1、变量分离技巧的应用分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端各含同一个变量，这是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一范围未知.结论1 不等式f(x)g(a)恒成立f(x)ming(a)(求解f(x)的最小值)；不等式f(x)g(a)恒成立f(x)maxg(a)(求解f(x)的最大值).结论2 不等式f(x)g(a)存在解f(x)maxg(a)(求解f(x)的最大值)；不等式f(x)g(a)存在解f(x)ming(a)(求解f(x)的最小
2、值).结论3 方程f(x)g(a)有解g(a)的范围与f(x)的值域有交集(求解f(x)的值域).解决问题时需要注意：(1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；(2)确定是求最大值、最小值，还是值域.知识拓展题型一 不等式恒成立求参数 题型突破【例1】已知函数f(x)axln(x1)a1(x1，aR).若函数f(x)在x0处取到极值，且对任意x(1，)，f(x)mxm2恒成立，求实数m的取值范围.解 f(x)a 1x1，f(0)a10，a1，f(x)xln(x1)，f(x)xln(x1)m(x1)2，mx2ln（x1）x1(x1).令 x1n，n0，mnln n1n1ln nn 1n，
3、设 g(n)1ln nn 1n，n0，则 g(n)ln n2n2；当n(0，e2)时，g(n)0，g(n)单调递增，则 g(n)ming(e2)11e2，m 的取值范围为，11e2.【训练 1】(1)已知函数 f(x)x2ax1，x(0，1，且|f(x)|3 恒成立，则 a 的取值范围是_.(2)(2019天津卷)已知 aR，设函数 f(x)x22ax2a，x1，xaln x，x1.若关于 x 的不等式 f(x)0 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为()A.0，1 B.0，2 C.0，e D.1，e解析(1)由题意|x2ax1|3，即3x2ax13，所以4x2ax2x2，又 x(0，1，即
4、4xxa2xx，得4xx maxa2xx min，g(x)4xx 在(0，1上单调递增，所以 g(x)maxg(1)5.h(x)2xx 在(0，1上单调递减，所以 h(x)minh(1)1.所以5a1，即 a 的取值范围是5，1.(2)当 x1 时，由 f(x)x22ax2a0 恒成立，而二次函数 f(x)图象的对称轴为直线 xa，所以当 a1 时，f(x)minf(1)10 恒成立，当 a1 时，f(x)minf(a)2aa20，0a1 时，由 f(x)xaln x0 恒成立，即 a xln x恒成立.设 g(x)xln x(x1)，则 g(x)ln x1（ln x）2.令 g(x)0，得
5、xe，且当 1xe 时，g(x)e 时，g(x)0，g(x)ming(e)e，ae.综上，a 的取值范围是 0ae.故选 C.答案(1)5，1(2)C 题型二 不等式有解求参数【例 2】(1)已知函数 f(x)13x3a2x22x1 在区间(2，1)内存在单调递减区间，则实数 a 的取值范围是_.(2)(2019浙江卷)已知 aR，函数 f(x)ax3x.若存在 tR，使得|f(t2)f(t)|23，则实数 a 的最大值是_.解析(1)f(x)x2ax2，依题意，存在 x(2，1)，使不等式 f(x)x2ax20 成立，即 x(2，1)时，ax2x max2 2，当且仅当 x2x即 x 2时等
6、号成立.所以满足要求的实数 a 的取值范围是(，2 2).(2)由题意得 f(t2)f(t)a(t2)3(t2)(at3t)a(t2)3t32a(t2t)(t2)2(t2)tt222a(3t26t4)22a3(t1)212.由|f(t2)f(t)|23，得|2a3(t1)212|23，即232a3(t1)21223，23a3(t1)2143，2313（t1）21a4313（t1）21.设 g(t)4313（t1）21，则当 t1 时，g(t)max43.当 t1 时，a 取得最大值43.答案(1)(，2 2)(2)43【训练 2】已知函数 f(x)ln x12ax22x 存在单调递减区间，求实
7、数 a 的取值范围.解 f(x)ln x12ax22x，x(0，)，所以 f(x)1xax2，由 f(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当 x(0，)时，1xax21x22x有解.设 h(x)1x22x，所以只要 ah(x)min 即可.而 h(x)1x1 21，所以 h(x)min1.所以 a1，即实数 a 的取值范围为(1，).题型三 含参数的方程有解问题【例3】已知函数f(x)x(ln xax)有极值点，则实数a的范围为_.解析 由题意 f(x)ln x2ax10 在(0，)上有解，aln x12x，x(0，)，令 g(x)ln x12x，x(0，)，g(x)2ln x4x2，当 x
8、(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递增；当 x(1，)时，g(x)0，g(x)单调递减；g(x)最大g(x)极大g(1)12，故实数a 的范围为，12.答案，12【训练3】已知f(x)x3(k1)x2(k5)x1在区间(0，3)上不单调，求k的取值范围.解 f(x)3x22(k1)x(k5)，因为f(x)在区间(0，3)上不单调，所以f(x)在(0，3)上有极值点，由 f(x)0 得 k(2x1)(3x22x5)，所以 k3x22x52x134（2x1）92x1103，令 t2x1，有 t(1，7)，记 h(t)t9t，则h(t)在(1，3上单调递减，在3，7)上单调递增，所以有h(t)6，10)，得k(5，2，而当k2时有f(x)0在(0，3)上有两个相等的实根x1，故舍去，所以k(5，2).
