1、第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.2 抛物线的几何性质(二)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.掌握直线与抛物线位置关系的判断.2.掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识.3.掌握直线与抛物线相关的求值、证明问题课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1直线与抛物线的位置关系及判定位置关系公共点判定方法 相交公共点 k0 或k00相切公共点0相离公共点0联立直线与抛物线方程，得到一个一元二次方程，记判别式为 有两个或一个有且只有一个无课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自
2、测1思考辨析(1)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点()(2)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点()(3)过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y24x 仅有一个公共点的直线有三条()提示(1)过抛物线上一点与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线有一个公共点(2)(3)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知点 A(2,3)在抛物线 C：y22px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为()A43 B1C34D12C 由点 A(2,3)在 y22px 的准线 xp2上得 p4，F(2,0)，kAF34，故选 C.课时分层作
3、业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3过抛物线 y24x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB的中点的横坐标为 3，则|AB|_.【导学号：33242193】8|AB|2x0p2 2(31)8.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难直线与抛物线的位置关系 已知抛物线的方程为 y24x，直线 l 过定点 P(2,1)，斜率为 k，k 为何值时，直线 l 与抛物线 y24x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 由题意，设直线 l 的方程为 y1k(x
4、2)由方程组y1kx2，y24x，(*)可得 ky24y4(2k1)0.(1)当 k0 时，由方程得 y1.把 y1 代入 y24x，得 x14.这时，直线 l 与抛物线只有一个公共点14，1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)当 k0 时，方程的判别式为16(2k2k1)由 0，即 2k2k10，解得 k1，或 k12.于是，当 k1，或 k12时，方程只有一个解，从而方程组(*)只有一个解这时，直线 l 与抛物线只有一个公共点课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页由 0，得 2k2k10，解得1k12.于是，当1k12，且 k0 时，方
5、程有两个解，从而方程组(*)有两个解这时，直线 l 与抛物线有两个公共点课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页由 0，解得 k12.于是，当 k12时，方程没有实数解，从而方程组(*)没有解这时，直线 l 与抛物线没有公共点综上，我们可得课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 k1，或 k12，或 k0 时，直线 l 与抛物线只有一个公共点；当1k12，且 k0 时，直线 l 与抛物线有两个公共点；当 k12时，直线 l 与抛物线没有公共点课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、
6、抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0 的情况.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1如图 2-4-2，过抛物线 y2x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线 AB，AC 交抛物线于 B，C 两点，求证：直线 BC 的斜率是定值图 2-4-2课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页证明 设 kABk(k0)，直线 AB，AC 的倾斜角互补，kACk(k0)，AB 的方程是 yk(x4)2.由方程组ykx42，y2x，消去 y 后，整理得课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页
7、k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解4xB16k216k4k2，即 xB4k24k1k2.以k 代换 xB 中的 k，得 xC4k24k1k2，kBCyByCxBxC课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页kxB42kxC42xBxCkxBxC8xBxCk8k22k288kk214.直线 BC 的斜率为定值课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页与抛物线有关的中点弦问题探究问题对比椭圆的“中点弦”问题，思考与抛物线有关的“中点弦”问题的解题策略有哪些？课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究
8、攻重难返首页提示(1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差由 ky1y2x1x2求斜率，再由点斜式求解(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去 x(或 y)得关于 y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2 倍，从而求斜率课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 已知 A，B 为抛物线 E 上不同的两点，若抛物线 E 的焦点为(1,0)，线段 AB 恰被 M(2,1)所平分(1)求抛物线 E 的标准方程；(2)求直线 AB 的方程.【导学号：33242194】思路探究 用“点差法”课时分层作业当堂达标固双基自主预习
9、探新知合作探究攻重难返首页解(1)由 E 的焦点为(1,0)，可设抛物线方程为 y22px，且p21，p2，抛物线方程为 y24x.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 M(2,1)为线段 AB 的中点可知直线 AB 斜率存在且不为零，设直线 AB斜率为 k.由 A，B 为抛物线上不同两点得y214x1，y224x2，得 k4y1y22，直线 AB 方程为 y12(x2)，即 2xy30.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页母题探究：1.(变换条件)若本例中条件“线段 AB 恰被 M(2,1)所平分
10、”改为“线段 AB 恰被 M(1,1)所平分”，问这样的直线 AB 是否存在？若存在，求出直线 AB 的方程，若不存在，说明理由课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 由抛物线的焦点为(1,0)，所以p21，p2，故抛物线方程为 y24x.假设 AB 斜率存在，即 AB 不垂直于 x 轴，故可设 AB 所在直线的方程为y1k(x1)(k0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y1kx1，y24x，消去 x 整理得课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页ky24y44k0，164k(44k)0 恒成立，又由根与系数的关系得 y1y24k，根据 M
11、 为 AB 的中点，所以4k2，k2，所以所求直线方程为 y12(x1)，即 2xy10.当 AB 的斜率不存在时，显然不符合题意.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2(变换条件、改变问法)若动点 P 在抛物线 E 上移动，求线段 PM 中点的轨迹方程解 设 P(x0，y0)，PM 中点的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得xx022，yy012，即x02x2，y02y1，p 在抛物线 y24x 上，PM 中点的轨迹方程为(2y1)28(x1)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 解决中点弦问题的基本方法是点差法、根与系数关系的方法，直线
12、方程与抛物线方程联立时，消 y 有时更简捷，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解.一般地，已知抛物线 y22px(p0)上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)及 AB 的中点 P(x0，y0)，则 kABpy0，直线 AB 的方程为 yy0py0(xx0).线段 AB 的垂直平分线的方程为 yy0y0p(xx0).提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页抛物线的综合运用 如图 2-4-3 所示，已知直线 l：y2x4 交抛物线 y24x 于 A，B 两点，试在抛物线 AOB 这段曲线上求一点 P，使PAB 的面积最
13、大，并求出这个最大面积【导学号：33242195】图 2-4-3课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究 解决本题的关键是弦 AB 为定值，将点 P 到直线 AB 的距离的最值问题转化为二次函数问题求解在应用配方法求最值时，一定要注意自变量的取值范围解 由y2x4，y24x解得x4，y4或x1，y2，由题图可知 A(4,4)，B(1，2)，则|AB|3 5.设 P(x0，y0)为抛物线 AOB 这段曲线上一点，d 为点 P 到直线 AB 的距离，则：课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页d|2x0y04|5 15y202y04 12 5|(y0
14、1)29|.2y04，(y01)290.d 12 59(y01)2从而当 y01 时，dmax 92 5，Smax12 92 53 5274.因此，当点 P 的坐标为14，1 时，PAB 的面积取得最大值，最大值为274.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和
15、转化课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2如图 2-4-4 所示，已知抛物线 C：x24y，过点 M(0,2)任作一直线与 C相交于 A，B 两点，过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点)图 2-4-4课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(1)求证动点 D 在定直线上；(2)作 C 的任意一条切线 l(不含
16、x 轴)，与直线 y2 相交于点 N1，与(1)中的定直线相交于点 N2，求证|MN2|2|MN1|2 为定值，并求此定值证明(1)依题意可设直线 AB 的方程为 ykx2，代入 x24y，得 x24(kx2)，即 x24kx80.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1x28.直线 AO 的方程为 yy1x1x，直线 BD 的方程为 xx2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页可得交点 D 的坐标为x2，y1x2x1，注意到 x1x28 及 x214y1，则有 yy1x1x2x21 8y14y1 2.因此 D 点在定直线 y2(x0)上课时分层作业当堂达标固
17、双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)依题意得切线 l 的斜率存在且不等于 0，设切线 l 的方程为 yaxb(a0)，代入 x24y 得 x24(axb)，即 x24ax4b0.由 0 得(4a)216b0，化简整理得 ba2.故切线 l 的方程可写为 yaxa2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页分别令 y2，y2 得 N1，N2 的坐标为：N12aa，2，N22aa，2，则|MN2|2|MN1|22aa2422aa28，即|MN2|2|MN1|2 为定值 8.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1抛物线 y2
18、12x 截直线 y2x1 所得弦长等于()A.15 B2 15 C.152 D15课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页A 令直线与抛物线交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)由y2x1y212x得 4x28x10，x1x22，x1x214，|AB|122x1x22 5x1x224x1x2 15.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是()【导学号：33242196】A2B3 C.115D3716A 直线 l2：x1
19、恰为抛物线 y24x 准线，P 到 l2 的距离 d2|PF|(F(1,0)为抛物线焦点)，所以 P 到 l1、l2 距离之和最小值为 F 到 l1 距离|41306|32422，故选 A.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3已知点 A(4,0)，M 是抛物线 y26x 上的动点，当点 M 到 A 距离最小时，M 点坐标为_(1，6)设 My216，y1，则|MA|2y21642y21 136y4113y2116 136(y216)21515，当且仅当 y216，即 y1 6，x1y2161 时，|MA|取最小值 15，此时 M(1，6)课时分层作业当堂达标固双基自主
20、预习探新知合作探究攻重难返首页4直线 yxb 交抛物线 y12x2 于 A、B 两点，O 为抛物线的顶点，且OAOB，则 b 的值为_2 由yxby12x2，得 x22x2b0，(2)28b0，设直线与抛物线的两交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)由根与系数的关系，得 x1x22，x1x22b，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页于是 y1y214(x1x2)2b2，由 OAOB 知 x1x2y1y20，故 b22b0，解得 b2 或 b0(不合题意，舍去)b2 适合 0.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5已知抛物线 y2x 与直线 l
21、：yk(x1)相交于 A，B 两点(1)求证：OAOB；(2)当OAB 的面积等于 10时，求 k 的值【导学号：33242197】解(1)证明：联立y2xykx1，消去 x，得 ky2yk0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y21k，y1y21.因为 y21x1，y22x2，所以(y1y2)2x1x2，所以 x1x21，所以 x1x2y1y20，即OA OB 0，所以 OAOB.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)设直线 l 与 x 轴的交点为 N，则 N 的坐标为(1,0)，所以 SAOB12|ON|y1y2|12|ON|y1y224y1y21211k24 10，解得 k2 136，所以 k16.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（十六）点击上面图标进入 谢谢观看
