1、A 级：“四基”巩固训练一、选择题1已知|a|2，|b|4，ab4，则向量 a 与 b 的夹角为()A30 B60 C150 D120解析 cos ab|a|b|42412，0，180，120.故选 D.解析 答案 D答案 2已知向量 a，b 满足 ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|()A0 B2 2 C4 D8解析|2ab|24a24abb28，|2ab|2 2.解析 答案 B答案 3若平面四边形 ABCD 满足ABCD 0，(ABAD)AC0，则该四边形一定是()A直角梯形B矩形C菱形D正方形解析 由ABCD 0，得平面四边形 ABCD 是平行四边形，由(ABAD)AC0，得DB A
2、C0，即平行四边形 ABCD 的对角线互相垂直，则该四边形一定是菱形解析 答案 C答案 4若非零向量 a，b 满足|a|2 23|b|，且(ab)(3a2b)，则 a 与 b 的夹角为()A.4 B.2 C.34 D答案 A答案 解析 由题意，得(ab)(3a2b)3a22b2ab0，即 ab3a22b2.又|a|2 23|b|，所以 ab32 23|b|22b223b2，所以 cosa，b ab|a|b|23b22 23 b2 22，所以a，b4.解析 5已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若非零向量 c 满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A1 B2 C.2 D.22答
3、案 C答案 解析 因为|a|b|1，ab0，(ac)(bc)c(ab)|c|2|c|ab|cos|c|20，其中 为 c 与 ab 的夹角，所以|c|ab|cos 2cos 2，所以|c|的最大值是 2，故选 C.解析 二、填空题6已知向量 a，b 的夹角为 45，且|a|4，12ab(2a3b)12，则|b|_；b 在 a 上的投影向量的模等于_解析 ab|a|b|cosa，b4|b|cos452 2|b|，又12ab(2a3b)|a|212ab3|b|216 2|b|3|b|212，解得|b|2或|b|2 23(舍去)b 在 a 上的投影向量的模为|b|cosa，b|2cos451.解析
4、答案 2 1答案 7已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60，cta(1t)b.若 bc0，则t_.解析 由题意，将 bcta(1t)bb 整理，得 tab(1t)0，又 ab12，所以 t2.解析 答案 2答案 8在平行四边形 ABCD 中，AD1，BAD60，E 为 CD 的中点若ACBE1，则 AB 的长为_答案 12答案 解析 因为BE BA AD DE AB AD 12AB AD 12AB，所以AC BE(ABAD)AD 12AB AD 212AD AB12AB 21121|AB|cos6012|AB|21，所以14|AB|12|AB|20，解得|AB|12.解析 三、解答题9已知
5、a，b 是两个非零向量，当 atb(tR)的模取得最小值时，(1)求 t 的值(用 a，b 表示)；(2)求证：b 与 atb 垂直解(1)|atb|2a2t2b22tabb2tabb2 2a2ab2b2.当 tabb2 时，|atb|取得最小值(2)证明：因为(atb)babtb2ababb2 b20，所以 atb 与 b 垂直答案 B 级：“四能”提升训练1设向量 a，b，c 满足 abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2 的值是_答案 4答案 解析 由 abc0，得(abc)20，得a2b2c22(abbcca)0.又(ab)c，ab，(ab)c0，ab0.ac
6、bc.a2b2c24bc，b2c214bc.由 abc0，得 bca，故(bc)21，即 b2c22bc1.由得 bc1，故 a2b2c24，即|a|2|b|2|c|24.解析 2在四边形 ABCD 中，已知 AB9，BC6，CP2PD.(1)若四边形 ABCD 是矩形，求APBP的值；(2)若四边形 ABCD 是平行四边形，且APBP6，求AB与AD 夹角的余弦值解(1)因为四边形 ABCD 是矩形，所以AD DC 0，由CP2PD，得DP 13DC，CP23CD 23DC.所以APBP(AD DP)(BCCP)AD 13DC AD 23DCAD 213AD DC 29DC 236298118.答案 (2)由题意，APAD DP AD 13DC AD 13AB，BPBCCPBC23CD AD 23AB，所以APBPAD 13AB AD 23ABAD 213ABAD 29AB 23613ABAD 181813ABAD.又APBP6，答案 所以 1813ABAD 6，所以ABAD 36.又ABAD|AB|AD|cos96cos54cos，所以 54cos36，即 cos23.所以AB与AD 夹角的余弦值为23.答案
