1、课时规范练17定积分与微积分基本定理基础巩固组1.给出如下命题:ab-1dx=abdt=b-a(a,b为常数,且a0).其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.32.-24-12x2+x+4dx=()A.16B.18C.20D.223.(2020四川成都模拟)02(3x2+k)dx=10,则实数k=()A.1B.2C.3D.44.如果1 N的力能拉长弹簧1 cm,为了将弹簧拉长6 cm,所耗费的功为()A.0.18 JB.0.26 JC.0.12 JD.0.28 J5.(2020江西临川一中测试)设f(x)=1-x2,x-1,1),x2-1,x1,2,则-12f(x)dx的值为()A.2
2、+43B.2+3C.4+43D.4+36.如图,在边长为2的正方形ABCD中,M是AB的中点,则过C,M,D三点的抛物线与CD围成的阴影部分的面积是()A.23B.43C.52D.837.(2020广东汕头模拟)已知函数f(x)=x+1(-1x0),1-x2(00,b0,e为自然对数的底数,若a2+b=e1e-xxdx,则2a+1+1b的最小值是.10.已知函数f(x)=x3-x2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x2围成的图形的面积.综合提升组11.(2020安徽皖东名校联盟)二次函数f(x)=x2-nx+m(n,mR)的图像如图所示,则定积分01f(x)dx=()A.23
3、 B.56C.2D.312.已知3a=5b=c,且1a+1b=2,则0c(x2-1)dx=()A.22B.22C.15D.41513.若n=026cos xdx,则1x-2x2x+3xn的展开式中,含x2项的系数为.14.在曲线y=x2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为112.试求:切点A的坐标和过切点A的切线方程.创新应用组15.(2020湖北武汉模拟)考虑函数y=ex与函数y=ln x的图像关系,计算1e2ln xdx=.16.在数学实践活动课中,某同学在如图1所示的边长为4的正方形模板中,利用尺规作出其中的实线图案,其步骤如下:(1)取正方形中心O及四边中点
4、M,N,S,T;(2)取线段MN靠近中心O的两个八等分点A,B;(3)过点B作MN的垂线l;(4)在直线l(位于正方形区域内)上任取点C,过C作l的垂线l1;(5)作线段AC的垂直平分线l2;(6)标记l1与l2的交点P,如图2所示;不断重复步骤(4)至(6)直到形成图1中的弧线().类似方法作出图1中的其他弧线,则图1中实线围成区域面积为.17.过点(-1,0)的直线l与曲线y=x相切,则曲线y=x与l及x轴所围成的封闭图形的面积为.参考答案课时规范练17定积分与微积分基本定理1.B由于ab-1dx=a-b,abdt=b-a,所以错误;由定积分的几何意义知,-101-x2dx和011-x2d
5、x都表示半径为1的圆面积的14,所以都等于4,所以正确;只有当函数f(x)为偶函数时,才有-aaf(x)dx=20af(x)dx,所以错误,故选B.2.B-24-12x2+x+4dx=-16x3+12x2+4x-24=18.3.A02(3x2+k)dx=(x3+kx)02=23+2k.由题意,得8+2k=10,解得k=1.4.A由物理知识F=kx知,1=0.01k,所以k=100N/m,则W=00.06100xdx=50x2|00.06=0.18(J).故选A.5.A-12f(x)dx=-111-x2dx+12(x2-1)dx=1212+13x3-x12=2+43.故选A.6.D由题意,建立如
6、图所示的坐标系,则D(2,1).设抛物线方程为y2=2px(p0),将D(2,1)代入,可得p=14,y=12x,S=20212xdx=223x3202=83,故选D.7.B-11f(x)dx=-10(x+1)dx+011-x2dx=12x2+x-10+4=12+4,故选B.8.B因为k=0(sinx-cosx)dx=0sinxdx-0cosxdx=-cosx|0-sinx|0=2,所以(1-kx)8=(1-2x)8=a0+a1x+a2x2+a8x8.令x=1,得a0+a1+a2+a8=(1-2)8=1,令x=0,得a0=1,所以a1+a2+a8=(a0+a1+a2+a8)-a0=1-1=0.
7、故选B.9.83e1e-xxdx=e1ex-1dx=(elnx-x)|e1=1,a2+b=1,2a+1+1b=231a2+12+1ba2+b+1223(1+1+2)=83,当且仅当a=12,b=34时等号成立.10.解因为(1,2)为曲线f(x)=x3-x2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f(1)=(3x2-2x+1)|x=1=2,所以在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x,其与函数g(x)=x2围成的图形如图.由y=x2,y=2x可得交点A(2,4).所以y=2x与函数g(x)=x2围成的图形的面积S=02(2x-x2)dx=x2-13x302
8、=4-83=43.11.B由图像可知,n=3,m=2.01f(x)dx=01(x2-3x+2)dx=13x3-32x2+2x01=56.12.D因为3a=5b=c,所以a=log3c,b=log5c,则1a=logc3,1b=logc5,因为1a+1b=2,所以logc15=2,即c2=15,c=15,0c(x2-1)dx=13x3-x015=415.13.-2 295若n=026cos xdx=6sin x02=6,则1x-2x2x+3xn=1x-2x2x+3x6=1x-2x2x6+18x92+135x3+160x32+1215+4374x-32+729x-3,展开式中,含x2项的系数为13
9、5-21215=-2295.14.解如图,设切点A(x0,y0),由y=2x,得过A点的切线方程为y-y0=2x0(x-x0),即y=2x0x-x02,令y=0,得x=x02,即Cx02,0.设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S,则S=S曲边AOB-SABC.S曲边AOB=0x0x2dx=13x30x0=13x03,SABC=12|BC|AB|=12x0-x02x02=14x03,即S=13x03-14x03=112x03=112,所以x0=1.从而切点为A(1,1),切线方程为y=2x-1.15.e2+1如图所示,函数y=lnx与函数y=ex的图像关于直线y=x对称,结合图像可知,图中两个阴影部分区域的面积相等,所以1e2ln xdx=02(e2-ex)dx=(e2x-ex)|02=e2+1.16.163由作法可知,弧()为抛物线y2=2x(0y2)的弧,则实线围成的区域面积为S=4022x12-12x2dx=4232x32-16x302=163.17.13因为y=x的导数为y=12x,设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为12x0=x0x0+1,解得x0=1,即切线的斜率为12,所以直线l的方程为y=12(x+1),所以所围成的封闭图形的面积为0112(x+1)-xdx+12112=14x2+12x-23x3201+14=13.
