1、【学生版】微专题：对勾函数的性质与图像1、对勾函数的定义与表示对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数； 当时，对勾函数是正比例函数与反比例函数，通过“函数的和的运算”合成的函数；（1）当同号时, 对勾函数的图像，形状酷似双勾；故称“对勾函数”，如下图所示： （2）当异号时，对勾函数的图像，形状发生了变化；如下图所示： 2、对勾函数的性质研究以一般式：(、)为例；（1）定义域： （2）值 域： （3）奇偶性：（4）单调性：（5）渐近线：【拓展】对于对勾函数（）的单调性判断与证明； 当时，说明
2、：； 当时说明：；当时当时3、对勾函数的图像特征对勾函数，当时, 对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数. 【拓展】对勾函数顶点与最值相关对勾函数，对勾函数，4、对勾函数的初步应用1、若函数，则下列结论正确的是（ ）A函数的最小值为4B函数在上严格单调递减，在上严格单调递增C函数的最大值为4D函数在上严格单调递增，在上严格单调递减【提示】；【答案】；【解析】；【说明】；2、已知函数，其中、为常数，且，；（1）求、的值；（2）利用单调性的定义证明函数在区间上是减函数；（3）求函数在区间上的最大值和最小值；【提示】；【答案】；【解析】【说明】利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设
3、、是所给区间上的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：判断，根据定义得出结论；即取值作差变形定号下结论；体验教材研究函数单调性的方法与证明； 综上，理解对勾函数的构成，及单调性，单调区间，形成结论；注意利用定义法加以证明。要注意对勾函数的定义域，一般地，对勾函数在整个定义域内没有最值，但在局部有最值；要结合图像，理解与记忆对勾函数的各种性质，单调性，对称性，奇偶性等。【教师版】微专题：对勾函数的性质与图像1、对勾函数的定义与表示对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函
4、数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数； 当时，对勾函数是正比例函数与反比例函数，通过“函数的和的运算”合成的函数；（1）当同号时, 对勾函数的图像，形状酷似双勾；故称“对勾函数”，如下图所示： （2）当异号时，对勾函数的图像，形状发生了变化；如下图所示： 2、对勾函数的性质研究以一般式：(、)为例；（1）定义域：；（2）值 域：；当且仅当，即时取到端点值。（3）奇偶性：在其定义域上是奇函数；（4）单调性：在上严格单调递减，在上严格单调递减，在上严格单调递增，在上严格单调递增；当且仅当，即时取到最大、最小值。（5）渐近线：；【注解】当时，当时，说明函
5、数的的图象在第一、第三象限当时，说明函数在第一象限的图象在直线的上方，当时，说明函数在第三象限的图象在直线的下方所以，“对勾函数”就是以轴和直线为渐近线的双曲线；【拓展】对于对勾函数（）的单调性判断与证明；当时，（1）当时，；当且仅当，即（因为，故舍掉）取等号；将分为两部分：，；（）当，则，因为，所以，对于，因为，则，故，所以对于，即，时，严格单调递减； （）当，因为，所以，对于，因为，则，故，所以对于，即，时，严格单调递增；（2）当时，当且仅当，即（因为，故舍掉）取等号；将分为两部分：，（）当时，则因为，所以对于,因为，则，故所以对于即，时，严格单调递减；（）当因为，所以（注意为什么这样变换
6、）对于,因为，则，故即所以对于即，时，严格单调递增；说明：由于在定义域内为奇函数，故在上的对应区间里单调性相同。故在的时候，也可根据奇函数的这一性质进行证明。当时（1）当时，。当且仅当，即（因为，故舍掉）取等号。将分为两部分：，（）当，则因为，所以因为：（在时则不用考虑的取值对的影响）所以：,因为，则，故即，（不要忘了）所以对于即，时，单调递增。（）当因为，所以因为：所以：,因为，则，故即所以对于即，时，单调递减。（2）当时 ，当且仅当，即（因为，故舍掉）取等号。将分为两部分：，（）当时则因为，所以因为，所以因为，则，故即所以对于即，时，单调递减。（）当因为，所以因为，所以又因为，则，故即所以
7、对于即，时，单调递减。说明：由于在定义域内为奇函数，故在上的对应区间里单调性相同。故在的时候，也可根据奇函数的这一性质进行证明。当时设，则，其定义域为函数，在上分别严格单调递增；在上分别严格单调递增；故在为严格单调递增函数；在为严格单调递增函数。当时函数，在上分别严格单调递减；在上分别严格单调递减；故在为单调递减函数；在为单调递减函数。3、对勾函数的图像特征对勾函数，当时, 对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数. （1）当同号时, 对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示： （2）当异号时, 对勾函数的图像形状发生了变化，如下图所示： 【拓展】对勾函数顶点与最值相
8、关对勾函数，当；当且仅当时，“”成立；当，当且仅当时，“”成立；顶点坐标,；对勾函数，当且仅当时，“”成立；当，顶点坐标,；图像如图所示： 4、对勾函数的初步应用1、若函数，则下列结论正确的是（ ）A函数的最小值为4B函数在上严格单调递减，在上严格单调递增C函数的最大值为4D函数在上严格单调递增，在上严格单调递减【提示】只要依据对勾函数，取，；【答案】B；【解析】由于，对勾函数在定义域上，既没有最小值，也没有最大值，所以，A、C选项是错的；又因为，且，所以，选项B是正确的；【说明】本题是对勾函数性质的直接应用；注意：本题中，当限定取值范围时，如x0时，函数有最小值4。2、已知函数，其中、为常数
9、，且，；（1）求、的值；（2）利用单调性的定义证明函数在区间上是减函数；（3）求函数在区间上的最大值和最小值；【提示】（1）由，可建立有关、的方程组，即可解出这两个未知数的值；（2）任取、且，作差，因式分解并判断的符号，由此可证得结论成立；（3）利用定义证明出函数在区间上为增函数，再结合（2）中的结论可得出函数在区间上的最大值和最小值；【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）最大值，最小值【解析】（1）因为，所以，解得：，；（2），任取、且，即，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以函数在区间上是严格减函数；（3）设，由（2）知：，因为，所以，所以，所以，所以，所以函数在区间上是严格增函数，由（2）知：在区间上是严格增函数，所以，因为，所以；【说明】利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：判断，根据定义得出结论；即取值作差变形定号下结论；体验教材研究函数单调性的方法与证明； 综上，理解对勾函数的构成，及单调性，单调区间，形成结论；注意利用定义法加以证明。要注意对勾函数的定义域，一般地，对勾函数在整个定义域内没有最值，但在局部有最值；要结合图像，理解与记忆对勾函数的各种性质，单调性，对称性，奇偶性等。
