1、第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 两个向量的数量积 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律(重点)3.掌握两个向量数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直(难点、易混点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1空间向量的夹角课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页如果a，b90，那么向量 a，b，记作.提示 120互相垂直ab思考：等边ABC 中，AB与B
2、C的夹角是多少？课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2两个向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫做 a，b 的数量积(或内积)，记作 ab.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b交换律ab分配律(ab)cacbc(ab)ba课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3两个向量的数量积的性质若 a，b 是非零向量，则 ab若 a 与 b 同向，则 ab；若反向，则 ab.特别地，aa或|a|aa若 为 a，b 的夹角，则 cos 两个向量数量积的性质|ab|a|b|ab|a|b|ab0|a|b|a|
3、b|a|2课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1思考辨析(1)对于非零向量 a，b，a，b与a，b相等()(2)对于任意向量 a，b，c，都有(ab)ca(bc)()(3)(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.()提示(1)互补(2)(ab)c 与 c 共线，a(bc)与 a 共线，但 c 与 a 不一定共线(3)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知 a，b，c 是两两垂直的单位向量，则|a2b3c|等于()A14 B 14 C4 D2B|a2b3c|2(a2b3c)(a2b3c)|a|24|b|29|c|214，|a2b3
4、c|14.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_.120 cosa，b ab|a|b|33212.a，b120.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难数量积运算 如图 3-1-22 所示，已知正四面体 OABC 的棱长为 1，点 E、F 分别是 OA、OC 的中点求下列向量的数量积：(1)OA OB；(2)EFCB；(3)(OA OB)(CACB)图 3-1-22课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究 根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模
5、以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征解(1)正四面体的棱长为 1，则|OA|OB|1.OAB 为等边三角形，AOB60，于是：OA OB|OA|OB|cosOA，OB|OA|OB|cosAOB11cos 6012；课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)由于 E、F 分别是 OA、OC 的中点，所以 EF12AC，于是EFBC|EF|CB|cosEF，CB12|CA|CB|cosAC，CB 1211cosAC，CB1211cos 12014；课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(3)(OA OB)(CACB)(OA OB)(OA OC O
6、B OC)(OA OB)(OA OB 2OC)OA 2OA OB 2OA OC OB OA OB 22OB OC1122121212121.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法(1)要牢记公式 ab|a|b|cosa，b.(2)在求两个向量夹角时，要注意向量的方向，如EF，CBAC，CB120易错写成 60.为避免出错，应结合图形进行计算.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，ABAA12，AD4，E 为侧面 AB1的中心，F 为 A1D1 的中点试计算：【导学号：33242254】(1
7、)BCED1；(2)BFAB1；(3)EFFC1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 如图，设ABa，AD b，AA1 c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(1)BCED1 b12cab|b|24216.(2)BFAB1 ca12b(ac)|c|2|a|222220.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(3)EFFC112ca12b 12ba12(abc)12ba12|a|214|b|22.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页利用数量积求夹角和模探究
8、问题1空间两个向量夹角定义的要点是什么？提示(1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且a，bb，a课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页提示(1)向量模的应用：式子|a|aa可以解决有关空间长度问题(2)向量夹角的应用：空间中两条直线(特别是两条异面直线)的夹角，可以通过求出这两个向量的夹角而求得(3)数量积的应用：两非零向量 a，b，若 ab0，则两向量对应的直线相互垂直2空间向量数量积的性质有什么作用？课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作
9、探究攻重难返首页(1)如图 3-1-23，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABC90，ABBC1，AA1 2，求异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值(2)如图 3-1-24 所示，平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于 1，且彼此的夹角都是 60，求对角线 AC1 和 BD1 的长图 3-1-23课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究(1)先求BA1 AC，再由夹角公式求 cosBA1，AC，并由此确定BA1 与AC所成角的余弦值(2)用向量AC1 和BD1 用已知向量AB、AD、AA1 表示出来，再用数量积的定义
10、运算课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)BA1 BAAA1 BABB1，ACBCBA，且BABCBB1 BABB1 BC0，BA1 ACBA 21.又|AC|2，|BA1|12 3.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页cosBA1，AC BA1 AC|BA1|AC|16 66.异面直线所成角的范围是0，2，异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值为 66.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)AC1 ABAD AA1，|AC1|2AC1 AC1(ABAD AA1)(ABAD AA1)|AB|2|AD|2|AA
11、1|22(ABAD AB AA1 AD AA1)1112(cos 60cos 60cos 60)6.|AC1|6，即对角线 AC1 的长为 6.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页同理，|BD1|2BD1 BD1(AD AA1 AB)(AD AA1 AB)|AD|2|AA1|2|AB|22(AD AA1 AB AA1 AD AB)1112(cos 60cos 60cos 60)2.|BD1|2，即对角线 BD1 的长为 2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页母题探究：1.(改变结论)若把本例(1)中的结论“求异面直线 BA1 与 AC 所成角的
12、余弦值”改为“求向量BA1 与AC夹角的余弦值”结果如何？解 由本例(1)解析可知BA1 与AC夹角的余弦值是 66.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 AEABAD 12AA1，|AE|2AEAE(ABAD 12AA1)(ABAD 12AA1)|AB|2|AD|214|AA1|22ABAD ABAA1 AD AA111142cos 60cos 60cos 60414，|AE|172.2.(改变条件、改变结论)本例(2)中，若 E 为 CC1 的中点，求 AE 的长课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法(1)利用数量积求异面直线所成角(
13、或余弦值)的方法：课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a|2aa，通过向量运算去求|a|，即得所求距离.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页利用数量积解决垂直问题 如图 3-1-25，在空间四边形 OABC 中，OBOC，ABAC，求证：OABC.【导学号：33242255】图 3-1-25思路探究 证明：OA BC0.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页证明 因为 OBOC，ABAC，OAOA，所以OACO
14、AB，所以AOCAOB.又OA BCOA(OC OB)OA OC OA OB|OA|OC|cosAOC|OA|OB|cosAOB0，所以OA BC，即 OABC.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法(1)证明线线垂直的方法,证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为 0 来判断两直线是否垂直.,(2)证明与空间向量 a，b，c 有关的向量 m，n 垂直的方法先用向量 a，b，c 表示向量 m，n，再判断向量 m，n 的数量积是否为 0.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2已知空间四边形 ABCD 中，ABC
15、D，ACBD，求证：ADBC.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页证明 ABCD，ACBD，ABCD 0，ACBD 0.AD BC(ABBD)(ACAB)ABACBD AC|AB|2ABBDABAC|AB|2ABBDAB(ACABBD)ABDC 0.AD BC，从而 ADBC.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1下列命题中正确的是()A(ab)2a2b2B|ab|a|b|C(ab)ca(bc)D若 a(bc)，则 abac0课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页B 对于 A 项，左边|a|2|b|2
16、cos2a，b，右边|a|2|b|2，左边右边，故 A 错误对于 C 项，数量积不满足结合律，C 错误在 D 中，a(bc)0，abac0，abac，但 ab 与 ac 不一定等于零，故 D 错误对于 B 项，ab|a|b|cosa，b，1cosa，b1，|ab|a|b|，故 B 正确课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2如图 3-1-26，已知空间四边形每条边和对角线长都等于 a，点 E，F，G 分别是 AB，AD，DC 的中点，则下列向量的数量积等于 a2 的是()【导学号：33242256】图 3-1-26A2BAAC B2AD DBC2FG ACD2EFCB课时
17、分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页C 2BAACa2，故 A 错；2AD DB a2，故 B 错；2EFCB12a2，故 D 错，2FG ACAC 2a2，故 C 正确课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3若向量 a，b 满足|a|1，|b|2，且 a，b 的夹角为3，则 ab_.1 ab|a|b|cosa，b12121.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4如图 3-1-27 所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，则图 3-1-27(1)AB，A1C1 _；(2)AB，C1A1 _；(3)AB，A1D1 _.课时
18、分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(1)45(2)135(3)90(1)因为A1C1 AC，所以AB，A1C1 AB，AC又CAB45，所以AB，A1C1 45.(2)AB，C1A1 180AB，A1C1 135.(3)AB，A1D1 90.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5如图 3-1-28 所示，在ABCD 中，AD4，CD3，ADC60，PA平面 ABCD，PA6，求线段 PC 的长【导学号：33242257】图 3-1-28课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 PCPAAD DC，|PC|2(PAAD DC)2|PA|2|AD|2|DC|22PAAD 2AD DC 2DC PA6242322|AD|DC|cos 120611249.|PC|7，即 PC7.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（二十）点击上面图标进入 谢谢观看
