1、2016年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1设A，B是全集I=1，2，3，4的子集，A=l，2，则满足AB的B的个数是（）A5B4C3D22复数的虚部为（）ABCD3已知向量，满足（）=2，且|=1，|=2，则与的夹角为（）ABCD4（x2y）6的展开式中，x4y2的系数为（）A15B15C60D605A（，1）为抛物线x2=2py（p0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）AB +C2D +16执行如图的程序框图，输出S的值为（）Aln4Bln5Cln 5ln4Dln 4ln 37若x，y满
2、足不等式组，则的最大值是（）AB1C2D38Sn为等比数列an的前n项和，满足al=l，Sn+2=4Sn+3，则an的公比为（）A3B2C2或3D2或29己知A（x1，0），B（x2，1）在函数f（x）=2sin（x+）（0）的图象上，|x1x2|的最小值，则=（）ABClD10某几何体的三视图如图所示则其体积积为（）A8BC9D11F为双曲线：=1（a0，b0）的右焦点，若上存在一点P使得OPF为等边三角形（O为坐标原点），则的离心率e为（）ABCD212数列an的通项公式为an=，关于an有如下命题：an为先减后增数列；an为递减数列；nN*，ane；nN*，ane其中正确命题的序号为（）
3、ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13在等差数列an中，a4=2，且al+a2+a10=65，则公差d的值是_141000名考生的某次成绩近似服从正态分布N，则成绩在630分以上的考生人数约为_（注：正态总体N（，2）在区间（，+），（2，+），（3，+3）内取值的概率分别为0.683，0.954，0.997）15已知f（x）为奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于直线y=x+1对称若g（1）=4则f（3）=_16一个几何体由八个面围成，每面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，从该几何体的12条棱所在直线中任取2条，所成角为60的直线
4、共有_对三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在如图所示的四边形ABCD中，BAD=90，BCD=120，BAC=60，AC=2，记ABC=（）求用含的代数式表示DC；（）求BCD面积S的最小值18如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2，BAD=60，M为BB1的中点，Ol为上底面对角线的交点（）求证：O1M平面ACM；（）求AD1与平面ADM所成角的正弦值19某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖
5、一次具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数3210实际付款半价7折8折原价（）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？20在ABC中，A（1，0），B（1，0），若ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴（GH不重合），（I）求动点C的轨迹的方程；（II）已知O为坐标原点，若直线AC与以O为圆心，以|OH|为半径的圆相切，求此时直线AC的方程21函
6、数f（x）=2xex+1（1）求f（x）的最大值；（2）已知x（0，1），af（x）tanx，求a的取值范围四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-1：几何证明选讲22如图，AB与圆O相切于点B，CD为圆O上两点，延长AD交圆O于点E，BFCD且交ED于点F（I）证明：BCEFDB；（）若BE为圆O的直径，EBF=CBD，BF=2，求ADED选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系半圆C（圆心为点C）
7、的极坐标方程为=2sin，（，）（）求半圆C的参数方程；（）直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，其中A（0，2），点D在半圆C上，且直线CD的倾斜角是直线l倾斜角的2倍，若ABD的面积为4，求点D的直角坐标选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+1|a|xl|（）当a=2时，解不等式f（x）5；（）若（x）a|x+3|，求a的最小值2016年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1设A，B是全集I=1，2，3，4的子集，A=l，2，则满足AB的B的个数是（）A5B4C3
8、D2【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】由题意可知：集合B中至少含有元素1，2，即可得出【解答】解：A，B是全集I=1，2，3，4的子集，A=l，2，则满足AB的B为：1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，3，4故选：B2复数的虚部为（）ABCD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求【解答】解：由=，则复数的虚部为：故选：A3已知向量，满足（）=2，且|=1，|=2，则与的夹角为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】求出，代入向量的夹角公式即可【解答】解：（）=1cos=故选D4（x2y）6的展开式中，x4y2的系数为（）A15B
9、15C60D60【考点】二项式系数的性质【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中x4y2，即可求出对应的系数【解答】解：（x2y）6展开式的通项公式为Tr+1=x6r（2y）r，令r=2，得T3=x4（2y）2=60x4y2，所以x4y2的系数为60故选：C5A（，1）为抛物线x2=2py（p0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）AB +C2D +1【考点】抛物线的简单性质【分析】把A代入抛物线方程解出p，得到抛物线的准线方程，则A到焦点的距离等于A到准线的距离【解答】解：把A（，1）代入抛物线方程得：2=2p，p=1抛物线的焦点为F（0，）抛物线的准线方程为y=A到准线的距离为1+=
10、AF=故选：A6执行如图的程序框图，输出S的值为（）Aln4Bln5Cln 5ln4Dln 4ln 3【考点】程序框图【分析】首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0满足条件i4，S=xdx=lnx|=ln2ln1，i=2满足条件i4，S=ln2ln1+ln3ln2=ln3ln1，i=3满足条件i4，S=ln3ln1+ln4ln3=ln4ln1=ln4，i=4不满足条件i4，退出循环，输出S的值为：ln4故选：A7若
11、x，y满足不等式组，则的最大值是（）AB1C2D3【考点】简单线性规划【分析】由题意作平面区域，而的几何意义是阴影内的点（x，y）与原点的连线的斜率，从而求得【解答】解：由题意作平面区域如下，的几何意义是阴影内的点（x，y）与原点的连线的斜率，结合图象可知，过点A（1，2）时有最大值，此时=2，故选：C8Sn为等比数列an的前n项和，满足al=l，Sn+2=4Sn+3，则an的公比为（）A3B2C2或3D2或2【考点】等比数列的前n项和【分析】利用等比数列的前n项和公式得到S3=4a1+3，由此能求出an的公比【解答】解：Sn为等比数列an的前n项和，满足al=l，Sn+2=4Sn+3，S3=
12、4a1+3，=4a1+3，即=7，q2+q6=0，解得q=2或q=3故选：C9己知A（x1，0），B（x2，1）在函数f（x）=2sin（x+）（0）的图象上，|x1x2|的最小值，则=（）ABClD【考点】正弦函数的图象【分析】根据题意得出函数f（x）的周期是T=12，进而可得答案【解答】解：A（x1，0），B（x2，1）在函数f（x）=2sin（x+）（0）的图象上，且|x1x2|的最小值为，故=，解得：T=3，又0，故=，故选：D10某几何体的三视图如图所示则其体积积为（）A8BC9D【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为两个尖头圆柱的组合体它们可以组合成高为8的圆柱【解答】解：由
13、三视图可知几何体为两个尖头圆柱的组合体，它们可以组成高为8的圆柱，圆柱的底面半径为1，所以几何体的体积为128=8故选A11F为双曲线：=1（a0，b0）的右焦点，若上存在一点P使得OPF为等边三角形（O为坐标原点），则的离心率e为（）ABCD2【考点】双曲线的简单性质【分析】先确定等边三角形的边长和点P横坐标，求出点P到右准线的距离d，利用双曲线定义解出离心率e【解答】解：不妨设F为右焦点，OPF（O为坐标原点）为等边三角形，故点P横坐标为，点P到右准线的距离d=，OPF边长为c，e=e1，e=+1，故选：C12数列an的通项公式为an=，关于an有如下命题：an为先减后增数列；an为递减数
14、列；nN*，ane；nN*，ane其中正确命题的序号为（）ABCD【考点】数列的函数特性【分析】数列an的通项公式为an=，可得此数列为单调递减有下界e数列，即可得出【解答】解：数列an的通项公式为an=，an0， =，可得：a1a2a3关于an有如下命题：an为先减后增数列，不正确；an为递减数列，正确；由于an=e，nN*，ane，正确；nN*，ane，不正确故正确答案为：故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13在等差数列an中，a4=2，且al+a2+a10=65，则公差d的值是【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项
15、和公式即可得出【解答】解：在等差数列an中，a4=2，且al+a2+a10=65，a1+3d=2，10a1+d=65，解得d=故答案为：141000名考生的某次成绩近似服从正态分布N，则成绩在630分以上的考生人数约为23（注：正态总体N（，2）在区间（，+），（2，+），（3，+3）内取值的概率分别为0.683，0.954，0.997）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据正态分布，求出=530，=50，在区间的概率为0.954，由此可求成绩在630分以上的考生人数【解答】解：由题意，=530，=50，在区间的概率为0.954成绩在630分以上的概率为=0.023成绩在12
16、0分以上的考生人数约为10000.023=23故答案为：2315已知f（x）为奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于直线y=x+1对称若g（1）=4则f（3）=2【考点】函数奇偶性的性质【分析】求出（1，4）关于直线y=x+1的对称点，代入f（x），利用f（x）的奇偶性得出【解答】解：设A（1，4），A关于直线y=x+1的对称点为A（a，b）则，解得函数g（x）与f（x）的图象关于直线y=x+1对称，g（1）=4，f（3）=2，f（x）为奇函数，f（3）=2故答案为216一个几何体由八个面围成，每面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，从该几何体的12条棱所在直线中任取2条，所成角
17、为60的直线共有48对【考点】计数原理的应用【分析】作出图形，即可得出结论【解答】解：如图所示，由题意，AB与AE，BE，BC，AC，CF，CD，ED，EF所成角为60，共8对，每条棱有八对，12条棱共有：12乘以8再除以2=48对，故答案为：48三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在如图所示的四边形ABCD中，BAD=90，BCD=120，BAC=60，AC=2，记ABC=（）求用含的代数式表示DC；（）求BCD面积S的最小值【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（I）在ADC中，使用正弦定
18、理解出DC；（II）在ABC中，使用正弦定理解出BC，代入三角形的面积公式计算【解答】解：（）在ADC中，ADC=36090120=150，由正弦定理可得=，即=，于是：DC=（）在ABC中，由正弦定理得=，即BC=，由（）知：DC=，S=故=75时，S取得最小值6318如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2，BAD=60，M为BB1的中点，Ol为上底面对角线的交点（）求证：O1M平面ACM；（）求AD1与平面ADM所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（1）计算AM，AO1，MO1，CM，CO1，根据勾股定理的逆定理得出AMO1M，CMO1M，于是
19、O1M平面ACM；（2）连结BD交AC于点O，连接OO1，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和平面ADM的法向量，则|cos，|即为所求【解答】证明：（）连接AO1，CO1，直四棱柱所有棱长均为2，BAD=60，M为BB1的中点，O1B1=1，B1M=BM=1，O1A1=，O1M2=O1B12+B1M2=2，AM2=AB2+BM2=5，O1A2=O1A12+A1A2=7，O1M2+AM2=O1A2，O1MAM同理：O1MCM，又CMAM=M，AM平面ACM，CM平面ACM，O1M平面ACM（）连结BD交AC于点O，连接OO1，以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴
20、建立空间直角坐标系Oxyz，则A（，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，2），M（0，1，1），=（，1，2），=（，1，0），=（0，2，1），设平面ADM的一个法向量=（x，y，z），则，令x=1，得=（1，2）， =4，|=4，|=2，cos，=，AD1与平面ADM所成角的正弦值为19某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有
21、区别）红球个数3210实际付款半价7折8折原价（）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式【分析】（）先求出顾客获得半价优惠的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率（）分别求出方案一和方案二和付款金额，由此能比较哪一种方案更划算【解答】解：（）记顾客获得半价优惠为事件A，则P（A）=，两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率：P=1P（）P（）=1（1）2=（）若选择方案一，则付款金额为32050=270元若
22、选择方案二，记付款金额为X元，则X可取160，224，256，320P（X=160）=，P（X=224）=，P（X=256）=，P（X=320）=，则E（X）=160+224+256+320=240270240，第二种方案比较划算20在ABC中，A（1，0），B（1，0），若ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴（GH不重合），（I）求动点C的轨迹的方程；（II）已知O为坐标原点，若直线AC与以O为圆心，以|OH|为半径的圆相切，求此时直线AC的方程【考点】轨迹方程【分析】（）由题意可设C（x，y），则G（），H（x，），求出，的坐标，再由=0整理得答案；（）设方程AC为y=k（x+1），C
23、（x0，y0）联立直线方程和椭圆方程，求出H的坐标，由点到直线的距离公式求得原点O到直线AC的距离，结合题意得到关于k的等式，求出k值后可得直线AC的方程【解答】解：（）由题意可设C（x，y），则G（），H（x，）=（x1，），=（x+1，y），H为垂心，=x21+=0，整理可得x2+=1，即动点C的轨迹的方程为x2+=1（xy0）；（）显然直线AC的斜率存在，设方程AC为y=k（x+1），C（x0，y0）将y=k（x+1）代入x2+=1得（3+k2）x2+2k2x+k23=0，解得x0=，y0=，则H（，）原点O到直线AC的距离d=，依题意可得，即7k4+2k29=0，解得k2=1，即k=1
24、或1，故所求直线AC的方程为y=x+1或y=x121函数f（x）=2xex+1（1）求f（x）的最大值；（2）已知x（0，1），af（x）tanx，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值；（2）求出f（x）在（0，1）为正，a0时，符合题意，a0时，通过讨论0a1，a1时的情况，结合函数的单调性求出a的具体范围即可【解答】解：（1）f（x）=2xex+1，f（x）=2ex，令f（x）0，解得：xln2，令f（x）0，解得：xln2，f（x）在（，ln2）递增，
25、在（ln2，+）递减，f（x）的最大值是f（ln2）=2ln21；（2）x（0，1）时，f（x）在（0，ln2）递增，在（ln2，1）递减，且f（0）=0，f（1）=3e0，f（x）0，tanx0，a0时，af（x）0tanx；a0时，令g（x）=tanxaf（x），则g（x）=+a（ex2），g（x）在（0，1）递增且g（0）=1a，0a1时，g（0）0，g（x）0，g（x）在（0，1）递增，又g（0）=0，此时g（x）0，即af（x）tanx成立，a1时，g（0）0，g（1）0，x0（0，1），使得g（x0）=0，即x（0，x0）时，g（x）0，g（x）递减，又g（0）=0，g（x）0与a
26、f（x）tanx矛盾，综上：a1四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-1：几何证明选讲22如图，AB与圆O相切于点B，CD为圆O上两点，延长AD交圆O于点E，BFCD且交ED于点F（I）证明：BCEFDB；（）若BE为圆O的直径，EBF=CBD，BF=2，求ADED【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定【分析】（）根据BFCD便有EDC=BFD，再根据同一条弦所对的圆周角相等即可得出EBC=BFD，BCE=BDF，这样即可得出：BCE与FDB相似；（）根
27、据条件便可得出EBC=FBD，再由上面即可得出FBD=BFD，这样即可得出FDB为等腰直角三角形，从而可求出BD=，根据射影定理即可求出ADED的值【解答】解：（）证明：BFCD；EDC=BFD，又EBC=EDC，EBC=BFD，又BCE=BDF，BCEFDB（）因为EBF=CBD，所以EBC=FBD，由（）得EBC=BFD，所以FBD=BFD，又因为BE为圆O的直径，所以FDB为等腰直角三角形，BD=BF=，因为AB与圆O相切于B，所以EBAB，即ADED=BD2=2选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系半圆C（圆心为点C）的极
28、坐标方程为=2sin，（，）（）求半圆C的参数方程；（）直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，其中A（0，2），点D在半圆C上，且直线CD的倾斜角是直线l倾斜角的2倍，若ABD的面积为4，求点D的直角坐标【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（）由x=cos，y=sin，x2+y2=2，代入半圆的极坐标方程，再由同角的平方关系，可得参数方程；（）设直线l的倾斜角为，可得直线l的方程为y=xtan2，D（cos2，1+sin2），2（0，）求得|AB|，运用点到直线的距离公式可得D到AB的距离，再由三角形的面积公式，由三角函数的恒等变换，即可得到所求点的坐标【解答】解：（）由x
29、=cos，y=sin，x2+y2=2，可得半圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y1）2=1（y1），它的参数方程是，为参数且（0，）；（）设直线l的倾斜角为，则直线l的方程为y=xtan2，D（cos2，1+sin2），2（0，）|AB|=，点D到直线l的距离为d=|3cossin|=3cos+sin，由ABD的面积为4，得4=d|AB|=1+3cot，可得tan=1，得=，故点D为（0，2）选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+1|a|xl|（）当a=2时，解不等式f（x）5；（）若（x）a|x+3|，求a的最小值【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）将a=2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（）问题转化为，求出a的最小值即可【解答】解：（）当a=2时，f（x）=，由f（x）的单调性及f（）=f（2）=5，得f（x）5的解集为x|x，或x2（）由f（x）a|x+3|得a，由|x1|+|x+3|2|x+1|得，得a（当且仅当x1或x3时等号成立）故a的最小值为2016年9月7日
