1、第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.理解直线的方向向量，了解直线的向量方程(重点).2.会用向量方法证明线线、线面、面面平行(难点、易混点).3.会用向量证明两条直线垂直，求两条直线所成的角(难点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1用向量表示直线或点在直线上的位置用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线 l 上给定一个定点 A 和它的一个方向向量 a，对于直线 l 上的任意一点 P，则有AP或O
2、P 或OP(ABa)，上面三个向量等式都叫做空间直线的向量 a 称为该直线的方向向量(2)线段 AB 的中点 M 的向量表达式OM 12(OA OB)(1t)OA tOB向量参数方程OA tata课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1l2或 l1 与 l2 重合.(2)已知两个不共线向量 v1，v2 与平面 共面，一条直线 l 的一个方向向量为 v，则由共面向量定理，可得 l 或 l 在 内存在两个实数 x，y，使.(3)已知两个不共线
3、向量 v1，v2 与平面 共面，则由两平面平行的判定与性质，得 或 与 重合.v1 且 v2v1v2vxv1yv2课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为，v1 和 v2 分别是 l1 和 l2 的方向向量，则 l1l2，cos.|cosv1，v2|v1v2课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1思考辨析(1)直线 l 的方向向量是唯一的()(2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反()(3)若向量 a 是直线 l 的一个方向向量，则向量 ka 也是直线 l 的一个
4、方向向量()课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页提示(1)与直线 l 平行或共线的任何向量都可作为 l 的方向向量(2)(3)k0.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2若 A(1,0，1)，B(2,1,2)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量是()【导学号：33242274】A(2,2,6)B(1,1,3)C(3，l,1)D(3,0,1)B AB(2,1,2)(1,0，1)(1,1,3)，故选 B.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3直线 l1 与 l2 不重合，直线 l1 的方向向量为 v1(1,1,2)，直线
5、 l2 的方向向量 v2(2,0,1)，则直线 l1 与 l2 的位置关系是_垂直 因为 v1v2(1,1,2)(2,0,1)220，所以 v1v2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难空间中点的位置确定 已知 O 是坐标原点，A、B、C 三点的坐标分别为 A(3,4,0)、B(2,5,5)、C(0,3,5)(1)若OP 12(ABAC)，求 P 点的坐标；(2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 APPB12，求 P 点的坐标.【导学号：33242275】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究(1)由条件先求出AB
6、，AC的坐标，再利用向量的运算求 P 点的坐标(2)先把条件 APPB12 转化为向量关系，再运算课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)AB(1,1,5)，AC(3，1,5)OP 12(ABAC)12(2,2,0)(1,1,0)P 点的坐标为(1,1,0)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)由 P 是线段 AB 上的一点，且 APPB12，知AP12PB.设点 P 的坐标为(x，y，z)，则AP(x3，y4，z)，PB(2x,5y,5z)，故(x3，y4，z)12(2x,5y,5z)，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻
7、重难返首页即 x3122xy4125y，z125z得 x83y133.z53因此 P 点的坐标为83，133，53.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组求解即可.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1已知点 A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图 3-2-1，以AB的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P，Q 为轴上的两点，且分别满足条件：图 3-2-1(1)APPB12；(2)AQQB21.求点 P 和点 Q 的坐标课
8、时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)由已知，得PB2AP，即OB OP 2(OP OA)，OP 23OA 13OB.设点 P 坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)23(2,4,0)13(1,3,3)，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页即 x431353，y8333113，z011.因此，P 点的坐标是53，113，1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)因为 AQQB21，所以AQ 2QB，OQ OA 2(OB OQ)，OQ OA 2OB，设点 Q 的坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标
9、表示，得(x，y，z)(2,4,0)2(1,3,3)(0,2,6)，即 x0，y2，z6.因此，Q 点的坐标是(0,2,6).课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页利用向量法求异面直线的夹角(1)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BCA90，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BCCACC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为()【导学号：33242276】A.110 B25 C.3010 D 22课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)如图 3-2-2 所示，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点
10、M 在线段 PQ 上，E，F 分别为 AB，BC 的中点，设异面直线 EM 与 AF 所成的角为，则 cos 的最大值为_图 3-2-2课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究(1)建立空间直角坐标系，表示出BM，AN的坐标，利用向量法求解；(2)以A 为原点，建立空间直角坐标系，设出正方形的边长，表示出向量AF，EM 的坐标，建立函数关系式讨论最值课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解析(1)以 C1 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页设 BCCACC12，则 A(2,0,
11、2)，N(1,0,0)，M(1,1,0)，B(0,2,2)，AN(1,0，2)，BM(1，1，2)，cosAN，BM ANBM|AN|BM|145 6 330 3010.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)以 AB，AD，AQ 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，设正方形边长为 2，M(0，y,2)(0y2)，则 A(0,0,0)，E(1,0,0)，F(2,1,0)，EM(1，y,2)，|EM|y25，AF(2,1,0)，|AF|5，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页cos|EM AF|EM|AF
12、|y2|5 y252y5 y25.令 t2y，要使 cos 最大，显然 0t2.cos 15t94tt2 1513t23259 1513223259 15 2525.当且仅当 t2，即点 M 与点 Q 重合时，cos 取得最大值25.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页答案(1)C(2)25课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 利用向量求异面直线所成角的步骤为：(1)确定空间两条直线的方向向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的
13、补角.提醒：两异面直线夹角范围为0，2，时刻注意两异面直线夹角的范围是解题的关键.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2如图 3-2-3 所示，已知正四棱锥 P-ABCD 底面边长为 a，高 PO 的长也为 a，E，F 分别是 PD，PA 的中点，求异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值图 3-2-3课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 如图，以 O 为原点，过 O 点平行于 AB、BC 的直线为 x 轴、y 轴，PO 为 z 轴建立空间直角坐标系由已知得课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页Aa2，a2，0，B
14、a2，a2，0，Ea4，a4，a2，Fa4，a4，a2，所以AEa4，3a4，a2，BF3a4，a4，a2，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页所以 cosAE，BF AEBF|AE|BF|3a216 3a216 a24a2169a216 a24 9a216 a216a2427.所以异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为27.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页利用空间向量处理平行问题 探究问题1直线的方向向量在确定直线时起到什么作用？提示(1)非零性：直线的方向向量是非零向量(2)不唯一性：直线 l 的方向向量有无数多个，可以分为方向相同和
15、相反两类，它们都是共线向量.(3)给定空间中的任一点 A 和非零向量 a，就可以确定唯一一条过点 A 且平行于向量 a 的直线课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2两条平行直线的方向向量有什么关系？提示 设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，则 lmabab.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(1)已知直线 l平面 ABC，且 l 的一个方向向量为 a(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数 m 的值是_图 3-2-4(2)如 图3-2-4所 示，已 知 正 方 体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2
16、，E，F 分别是 BB1，DD1 的中点，求证：FC1平面 ADE.【导学号：33242277】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解析(1)AB(1,0，1)，AC(0,1，1)因为 l平面 ABC，所以存在实数，使 aABAC即(2，m,1)(1,0，1)(0,1，1)2，m，1，解得 m3.答案 3课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)证明 如图所示，建立空间直角坐标系 D-xyz，则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合
17、作探究攻重难返首页所以FC1(0,2,1)，DA(2,0,0)，AE(0,2,1)，因为 DA平面 ADE，AE平面 ADE，且(0,2,1)0(2,0,0)1(0,2,1)，即FC1 0DA 1AE，所以有 FC1平面 ADE 或 FC1平面 ADE，又因为 FC1平面 ADE，所以 FC1平面 ADE.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页母题探究：1.(改变问法)本例 3 中若 G，H 分别为 AD，B1C1 的中点试求证 EGFH.证明 如图所示，建立空间直角坐标系则 E(2,2,1)，G(1,0,0)，F(0,0,1)，H(1,2,2)所以EG(1，2，1)，F
18、H(1,2,1)所以FH EG，所以FH EG.显然 EG 与 FH 不重合，故 EGFH.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2(改变问法)本例 3 条件不变，改为求平面 ADE平面 B1C1F.证明 如图所示，建立空间直角坐标系，则 A(2,0,0)，D(0,0,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，得DE(2,2,1)，FB1(2,2,1)，DA(2,0,0)，B1C1(2,0,0)，所以DE FB1，DA B1C1，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页又相互不共面，所以 DEFB1，DAB1C1
19、，又 DADED，FB1B1C1B1，所以平面 ADE平面 B1C1F.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法(1)证两条直线平行可转化为证明两直线的方向向量平行.(2)用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内.(3)利用向量证明面面平行，可转化为证明线面平行.提醒：利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固
20、双 基1直线 l1，l2 的方向向量分别为 v1(3,0,1)，v2(1,0，m)，若 l1l2，则 m 等于()A1 B3 C.13 D13D 因为 l1l2.所以存在实数，使 v1v2即(3,0,1)(1,0，m)，3m1解得 m13.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2若 A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为 ()【导学号：33242278】A(1,2,3)B(1,3,2)C(2,1,3)D(3,2,1)A AB(1,4,7)(1,0,1)(2,4,6)2(1,2,3)，故选 A.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知
21、合作探究攻重难返首页3若异面直线 l1，l2 的方向向量分别是 a(0，2，1)，b(2,0,4)，则异面直线 l1 与 l2 的夹角的余弦值等于()A25B25C2 55D2 55B|a|5，|b|2 5，ab(0，2，1)(2,0,4)4cosa，b452 525.异面直线夹角的范围是0，2，故选 B.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4若ABaCD bCE(a，b 为实数)，则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系为_AB平面 CDE 或 AB平面 CDE课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5已知点 A(4,1,3)，B(2，5,1)，C 为线段 AB 上一点，且 AC13AB，求 C 点的坐标.【导学号：33242279】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 设 C(x，y，z)，则AC(x4，y1，z3)又AB(2，6，2)由题意AC13AB，(x4，y1，z3)13(2，6，2)，则 x103，y1，z73.所以 C 点坐标为103，1，73.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（二十二）点击上面图标进入 谢谢观看
