1、河南省郑州市2021届高三数学第二次质量预测（二模）试题 文（含解析）一、选择题（每小题5分）.1设集合AxN|2x6，Bx|log2（x1）2，则AB（）Ax|3x5Bx|2x5C3，4D3，4，52设复数z满足（1+i）z2i，则|z|（）ABCD23如图是某统计部门网站发布的某市2020年212月国民经济和社会发展统计公报中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）下列说法错误的是（）2020年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%2020年9月CP1环比上升0.2%，同比无变化2020年3月C
2、PI环比下降1.1%，同比上涨0.2%2020年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7%ABCD4攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分多见于亭阁式建筑，园林建筑以四角攒尖为例，它的主要部分的轮席可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱长与底面外接圆的直径的比为（）ABCD5若直线x+aya10与圆C：（x2）2+y24交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧的长为（）ABC2D36在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，B30，ABC的面积为
3、，则b等于（）ABCD7执行如图的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于（）A2B2C2D28皮埃尔德费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的（p1）次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理依此定理，若在数集2，3，5，6，8中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为（）ABCD9已知双曲线1（a0，b0）的两个焦点分别为F1（c，0），F2（c，0）（c0），过点P（，0）的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且3，则双曲线的离心率
4、为（）ABCD10已知函数f（x）Acos（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）Af（x）2cos（）B不等式f（x）1的解集为（2k，2k+），kZC函数f（x）的一个单调递减区间为，D若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数记为g（x），则g（x）是奇函数11已知a5ln0，b4ln0，c3ln0，则a，b，c的大小关系是（）AbcaBacbCabcDcba12已知三棱锥PABC的各个顶点都在球O的表面上，PA底面ABC，ABAC，AB6，AC8，D是线段AB上一点，且AD5DB过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28，
5、则球O的表面积为（）A128B132C144D156二、填空题（每小题5分）.13直线yx+b是曲线ylnx的一条切线，则实数b的值为 14已知向量与的夹角为60，|3，|6，则2在方向上的投影为 15如果函数f（x）在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，xn，都有f（）若ysinx在区间（0，）上是凸函数，那么在ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是 16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a1，A，若b+c有最大值，则实数的取值范围是 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为
6、选考题，考生根据要求作答（一）必考题：每题12分，共60172021年2月25日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，习近平总书记庄严宣告：我国脱贫攻坚战取得全面胜利目前，河南省53个贫困县已经全部脱贫摘帽，退出贫困县序列.2016年起，我省某贫困地区创新开展产业扶贫，响应第三产业的扶贫攻坚政策，经济收入逐年增加该地的经济收入变化及构成比例如图所示：年份2016年2017年2018年2019年2020年年份代号x12345经济收入y（单位：百万元）59141720（）根据以上图表，试分析：与2016年相比，2020年第三产业与种植业收入变化情况；（）求经济收入y关于x的线性回归方程，并预测2025年
7、该地区的经济收入参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i1，2，3，n），其回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，18已知an是等差数列，bn是等比数列，且bn的前n项和为Sn，2a1b12，a55（a4a3），_在b54（b4b3），bn+1Sn+2这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（）求数列an和bn的通项公式；（）求数列anbn的前n项和Tn19在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别在棱AA1，CC1上，且AM2MA1，C1N2CN证明：（）点D在平面B1MN内；（）MNBD20如图，已知抛物线：y28x的焦点为F，准
8、线为l，O为坐标原点，A为抛物线上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线的另一个交点为B（）证明：直线BCx轴；（）设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BEBF证明：|AF|BF|821已知函数f（x）lnxa（x+1）（）讨论函数的单调性；（）对任意x0，求证：a（x+1）f（x）（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（t是参数，0，），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是4sin（）2cos（）写
9、出曲线C2的直角坐标方程；（）若曲线C1与C2有且仅有一个公共点，求sin2sincos的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x4|+|x+a|（a0）（）若a1，求不等式f（x）5的解集；（）若f（x）a22a+4恒成立，求实数a的取值范围参考答案一、选择题（每小题5分）.1设集合AxN|2x6，Bx|log2（x1）2，则AB（）Ax|3x5Bx|2x5C3，4D3，4，5解：A3，4，5，Bx|0x14x|1x5，AB3，4故选：C2设复数z满足（1+i）z2i，则|z|（）ABCD2解：（1+i）z2i，（1i）（1+i）z2i（1i），zi+1则|z|故选：C3如图是某统
10、计部门网站发布的某市2020年212月国民经济和社会发展统计公报中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）下列说法错误的是（）2020年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%2020年9月CP1环比上升0.2%，同比无变化2020年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2%2020年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7%ABCD解：根据折线图（下图）可得，其中上一条折线为月度同比折线图，下一条为月度环比折线图，所以根据数据可得，9月份月度环比比上年上涨0.5%，同比比上年上涨2.1%，故正确
11、；根据数据可得，3月份月度环比比上年下降0.2%，同比比上年上涨1.7%，故正确；因此错误故选：B4攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分多见于亭阁式建筑，园林建筑以四角攒尖为例，它的主要部分的轮席可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱长与底面外接圆的直径的比为（）ABCD解：正四棱锥的底面是正方形，其外接圆的半径为R，则正方形的边长为，因为正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为，设侧棱长为l，则有，解得，所以侧棱长与底面外接圆的直径的比为故选：D5若直线x+aya10与圆C：（x2
12、）2+y24交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧的长为（）ABC2D3解：直线x+aya10可化为：（x1）+a（y1）0，则当x10且y10，即x1且y1时，等式恒成立，所以直线恒过定点M（1，1），设圆的圆心为C（2，0），半径r2，当MC直线AB时，|AB|取得最小值，且最小值为222，此时弦长AB对的圆心角为，所以劣弧长为2，故选：B6在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，B30，ABC的面积为，则b等于（）ABCD解：由余弦定理得b2a2+c22accosB（a+c）22ac2accosB，又SABCacsinBac，ac6，a、b、c成等差数列
13、，a+c2b，将代入得 b24b2126，化简整理得b24+2，解得b1+故选：A7执行如图的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于（）A2B2C2D2解：第一次执行循环体后，s1，x，不满足退出循环的条件x0.01；再次执行循环体后，s1+，x，不满足退出循环的条件x0.01；再次执行循环体后，s1+，x，不满足退出循环的条件x0.01；由于0.01，而0.01，可得：当s1+，x，此时，满足退出循环的条件x0.01，输出s1+2故选：C8皮埃尔德费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的（
14、p1）次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理依此定理，若在数集2，3，5，6，8中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为（）ABCD解：在数集2，3，5，6，8中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，基本事件总数n20，所取两个数（p，a）符合费马小定理包含的基本事件有：（2，3），（2，5），（3，2），（3，5），（3，8），（5，2），（5，3），（5，6），（5，8），共9个，所取两个数符合费马小定理的概率为P故选：B9已知双曲线1（a0，b0）的两个焦点分别为F1（c，0），F2（c，0）（c0），过点P（，0）的直线与双曲线
15、的左、右两支分别交于A，B两点，且3，则双曲线的离心率为（）ABCD解：由3可知，F1AF2B，所以AF1PBF2P，且，即，化简可得，即e22，所以e（负值舍去），故选：A10已知函数f（x）Acos（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）Af（x）2cos（）B不等式f（x）1的解集为（2k，2k+），kZC函数f（x）的一个单调递减区间为，D若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数记为g（x），则g（x）是奇函数解：根据函数f（x）Acos（x+）（A0，0，|）的部分图象，可得A2，+，结合五点法作图，可得+0，f（x）2cos（），故A错
16、误；不等式f（x）1，即 cos（），2k2k+，求得 4kx4k+，故不等式的解集为（4k，4k+），kZ，故B错误；当x，时，f（x）没有单调性，故C错误；将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数记为g（x）2cos（）2sin，则g（x）是奇函数，故D正确故选：D11已知a5ln0，b4ln0，c3ln0，则a，b，c的大小关系是（）AbcaBacbCabcDcba解：令f（x）xlnx，则，当x1时，f（x）0，函数单调递增，当0x1时，f（x）0，函数单调递减故f（5）f（4）f（3），所以5ln54ln43ln3，因为a5lnlnaln50，b4lnlnbln40
17、，c3lnlncln30，所以alna5ln5，blnb4ln4，clnc3ln3，故alnablnbclnc，所以f（a）f（b）f（c），因为a4lnaln40得0a4，又alna4ln4，所以f（a）f（4），则0a1，同理f（b）f（3），f（c）f（2），所以0b1，0c1，所以cba故选：C12已知三棱锥PABC的各个顶点都在球O的表面上，PA底面ABC，ABAC，AB6，AC8，D是线段AB上一点，且AD5DB过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28，则球O的表面积为（）A128B132C144D156解：因为ABAC，AB6，AC8，所以，设面ABC所截的
18、截面圆的圆心为O，外接球的球心为O，则O为BC的中点，且OO平面ABC，则有OAOBOC，取AB的中点E，连结OE，OO，则OE，因为AD5DB，AB8，E为AB的中点，所以DE2，所以，设OOx，则有OD2OD2+OO220+x2，则球的半径R2OA2+x252+x225+x2，故与OD垂直的截面圆的半径，所以截面圆面积的最小值为r25，截面圆面积的最大值为R2，由题意可得R2528，解得R233，所以球的表面积为S4R2132故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13直线yx+b是曲线ylnx的一条切线，则实数b的值为ln31解：y（lnx），令，得x3，切点为（3，ln3
19、），代入直线方程yx+b，ln33+b，bln31故答案为：ln3114已知向量与的夹角为60，|3，|6，则2在方向上的投影为3解：向量与的夹角为60，|3，|6，可得2在方向上的投影为：3故答案为：315如果函数f（x）在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，xn，都有f（）若ysinx在区间（0，）上是凸函数，那么在ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是解：ysinx在区间（0，）上是凸函数，且在ABC中，A，B，C（0，），A+B+C，sinsin，sinA+sinB+sinC故答案为：16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a1，A，若b+c有最大
20、值，则实数的取值范围是（，）解：因为a1，A，由正弦定理得：，所以b+c（sinB+sinC）sinB+sin（B）sinB+（cosBsinB）（1）sinB+cosBsin（B+），其中tan，由B（0，），b+c存在最大值，即B+有解，即（，），可得10，解得，又1，解得，则实数的取值范围是（，）故答案为：（，）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：每题12分，共60172021年2月25日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，习近平总书记庄严宣告：我国脱贫攻坚战取得全面胜利目
21、前，河南省53个贫困县已经全部脱贫摘帽，退出贫困县序列.2016年起，我省某贫困地区创新开展产业扶贫，响应第三产业的扶贫攻坚政策，经济收入逐年增加该地的经济收入变化及构成比例如图所示：年份2016年2017年2018年2019年2020年年份代号x12345经济收入y（单位：百万元）59141720（）根据以上图表，试分析：与2016年相比，2020年第三产业与种植业收入变化情况；（）求经济收入y关于x的线性回归方程，并预测2025年该地区的经济收入参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i1，2，3，n），其回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，解：（）与2016年相
22、比，2020年第三产业的收入占比大幅度增加；2016年第三产业的收入为0.3百万元，2020年第三产业的收入为6百万元，收入大幅度增加；与2016年相比，种植业收入占比减少，但种植业收入依然保持增长；（）由表格中的数据可知，则，所以1.6，故经济收入y关于x的线性回归方程为3.8x+1.6，当x10时，39.6，则2025年该地区的经济收入预测为39.6百万元18已知an是等差数列，bn是等比数列，且bn的前n项和为Sn，2a1b12，a55（a4a3），_在b54（b4b3），bn+1Sn+2这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（）求数列an和bn的通项公式；（
23、）求数列anbn的前n项和Tn解：等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，选b54（b4b3），（）由2a1b12，a55（a4a3），b54（b4b3），可得1+4d5d，2q44（2q32q2），解得d1，q2，则an1+n1n，bn22n12n；（）anbnn2n，则Tn（1+2+3+n）（2+4+8+2n）n（n+1）（n2+n）2n+1+2选bn+1Sn+2，（）由2a12，a55（a4a3），bn+1Sn+2，可得1+4d5d，解得d1，由b12，bn+1Sn+2，当n2时，bnSn1+2，可得bn+1bnSnSn1bn，即bn+12bn，由n1时，b2S1+2b1+24，
24、所以bnb22n22n，上式对n1也成立，所以an1+n1n，bn22n12n；（）anbnn2n，则Tn（1+2+3+n）（2+4+8+2n）n（n+1）（n2+n）2n+1+219在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别在棱AA1，CC1上，且AM2MA1，C1N2CN证明：（）点D在平面B1MN内；（）MNBD【解答】证明：（）连接MD，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别在棱AA1，CC1上，且AM2MA1，C1N2CN，由平行线性质定理得到MDB1N，四边形MDNB1是平面图形，点D在平面B1MN内；（）连接AC，BD，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点
25、M，N分别在棱AA1，CC1上，ACBD，AA1BD，ACAA1A，AC，AA1平面ACC1A1，BD平面ACC1A1，MN平面ACC1A1，MNBD20如图，已知抛物线：y28x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线的另一个交点为B（）证明：直线BCx轴；（）设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BEBF证明：|AF|BF|8解：（）证明：由抛物线的性质可得焦点F（2，0），准线方程为x2，设A（，y1），B（，y2），所以直线AO的方程为：yx，由题意可得C（2，），设直线AB的方程为：xmy+2，联立，整理可得y28my160，所以y
26、1y216，可得y2，所以yCy2，所以BCx轴；（）证明：因为准线方程为x2，由题意可得E（2，0），（2，y2），（2，y2），因为BEBF，所以0，即y22+（2）（2）0，解得y2，x22+4，由（）可得x1x24，所以x124，|AF|x1+2，|BF|x2+2，所以可证：|AF|BF|x1x2|821已知函数f（x）lnxa（x+1）（）讨论函数的单调性；（）对任意x0，求证：a（x+1）f（x）解：（）由题意得f（x）的定义域是（0，+），f（x）a，当a0时，f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）单调递增，当a0时，令f（x）0，解得0x，令f（x）0，解得：x，f（x）在（0
27、，）上单调递增，在（，+）上单调递减；综上：当a0时，f（x）在（0，+）单调递增，当a0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减；（）证明：要证a（x+1）f（x），即证lnx0，令g（x）lnx，则g（x），令r（x）2（x1）exe2x，则r（x）2xexe2，由r（x）在（0，+）单调递增，且r（1）2ee20，r（2）3e20，存在唯一的实数x0（1，2），使得r（x0）0，r（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，r（0）0，r（2）0，当r（x）0时，x2，当r（x）0时，0x2，g（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，g（x）g（
28、2）1ln20，综上，lnx0，即a（x+1）f（x）（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（t是参数，0，），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是4sin（）2cos（）写出曲线C2的直角坐标方程；（）若曲线C1与C2有且仅有一个公共点，求sin2sincos的值解：（）曲线C2的极坐标方程是4sin（）2cos，根据转换为直角坐标方程为x2+y22x+4y，即（x1）2+（y2）25（）曲线C1的参数方程
29、是（t是参数，0，），转换为直角坐标方程为ykx+5，（k0），利用圆心（1，2）到直线的距离公式，解得k，（负值舍去），故k2，即tan2，所以sin，cos，故sin2sincos选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x4|+|x+a|（a0）（）若a1，求不等式f（x）5的解集；（）若f（x）a22a+4恒成立，求实数a的取值范围解：（）若a1，不等式f（x）5即为|2x4|+|x+15，等价为或或，解得x1或1x0或x4，所以原不等式的解集为（，04，+）：（）若f（x）a22a+4恒成立，即为（|2x4|+|x+a|）mina22a+4，a0，而|2x4|+|x+a|x2|+（|x2|+|x+a|）|22|+|x2xa|a+2|a+2，当x2时，上式取得等号，所以a22a+4a+2，即a23a+20，解得1a2，即a的取值范围是1，2
