1、第四章三角函数、解三角形第三讲三角函数的图象与性质1.2021贵阳市四校第二次联考将函数f(x)=sin(2x-3)的图象向左平移a(a0)个单位长度得到函数g(x)=cos 2x的图象,则a的最小值为()A.3B.512C.23D.2.2021南昌市高三测试已知函数f(x)=sin(x+)(0, |0,|0)的最小正周期为,则=()A.32B.2C.1D.126.条件创新函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|2)的部分图象如图4-3-2所示,B,C分别为函数f(x)的图象与x轴、y轴的交点,|BC|=332.若函数f(x)的图象与直线y=54在(0,3)内的两个交点的坐标分别为(x1,
2、y1)和(x2,y2),则f(x1+x2)=()A.-1B.-2C.-3D.-2图4-3-27.2020惠州市二调已知直线x=3是函数f(x)=2sin(2x+)(|0,00,0,02)的最大值为3,f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为2,则f(1)+f(2)=.10.2019浙江,18,14分设函数f(x)=sin x,xR.(1)已知0,2),函数f(x+)是偶函数,求的值;(2)求函数y=f(x+12)2+f(x+4)2的值域.11.2021四省八校联考若是ABC的一个内角,且cos -13,则下列结论错误的是()A.sin-22C.cos 2-79D.
3、sin 20,|0)的图象向右平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象,且g(0)=-1,则下列说法正确的是()A.g(x)为奇函数B.g(-2)=0C.当=5时,g(x)在(0,)上有4个零点D.若g(x)在0,5上单调递增,则的最大值为6 15.2020武汉市部分学校质量监测已知函数f(x)=2sin(x+)+1(0,|0,0),对于任意的x1,x2R,都有f(x1)+f(x2)-230,若f(x)在0,上的值域为32,3,则实数的取值范围为()A.13,12B.13,23C.14,23D.14,1217.2020唐山市模拟已知函数f(x)=sin(x+4)(0),若f(x)在0,2上恰有
4、3个极值点,则的取值范围是.18.设问创新已知函数f(x)=asinx-cos x(a0,0)的最大值为2,则a=,若函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=m,mN.则当取最小整数值时,函数f(x)在(0,10)之间取得最大值的次数为.19.2020武汉市六月模拟关于函数f(x)=|cos(2x-3)|-|sin(2x-3)|,有下列三个结论:2是函数f(x)的周期;函数f(x)在x0,时的所有零点和为1312;函数f(x)的值域为-1,1.其中所有正确结论的编号是.20.2021江苏省部分学校调考在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量m=(2sin(x-A),sin A),
5、n=(cos x,1),f(x)=mn,且对任意xR,都有f(x)f(512).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若a=23,sin B+sinC=62,求ABC的面积.21.2020合肥市三检已知函数f(x)=cos x(sin x+3cos x)(0).(1)求函数f(x)的值域;(2)若方程f(x)=32在区间0,上恰有两个实数解,求的取值范围.22.已知x1=3,x2=56是函数f(x)=sin(x+)(0,00,-120)的函数关系式,并求当t(0,2时,y的取值范围.图4-3-4答 案第四章三角函数、解三角形第三讲三角函数的图象与性质1.B将函数f(x)=sin(2x-3)的图
6、象向左平移a(a0)个单位长度,可得函数y=sin2(x+a)-3=sin2x+(2a-3)的图象,所以y=sin2x+(2a-3)的图象与g(x)=cos 2x的图象重合.因为g(x)=cos 2x=sin(2x+2),所以2a-3=2k+2,kZ,即a=k+512,kZ,当k=0时,可得amin=512,故选B.2.C由于f(2)=f(23),所以直线x=2+232=712是函数f(x)图象的对称轴.设f(x)的最小正周期为T,由图可知34T=712-(-6)=34,所以T=,=2T=2,故f(x)=sin(2x+).由于f(-6)=sin(-62+)=sin(-3)=0,且|2,所以=3
7、.故选C.【易错警示】本题容易误以为f()=1导致结果错误,事实上f()1.3.B由最小正周期T=2=,可得=2,f(x)的图象向左平移6个单位长度后为偶函数y=2sin(2x+3+)的图象,故3+=k+2,kZ,=k+6,kZ.|0),f(x)的最小正周期T=22=,=1.6.B由题中图象可知A=2,且BOC为直角三角形,所以|OC|=(332)2-(52)2=2,则f(0)=-2,则sin =-22,又|2,所以=-4,所以f(x)=2sin(x-4).又点B(52,0)为“五点作图法”中的第三个点,所以52-4=,所以=2,于是f(x)=2sin(2x-4).由2x-4=k+2(kZ),
8、得x=2k+32(kZ),所以函数y=f(x)的图象在(0,3)内的对称轴为直线x=32,则由题意知x1+x2=3,所以f(x1+x2)=f(3)=2sin(32-4)=-2cos4=-2,故选B.7.D由题意可得23+=k+2(kZ),所以=k-6(kZ),又|2,所以=-6,故选项A错误;函数的解析式为f(x)=2sin(2x-6),若x0,2,则2x-6-6,56,此时函数不具有单调性,故选项B错误;把f(x)的图象向左平移6个单位长度可得到y=2sin2(x+6)-6=2sin(2x+6)的图象,故选项C错误;把f(x)的图象向左平移12个单位长度可得到y=2sin2(x+12)-6=
9、2sin 2x的图象,故选项D正确.8.(-76,0)(答案不唯一)由已知得SMBC=122BC=BC=,所以最小正周期T=2=2,=1.由f(0)=2sin =1,得sin =12.因为00)的最大值为3,可得A=2,则f(x)=2cos2(x+)+1=cos(2x+2)+2,其图象与y轴的交点为(0,2),则f(0)=cos 2+2=2,即cos 2=0,又02,所以=4.又其相邻两条对称轴间的距离为2,故函数f(x)的最小正周期T=4,即22=4,所以=4,f(x)=cos(2x+2)+2=-sin(2x)+2,则f(1)+f(2)=1+2=3.10.(1)因为f(x+)=sin(x+)
10、是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+)=sin(-x+),即sin xcos+cosxsin=-sin xcos+cosxsin,故2sin xcos=0,所以cos =0.又0,2),因此=2或32.(2)y=f(x+12)2+f(x+4)2=sin2(x+12)+sin2(x+4)=1-cos(2x+6)2+1-cos(2x+2)2=1-12(32cos 2x-32sin 2x)=1-32cos(2x+3).因此,函数的值域是1-32,1+32.11.D因为是ABC的一个内角,且cos -13,所以2.设cos =-13(2),则sin =223,tan =sincos=-22.因
11、为函数y=cos x在(2,)上单调递减,所以由cos -13=cos ,得2.对于A,因为函数y=sin x在(2,)上单调递减,所以sin sin ,即sin tan ,即tan -22,故B正确;对于C,因为cos 19,所以cos 2=2cos2-1219-1=-79,故C正确;对于D,sin 2=2sin cos,当cos =-223时,sin =13,sin 2=213(-223)=-429,故D不正确.综上,选D.12.D解法一由题意可知h(x)=2sin(2x+3),所以-2h(x)2,因为h(x1)h(x2)=-4,所以h(x1)=2,h(x2)=-2或h(x1)=-2,h(
12、x2)=2.当h(x1)=2,h(x2)=-2时,2x1+3=2k1+2(k1Z),即x1=k1+12(k1Z),2x2+3=2k2-2(k2Z),即x2=k2-512(k2Z),因为x1,x2-,所以x1=-1112或x1=12,x2=-512或x2=712,所以当x1=-1112,x2=712时,|x1-x2|取得最大值,最大值是32.同理,当h(x1)=-2,h(x2)=2时,|x1-x2|的最大值也是32.故选D.解法二由题意可知h(x)=2sin(2x+3),所以-2h(x)2,因为h(x1)h(x2)=-4,所以h(x1)=2,h(x2)=-2或h(x1)=-2,h(x2)=2.因
13、为函数h(x)的最小正周期T=,当x-,时,h(x)有两个周期,即出现两次最大值和最小值,所以|x1-x2|的最大值为32T=32.故选D.13.C解法一因为函数f(x)=sin(x+)图象的相邻两条对称轴之间的距离为2,所以最小正周期T=,=2T=2,所以f(x)=sin(2x+),f(x+12)=sin2(x+12)+=sin(2x+6+),因为f(x+12)是偶函数,所以6+=2+k,kZ,故=k+3,kZ,又|2,所以=3,所以f(x)=sin(2x+3).函数f(x)的最小正周期为,故选项A错误;因为f(712)=sin32=-1,选项B错误;因为当34x时,1162x+373,所以
14、f(x)=sin(2x+3)在34,上单调递增,选项C正确;因为f(-712)=sin(-56)=-12,所以选项D错误.故选C.解法二因为函数f(x)=sin(x+)图象的相邻两条对称轴之间的距离为2,所以最小正周期T=,故选项A错误;因为f(x+12)是偶函数,所以f(x+12)=f(-x+12),即直线x=12是函数f(x)图象的对称轴,而712-12=2,所以直线x=712是函数f(x)图象的对称轴,故选项B错误;12-(-712)=23,所以直线x=-712不是函数f(x)图象的对称轴,所以选项D错误.故选C.14.B由题意得f(x)=cos(x-2)=sin x,则g(x)=sin
15、 (x-2),g(0)=sin(-2)=-1,即sin2=1,cos2=0.对于A项,g(x)=sin(x-2)=sin xcos2-cos xsin2=-cos x,又g(x)的定义域为R,故g(x)为偶函数,A错误.对于B项,g(-2)=-cos2=0,B正确.对于C项,当=5时,g(x)=-cos 5x,由5x=2+k,kZ,得x=10+k5,kZ,因为x(0,),所以x可以取10,310,2,710,910,即当=5时,g(x)在(0,)上有5个零点,C错误;对于D项,由2kx2k+,kZ,得2kx2k+,kZ,则函数g(x)在区间2k,2k+(kZ)上单调递增,因为g(x)在0,5上
16、单调递增,所以5,解得05,即的最大值为5,故D不正确.故选B.15.A因为f(x)-1,3,所以(3,1)为函数的一个对称中心,x=4为其一条对称轴,要使最小,则周期最大,此时(3,1)与x=4为相邻对称轴与对称中心,所以3-4=14T=142,所以=6,f(4)=2sin(64+)+1=2sin(32+)+1=-1,因为|0,t4,2+4,又f(x)在0,2上恰有3个极值点,结合y=sin t的图象得522+472,解得98138.【易错警示】本题容易出现的错误解答:结合正弦函数y=sin t的图象得522+472,解得9810.从而f(x)在(0,10)之间有3次取得最大值.19.因为函
17、数y=|cos(2x-3)|和y=|sin(2x-3)|的最小正周期均为2,所以2是函数f(x)=|cos(2x-3)|-|sin(2x-3)|的一个周期,所以正确;令f(x)=|cos(2x-3)|-|sin(2x-3)|=0,即|cos(2x-3)|=|sin(2x-3)|,|sin(2x-3)|cos(2x-3)|=|sin(2x-3)cos(2x-3)|=1,即|tan(2x-3)|=1,去绝对值符号得tan(2x-3)=1或tan(2x-3)=-1,所以2x-3=4+k或2x-3=-4+k,kZ,即x=724+k2或x=124+k2,kZ,又x0,所以x1=724,x2=1924,x
18、3=24,x4=1324,所以所有零点和为53,所以错误;令2x-3=t,则函数f(x)=|cos(2x-3)|-|sin(2x-3)|的值域转化为函数g(t)=|cos t|-|sin t|的值域,且函数g(t)的周期为,因此考虑t0,即可,所以g(t)=|cos t|-|sin t|=cost-sint,0t2,-cost-sint,20,32x+32+3,由正弦函数的图象可知,要使f(x)=32在区间0,上恰有两个实数解,必须22+33,解得5643.22.C设函数f(x)的最小正周期为T,由题意可得T2=56-3,则T=,所以2=,所以=2,则f(x)=sin(2x+).令x=3,则23+=k,kZ,即=k-23,kZ,又02,所以=3,所以f(x)=sin(2x+3).因为函数g(x)=|f(x)-12|在-4,m上的最大值为1,且当x-4,m时,-62x+32m+3,所以-62m+376,所以-4m512.23.或(写出一个即可)根据f(x)的最小正周期为,可得=2,函数f(x)=sin(2x+).再由函数f(x)的图象关于直线x=12对称,可得212+=2+k,kZ,=3+k,又-120), 当t(0,2时,2t+3(3,43,所以cos(2t+3)-1,12),故当t(0,2时,y-3,32).
