1、第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的几何性质 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程(重点)3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题(难点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1双曲线的几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)性质图形课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页焦点 焦距 范围或，yR或，xR 对称性对称轴
2、：；对称中心：性质顶点 A1(0，a)，A2(0，a)(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)2cA1(a,0)，A2(a,0)xaxayaya坐标轴原点课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页轴实轴：线段，长：；虚轴：线段，长：；半实轴长：，半虚轴长：离心率e 性质渐近线A1A22aB1B22bab(1，)yabxybaxca课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考 1：能否用 a，b 表示双曲线的离心率？提示 eca a2b2a1b2a2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考 2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满
3、足什么对应关系？提示 有影响，因为 eca a2b2a1b2a2，故当ba的值越大，渐近线 ybax 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2等轴双曲线实轴和虚轴的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是，离心率 e .相等yx2课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1思考辨析(1)双曲线方程x2m2y2n2(m0，n0，0)的渐近线方程是x2m2y2n20，即xmyn0.()(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()课时分层作
4、业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页提示(1)(2)(3)(3)若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)与x2b2y2a21(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1e211e221(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).()课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2下列双曲线中，渐近线方程为 y2x 的是()Ax2y241 Bx24y21Cx2y221Dx22y21A 由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线 x2y241 的渐近线方程为 y2x，故选 A.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3已知双曲线 C：x2a2y2b21 的离心率
5、e54，且其右焦点为 F2(5,0)，则双曲线 C 的方程为()【导学号：33242160】Ax24y231Bx29y2161Cx216y291Dx23y241课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页C eca54，F2(5,0)，c5，a4，b2c2a29，双曲线 C 的标准方程为x216y291.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4已知双曲线的渐近线方程是 y4x，则其离心率为_17或 174 若双曲线焦点在 x 轴上，依题意得，ba4，b2a216，即c2a2a216，e217，e 17.若双曲线焦点在 y 轴上，依题意得，ab4.课时分层作
6、业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页ba14，b2a2 116，即c2a2a2 116.e21716，故 e 174，即双曲线的离心率是 17或 174.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难已知双曲线的标准方程求其简单几何性质 求双曲线 nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.【导学号：33242161】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 把方程 nx2my2mn(m0，n0)化为标准方程为x2my2n1(m0，n0)，由此可知，实半轴长 a m，虚半轴
7、长 b n，c mn，焦点坐标为(mn，0)，(mn，0)，离心率 eca mnm 1nm，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页顶点坐标为(m，0)，(m，0)，所以渐近线方程为 ynmx，即 y mnm x.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值.(3)由 c2a2b2 求出 c 的值，从而写出双曲线的几何性质.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1求双曲线 9y24x236
8、 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程解 双曲线的方程化为标准形式是x29y241，a29，b24，a3，b2，c 13.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页又双曲线的焦点在 x 轴上，顶点坐标为(3,0)，(3,0)，焦点坐标为(13，0)，(13，0)，实轴长 2a6，虚轴长 2b4，离心率 eca 133，渐近线方程为 y23x.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页由双曲线的几何性质确定标准方程 求适合下列条件的双曲线标准方程(1)虚轴长为 12，离心率为54；(2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y32x；(3)求与双
9、曲线 x22y22 有公共渐近线，且过点 M(2，2)的双曲线方程.【导学号：33242162】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究 分析双曲线的几何性质 求a，b，c 确定讨论焦点位置 求双曲线的标准方程解(1)设双曲线的标准方程为x2a2y2b21 或y2a2x2b21(a0，b0)由题知 2b12，ca54且 c2a2b2，b6，c10，a8，标准方程为x264y2361 或y264x2361.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)法一：当焦点在 x 轴上时，由ba32且 a3，b92.所求双曲线方程为x294y2811.当焦点
10、在 y 轴上时，由ab32且 a3，b2.所求双曲线方程为y29x241.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页法二：设以 y32x 为渐近线的双曲线方程为x24y29(0)，当 0 时，a24，2a2 4694，当 0，b0).焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为y2a2x2b21(a0，b0).课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页与双曲线x2a2y2b21 共焦点的双曲线方程可设为 x2a2 y2b21(0，b2a2)，与双曲线x2a2y2b21 具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2a2y2b2(0).渐近线为 ykx 的双曲线方程可设为
11、k2x2y2(0).渐近线为 axby0 的双曲线方程可设为 a2x2b2y2(0).提醒：利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数 a，b，c 的方程并求出 a，b，c 的值.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为 y12x，且经过点 A(2，3)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c13，又ca135，a5，b2c2a2144，故其标准
12、方程为y225 x21441.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)双曲线的渐近线方程为 y12x，若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则ba12.A(2，3)在双曲线上，4a29b21.由联立，无解课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)，则ab12.A(2，3)在双曲线上，9a24b21.由联立，解得 a28，b232.所求双曲线的标准方程为y28x2321.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页直线与双
13、曲线的位置关系 已知双曲线 x2y24，直线 l：ykx1，试讨论满足下列条件的实数 k 的取值范围(1)直线 l 与双曲线有两个公共点；(2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线 l 与双曲线没有公共点【导学号：33242163】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 由ykx1，x2y24，得(1k2)x22kx50.(1)直线与双曲线有两个公共点，则式方程有两个不相等的根1k20，4k2201k20，解得 52，1 1，1 1，52.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)直线与双曲线只有一个公共点，则式方程只有一解当 1k2
14、0，即 k1 时，式方程只有一解；当 1k20 时，应满足 4k220(1k2)0，解得 k 52，故 k 的值为1 或 52.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(3)直线与双曲线没有公共点，则式方程无解1k20，4k2201k20，解得 k 52 或 k0直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；0直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；时，直线 l 只与双曲线一支相交，交点有两个；如图，0)与直线 l：xy1 相交于 A，B 两个不同的点求双曲线的离心率 e 的取值范围；设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且PA 512PB，求 a 的值(2)已知过点 P(
15、1,1)的直线 l 与双曲线 x2y241 只有一个公共点，试探究直线 l 的斜率 k 的取值课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)由x2a2y21，xy1，得(1a2)x22a2x2a20，(*)由题意得1a20，4a48a21a20，得 0a 2且 a1.又双曲线的离心率e 1a2a1a21，e 62 且 e 2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知 P(0,1)，PA 512PB，(x1，y11)512(x2，y21)，故 x1 512x2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻
16、重难返首页又 x1，x2 是方程(*)的两个根，1712x2 2a21a2，512x22 2a21a2.又 a0，a1713.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)设直线 l 的斜率为 k，则 l：yk(x1)1，代入双曲线方程得(4k2)x2(2k2k2)xk22k50.若 4k20，即 k2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；若 4k20，则(2k2k2)24(4k2)(k22k5)0，解得 k52.综上可得，直线 l 的斜率 k 的取值为52或2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页与双曲线有关的综合问题探究问题
17、1直线与双曲线的弦长问题，应如何解答？提示 设直线与双曲线相交所得弦AB端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的斜率为 k，则|AB|1k2|x1x2|1k2 x1x224x1x2.涉及弦长的问题，常常设而不求课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2直线与双曲线相交，直线斜率与弦中点有何关系？提示 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上不同的两点，且 x1x2，x1x20，M(x0，y0)为线段 AB 的中点，则x21a2y21b21，x22a2y22b21.两式相减可得y1y2x1x2y1y2x1x2b
18、2a2，即 kABy0 x0b2a2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 斜率为 2 的直线 l 在双曲线x23y221 上截得的弦长为 6，求 l的方程.【导学号：33242164】思路探究 设出直线方程，与双曲线联立消元后利用弦长公式求解课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 设直线 l 的方程为 y2xb 与x23y221 联立消 y 得 10 x212bx3b260设直线 l 与双曲线x23y220 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)由根与系数的关系得x1x265bx1x23b2610.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知
19、合作探究攻重难返首页|AB|14 x1x224x1x253625b26b21256b2605 6解得 b 15.直线 l 的方程为 y2x 15.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页母题探究：1.(变换条件)求斜率为 2 的直线 l 与双曲线x23y221 相交时，其弦中点的轨迹方程解 设直线 l 与双曲线的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 P(x0，y0)，则 x0 x1x22，y0y1y22，则x213y2121，x223y2221，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页两式相减得y1y2x1x2y1y2x1x223.
20、即yx13.所以弦中点的轨迹方程为 x3y0.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2(变换条件)若直线 l 与本例中的双曲线相交，求以点 P(3,1)为中点的直线 l 的方程解 设直线 l 与双曲线交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x26，y1y22，由x213y2121，x223y2221，两式相减得y1y2x1x2y1y2x1x223，直线 l 的斜率 k2，直线 l 的方程为 y12(x3)，即 2xy50.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法(1)求弦长的两种方法距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点
21、坐标，再利用两点间距离公式求弦长.弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线 l：ykxb(k0)与双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|1k2|x1x2|11k2|y1y2|.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)中点弦问题与弦中点有关的问题主要用点差法，根与系数的关系解决.另外，要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决.提醒：若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双
22、 基1若 0k0)的左右焦点分别为 F1、F2，其一条渐近线方程为 yx，点 P(3，y0)在该双曲线上，则PF1 PF2()【导学号：33242165】A12B2C0D4C 由题意得 b22，F1(2,0)，F2(2,0)，又点 P(3，y0)在双曲线上，y201，PF1 PF2(2 3，y0)(2 3，y0)1y200，故选 C.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3双曲线虚轴的一个端点为 M，两个焦点为 F1、F2，F1MF2120，则双曲线的离心率为()A.3B 62C.63D 33课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页B 设双曲线方程为x
23、2a2y2b21(a0，b0)MF1F2 为等腰三角形，F1MF2120，MF1F230，tan 30bc 33，b2c213，c2a2c21ac213，ca232，e 62.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4与双曲线 x2y241 有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是_.【导学号：33242166】x23y2121 依题意设双曲线的方程为 x2y24(0)，将点(2,2)代入求得 3，所以所求双曲线的标准方程为x23y2121.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点 F(2 2
24、，0)作双曲线的一条渐近线的垂线，与该渐近线交于点 P，且OF FP6，求双曲线的方程解 法一：设双曲线的一条渐近线方程为 ybax，则过 F 且与其垂直的直线方程为 yab(x2 2)由ybax，yabx2 2可得点 P 的坐标为a22 2，ab2 2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页FPa22 22 2，ab2 2，OF FP(2 2，0)a22 22 2，ab2 2 6.解得 a22，b2c2a2(2 2)226，双曲线方程为x22y261.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页法二：设双曲线的一条渐近线方程为 ybax，点 P 在双曲线的渐近线上，故设其坐标为x，baxFPx2 2，bax，OF(2 2，0)由OF FP6 得 2 2(x2 2)6，即 x 22.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页又由OP FP0，得 x(x2 2)bax20，代入 x 22，得ba23.而 a2b2(2 2)28，a22，b26.双曲线方程为x22y261.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（十三）点击上面图标进入 谢谢观看