1、第六章数列第三讲等比数列及其前n项和1.2021陕西百校联考已知等比数列an的公比为q,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则q的值()A.12或2B.1或12C.2D.32.2021安徽省四校联考已知正项等比数列an的前n项和为Sn,若a4=18,S3-a1=34,则S4=()A.116B.18C.3116D.1583.2020合肥三检数学文化题公元前1650年左右的埃及莱因德纸草书上载有如下问题:“十人分十斗玉米,从第二人开始,各人所得依次比前人少八分之一,问每人各得玉米多少斗?”在上述问题中,第一人分得玉米()A.7089810-1斗B.10810810-710斗C
2、.1089810-710斗D.1088810-710斗4.2020南昌市测试公比不为1的等比数列an中,若a1a5=aman,则mn不可能为()A.5B.6C.8D.95.2020成都市高三摸底测试已知等比数列an的各项均为正数,若log3a1+log3a2+log3a12=12,则a6a7=()A.1B.3C.6D.96.2021四省八校联考已知等比数列an的公比为q,前n项和为Sn=m-qn,若a5=-8a2,则S5=.7.2020大同市高三调研已知各项均为正数的等比数列an中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=.8.2020全国卷,17,12分设等比数列an满足a1+
3、a2=4,a3-a1=8.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为数列log3an的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.9.条件创新已知等比数列an的前n项和为Sn,且an+1+3=Sn,a3=12,则实数的值为()A.-34B.-14C.14D.310.设问创新已知等比数列an的前5项积为32,1a11的等比数列an满足a52=a10,2(an+an+2)=5an+1.若bn=(n-)an(nN*),且数列bn是递增数列,则实数的取值范围是.16.2020海南,18,12分已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4=20,a3=8.(1)求an的通项公式;(2)求a1a2-a2a3+(
4、-1)n-1anan+1.答 案第六章数列第三讲等比数列及其前n项和1.A由题意知a1+a2+a3+a4=a1+14,且a2+a4=2(a3+1),两式联立,可解得a3=4,所以a2+a4=10,a2a4=a32=16,解得a2=2,a4=8或a2=8,a4=2,所以q=2或q=12,故选A.2.D解法一设等比数列an的公比为q(q0且q1),a4=18,S3-a1=34,a1(1-q3)1-q-a1=34,a1q3=18,得a1=1,q=12,S4=1(1-124)1-12=158.解法二设等比数列an的公比为q(q0且q1),S3-a1=a2+a3=a4q2+a4q=34,a4=18,q=
5、12,a1=a4q3=1,S4=a1+a2+a3+a4=1+34+18=158.3.C设第i个人分到的玉米斗数为ai(i=1,2,9,10),则an是公比为78的等比数列.由题意知a11-(78)101-78=10,所以a1=1081-(78)10=1089810-710.故选C.4.B由等比数列的性质可知,m+n=6,mN*,nN*,当m=n=3时,mn=9;当m=4,n=2时,mn=8;当m=5,n=1时,mn=5.故选B.5.D因为等比数列an的各项均为正数,所以log3a1+log3a2+log3a12=log3(a1a2a12)=log3 (a6a7)6=12,所以(a6a7)6=3
6、12=96,所以a6a7=9,故选D.6.33由a5=-8a2得a1q4=-8a1q(a10),解得q=-2,则Sn=a1(1-qn)1-q=a13-a13qn=m-qn,则a13=m=1,从而S5=1-(-2)5=33.7.52各项均为正数的等比数列an中,a1a2a3=a23=5,a7a8a9=a83=10,则a4a5a6=a53=a23a83=52.8.(1)设an的公比为q,则an=a1qn-1.由已知得a1+a1q=4,a1q2-a1=8.解得a1=1,q=3.所以an的通项公式为an=3n-1.(2)由(1)知log3an=n-1.故Sn=n(n-1)2.由Sm+Sm+1=Sm+3
7、得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0.解得m=-1(舍去)或m=6.9.A由条件得an+1+=3Sn,当n2时,an+=3Sn-1,两式相减,得an+1=4an,又a3=12,所以a2=3,a1=34,将n=1代入an+1+=3Sn,得a2+=3a1,得=-34.故选A.10.C因为等比数列an的前5项积为32,所以a35=32,解得a3=2,则a5=a32a1=4a1, a1+a32+a54=a1+1+1a1,易知函数f(x)=x+1x在(1,2)上单调递增,所以a1+a32+a54(3,72),故选C.11.B设an的公比为q,根据题意知a1a2=9,a
8、2a3=92,所以9=a2a3a1a2=a3a1=q2q=3.又a1a2=a12q=90q0,所以q=3.12.A设等比数列an的公比为q,a1=-6,a4=-34,-34=-6q3,解得q=12,an=-6(12)n-1.Tn=(-6)n(12)0+1+2+(n-1)=(-6)n(12)n(n-1)2,当n为奇数时,Tn0,故当n为偶数时,Tn才有可能取得最大值.T2k=36k(12)k(2k-1),T2k+2T2k=36k+1(12)(k+1)(2k+1)36k(12)k(2k-1)=36(12)4k+1,当k=1时,T4T2=981,当k2时,T2k+2T2k1.T2T6T8,则当Tn最
9、大时,n的值为4.故选A.13.在中,令m=n=1,得a2=a12;在中,Sn=an+1+1,当 n2时,Sn-1=an+1,两式相减,得an=an+1-an,即an+1=2an;在中,Sn=2an+1p,Sn+1=2an+1+1p,两式相减,得an+1=2an+1-2an,即an+1=2an.若选,则a2=a12,a1=a2+1,即a12=a1-1,a12-a1+1=0,=(-1)2-411=-30.由-a4,a3,a5成等差数列,得2a3=a5-a4,则q2-q-2=0,解得q=2,所以Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q=2an-a1,即Sn=2an-3.15.(-,3)2(
10、an+an+2)=5an+12q2-5q+2=0q=2或q=12(舍去),a52=a10(a1q4)2=a1q9a1=q=2,所以数列an的通项公式为an=2n,所以bn=(n-)2n(nN*),所以bn+1=(n+1-)2n+1.因为数列bn是递增数列,所以bn+1bn,所以(n+1-)2n+1(n-)2n,化简得n+2.因为nN*,所以3.【核心素养】试题设计步步紧扣,求等比数列通项公式的过程体现了数学运算核心素养,利用递增数列解题的过程则体现了逻辑推理核心素养.16.(1)设an的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=12(舍去),q=2.由题设得a1=2.所以an的通项公式为an=2n.(2)由(1)可知an=2n,则(-1)n-1anan+1=(-1)n-12n2n+1=8(-4)n-1,记Tn=a1a2-a2a3+(-1)n-1anan+1,则Tn=8(-4)0+8(-4)1+8(-4)n-1=81-(-4)n1-(-4)=851-(-4)n.
