O1F=OA,故四边形AOFO1为平行四边形,所以AO1OF,所以AO1平面BCF.又BCDE,故DE平面BCF,而AO1DE=O1,所以平面ADE平面BCF.(2)解以O为坐标原点,以过O且平行
10、于AC的直线作为x轴,平行于AB的直线作为y轴,OO1为z轴建立空间直角坐标系如图.则有B(1,1,0),C(-1,-1,0),D(-1,-1,2),F(-1,1,2),故BD=(-2,-2,2),BC=(-2,-2,0),BF=(-2,0,2).设平面BCF的法向量为n=(x,y,z),则-2x-2y=0,-2x+2z=0,取x=1得y=-1,z=1,故平面BCF的一个法向量为n=(1,-1,1).设BD与平面BCF所成角为,则sin=|cos|=-21-2(-1)+21323=13.故BD与平面BCF所成角的正弦值为13.4.(1)证明设ACBD=O,连接OE,OF,四边形ABCD是菱形,
11、EA平面ABCD,EFAC,CF平面BDE,OECF,EF=AO=CO,OF平面ABCD,设OA=a,OB=b,AE=c,以O为原点,OA,OB,OF所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(a,0,c),Ga2,b2,0,B(0,b,0),C(-a,0,0),F(0,0,c),FB=(0,b,-c),FC=(-a,0,-c),EG=-a2,b2,-c,设平面BCF的一个法向量为n=(x,y,z),则nFB=by-cz=0,nFC=-ax-cz=0,取z=b,得n=-bca,c,b,nEG=-a2-bca+b2c+(-c)b=0,EG平面BCF,EG平面BCF.(2)解设
12、AE=AB=2,BAD=60,OB=1,OA=3.A(3,0,0),B(0,1,0),E(3,0,2),D(0,-1,0).BE=(3,-1,2),BA=(3,-1,0),BD=(0,-2,0),设平面ABE的法向量n=(x,y,z),则nBA=3x-y=0,nBE=3x-y+2z=0,取x=1,得n=(1,3,0),设平面BDE的法向量m=(x,y,z),则mBE=3x-y+2z=0,mBD=-2y=0,取x=2,得m=(2,0,-3),设二面角A-BE-D的平面角为,则cos=|mn|m|n|=247=77.二面角A-BE-D的余弦值为77.5.(1)证明取PA的中点F,连接EF,BF.因
13、为E是PD的中点,所以EFAD,EF=12AD.由BAD=ABC=90得BCAD,又BC=12AD,所以EFBC,四边形BCEF是平行四边形,CEBF,又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.(2)解由已知得BAAD,以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,|AB|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),PC=(1,0,-3),AB=(1,0,0).设M(x,y,z)(0x1),则BM=(x-1,y,z),PM=(x,y-1,z-3).因为BM与底面ABCD所成的角为45,而n=
14、(0,0,1)是底面ABCD的一个法向量,所以|cos|=sin45,|z|(x-1)2+y2+z2=22,即(x-1)2+y2-z2=0.又M在棱PC上,设PM=PC,则x=,y=1,z=3-3.由,解得x=1+22,y=1,z=-62(舍去),x=1-22,y=1,z=62,所以M1-22,1,62,从而AM=1-22,1,62.设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的一个法向量,则mAM=0,mAB=0,即(2-2)x0+2y0+6z0=0,x0=0,所以可取m=(0,-6,2).于是cos=mn|m|n|=105.因此二面角M-AB-D的余弦值为105.6.(方法1)(1)解因为ABA
15、D,平面ABCD平面PAD,平面ABCD平面PAD=AD,AB平面ABCD,所以AB平面PAD.作AHAD交PD于点H,则AB,AD,AH三条直线两两垂直.以A为坐标原点,分别以AH,AD,AB所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.因为PAD=120,BC=1,AB=AD=PA=2,所以A(0,0,0),B(0,0,2),C(0,1,2),D(0,2,0),P(3,-1,0),设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),因为BC=(0,1,0),BP=(3,-1,-2),则nBC=0,nBP=0,所以y=0,3x-y-2z=0,令x=2,所以n=(2,0,3),由题知,m=(0,
16、0,1)为平面PAD的一个法向量,所以|cos|=|nm|n|m|=371=37,则sin=1-372=277,所以PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为277.(2)证明假设棱CD上存在任意一点F,EF与PD平行.因为E是棱PB的中点,由(1)可得E32,-12,1.假设棱CD上存在点F,使得EFPD,设DF=DC,01,则ED=-32,52,-1,DC=(0,-1,2),PD=(-3,3,0),所以EF=ED+DF=-32,52,-1+(0,-1,2)=-32,52-,-1+2,因为EFPD,所以EF=tPD=t(-3,3,0),所以-32=-3t,52-=3t,-1+2=0,此方程组无解
17、,所以假设不成立,所以对于棱CD上任意一点F,EF与PD都不平行.(方法2)(1)解如图,在平面PAD内,过点P作DA的垂线,垂足为M.在平面ABCD内,过点M作AD的垂线,交CB的延长线于点N.连接PN.因为MNPM=M,所以AD平面PMN.因为ADBC,BC平面PBC,AD平面PBC,所以AD平面PBC,设平面PBC平面PAD=l,则ADl,故l平面PMN.所以NPM为平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角.因为PAD=120,AB=AD=PA=2,所以MAP=60,在RtPAM中,PM=2sin60=3.又MN=AB=2,所以在RtPMN中,PN=PM2+MN2=7.所以sinMPN=
18、MNPN=27=277,所以PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为277.(2)证明假设棱CD上存在点F,使得EFPD.连接BD,取BD的中点M.在BPD中,因为E,M分别为BP,BD的中点,所以EMPD.因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行,所以EM与EF重合.又点F在线段CD上,所以F=BDCD,又BDCD=D,所以F是BD与CD的交点D,即EF就是ED,而ED与PD相交,所以与EFPD相矛盾,故假设不成立,所以对于棱CD上任意一点F,EF与PD都不平行.突破2空间中的垂直与空间角1.解依题意,以C为原点,分别以CA,CB,CC1的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系
19、(如图),可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).(1)证明依题意,C1M=(1,1,0),B1D=(2,-2,-2),从而C1MB1D=2-2+0=0,所以C1MB1D.(2)解依题意,CA=(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量,EB1=(0,2,1),ED=(2,0,-1).设n=(x,y,z)为平面DB1E的法向量,则nEB1=0,nED=0,即2y+z=0,2x-z=0.不妨设x=1,可得n=(1,-1,2).因此有cos=CAn|CA|n|=66,于
20、是sin=306.所以,二面角B-B1E-D的正弦值为306.(3)解依题意,AB=(-2,2,0).由(2)知n=(1,-1,2)为平面DB1E的一个法向量,于是cos=ABn|AB|n|=-33.所以,直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为33.2.(1)证明由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)解以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.当
21、三棱锥M-ABC体积最大时,M为CD的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),AM=(-2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0).设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量,则nAM=0,nAB=0.即-2x+y+z=0,2y=0.可取n=(1,0,2),DA是平面MCD的法向量,因此cos=nDA|n|DA|=55,sin=255.所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是255.3.(1)证明连接CE,与BM交于点N,根据题意,该几何体为圆台的一部分,且CD与EF相交,故C,D,F,E四点共面,因为平面ADF平面
22、BCE,所以CEDF,因为M为CE的中点,所以CBM=EBM,所以N为CE中点,又BC=BE,所以BNCE,即BMCE,所以BMDF.(2)解连接DB,DN,由(1)知,DFEN,且DF=EN,所以四边形ENDF为平行四边形,所以EFDN,所以BND为异面直线BM与EF所成的角,因为BD=DN=BN=2,所以BND为等边三角形,所以BND=60,即异面直线BM与EF所成角的大小是60.4.(1)证明如图,过点D作DOAC,交直线AC于点O,连接OB.由ACD=45,DOAC,得CD=2CO,由平面ACFD平面ABC,得DO平面ABC,所以DOBC.由ACB=45,BC=12CD=22CO,得B
23、OBC.所以BC平面BDO,故BCDB.由三棱台ABC-DEF,得BCEF.所以EFDB.(2)解(方法1)过点O作OHBD,交直线BD于点H,连接CH.由三棱台ABC-DEF,得DFCO,所以直线DF与平面DBC,所成角等于直线CO与平面DBC所成角.由BC平面BDO,得OHBC,故OH平面BCD,所以OCH为直线CO与平面DBC所成角.设CD=22.由DO=OC=2,BO=BC=2,得BD=6,OH=233,所以sinOCH=OHOC=33,因此,直线DF与平面DBC所成角的正弦值为33.(方法2)由三棱台ABC-DEF,得DFCO,所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所
24、成角,记为.如图,以O为原点,分别以射线OC,OD为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.设CD=22.由题意知各点坐标如下:O(0,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),D(0,0,2).因此OC=(0,2,0),BC=(-1,1,0),CD=(0,-2,2).设平面BCD的法向量n=(x,y,z).由nBC=0,nCD=0,即-x+y=0,-2y+2z=0,可取n=(1,1,1).所以sin=|cos|=|OCn|OC|n|=33.因此,直线DF与平面DBC所成角的正弦值为33.5.(1)证明平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD,AFAD,AF平面AD
25、EF,AF平面ABCD.AC平面ABCD,AFAC.过A作AHBC于点H,则BH=1,AH=3,CH=3,AC=23,AB2+AC2=BC2,ACAB,ABAF=A,AC平面FAB,BF平面FAB,ACBF.(2)解存在.由(1)知,AF,AB,AC两两垂直.以A为坐标原点,AB,AC,AF的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,23,0),E(-1,3,2).假设在线段BE上存在一点P满足题意,则易知点P不与点B,E重合,设|BP|PE|=,则0,P2-1+,31+,21+.设平面PAC的法向量为m=(x,y,
26、z).由AP=2-1+,31+,21+,AC=(0,23,0),得mAP=2-1+x+31+y+21+z=0,mAC=23y=0,即y=0,z=-22x,令x=1,则z=-22,所以m=1,0,-22为平面PAC的一个法向量.同理,可求得n=1,33,1为平面BCEF的一个法向量.当mn=0,即=23时,平面PAC平面BCEF,故存在满足题意的点P,此时|BP|PE|=23.6.(1)证明在等腰梯形ABCD中,点E在线段BC上,且CEEB=13,点E为BC上靠近C点的四等分点.AD=2,BC=4,CE=1,DEAD.点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G,PG平面ABCD.DE平面ABCD,
27、PGDE.又ADPG=G,AD平面PAD,PG平面PAD,DE平面PAD.(2)解取BC的中点F,连接GF,以G为原点,GA所在直线为x轴,GF所在直线为y轴,GP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由(1)易知,DECB,CE=1,又ABC=DCB=60,DE=GF=3,AD=2,PAD为等边三角形,PG=3,则G(0,0,0),A(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,3),C(-2,3,0),AC=(-3,3,0),AP=(-1,0,3),DC=(-1,3,0),DP=(1,0,3).设平面APC的法向量为m=(x1,y1,z1),则mAC=0,mAP=0,即-3x1+3y1=0,-x1+3z1=0,令x1=3,则y1=3,z1=1,m=(3,3,1),设平面DPC的法向量为n=(x2,y2,z2),则nDC=0,nDP=0,即-x2+3y2=0,x2+3z2=0,令x2=3,则y2=1,z2=-1,n=(3,1,-1).设平面APC与平面DPC的夹角为.则cos=|mn|m|n|=|3+3-1|135=6513,故二面角A-PC-D的余弦值为6513.
