1、2.1. 认识无理数一、学生起点分析通过前一章勾股定理的学习，学生已经明白什么是勾股数，但也发现并不是所有的直角三角形的边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是，例如：腰长为1的等腰直角三角形的底边长不是有理数，两条直角边分别为1，2的直角三角形的斜边长不是有理数，这为引入“新数”奠定了必要性二、教学任务分析 数不够用了是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章实数的第一节 本节学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数，会判断一个数是无理数，并能结合实际判别有理数和无理数.在活动中进一步发展学生
2、独立思考的意识和合作交流的能力，在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系，而且对今后学习数学也有着重要意义. 本节课的教学目标是：1.通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在； 2.能判断三角形的某边长是否为无理数； 3.学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和探索精神；4.能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解；5.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.6探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判
3、断能力.7能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.8.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力.三、教学过程设计本节课设计了6个教学环节：第一环节：质疑；第二环节：课题引入；第三环节：获取新知；第四环节：知识分类整理；第五环节：应用与巩固；第六环节：课堂小结；第七环节：作业布置 第一环节：质疑内容：【想一想】1.一个整数的平方一定是整数吗？ 2.一个分数的平方一定是分数吗？目的：作必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理效果：为后续环节的进行起了很好的铺垫的作用 第二环节：课题引入内容：
4、1【算一算】已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长的平方 ，并提出问题：是整数（或分数）吗？ 2【剪剪拼拼】把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？目的：选取客观存在的“无理数“实例，让学生深刻感受“数不够用了”效果：巧设问题背景，顺利引入本节课题3. 有理数是如何分类的？ 整数（如，0，2，3，)有理数 分数(如，0.5， )4. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率，0.020020002上节课又了解到一些数，如，中的a，b不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.意图：通过这些问题让
5、学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.效果：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数不够用了（2）”.第三环节：获取新知1.认识无理数： 【议一议】： 已知，请问：可能是整数吗？可能是分数吗？【释一释】：释1满足的为什么不是整数？ 释2满足的为什么不是分数？【忆一忆】：让学生回顾“有理数”概念，既然不是整数也不是分数，那么一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段目的：创设从感性到理性的认知过程，让学生充分感受“新数”（无
6、理数）的存在，从而激发学习新知的兴趣 效果：学生感受到无理数产生的过程，确定存在一种数与以往学过的数不同，产生了学习新数的必要性2. 探索无理数的小数表示内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a和面积为5的正方形的边长b进行估计.请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.边长a面积s1a21s41.4a1.51.96s2.251.41a1.421.9881s2.01641.414a1.4151.999396s2.0022251.4142a1.41431.99996164s2.000
7、24449归纳总结:a是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.目的：让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a=1.41421356，b=2.2360679，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想.效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续定义无理数打下基础.3. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.议一议：分数化成小数，最终此小数
8、的形式有哪几种情况？探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.强调：像0.585885888588885，1.41421356，2.2360679等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率=3.14159265也是一个无限不循环小数，故是无理数).目的：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性，建立了无理数的概念.第四环节：知识分类整理内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？(按小数的
9、形式来分).有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数整数分数强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?目的：培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解.效果：通过师生的共同探究，形成对中学现阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力.第五环节：应用与巩固1.认识无理数【画一画1】：在右1的正方形网格中，画出两条线段：1 长度是有理数的线段 2长度不是有理数的线段 【画一画2】：在右2的正方形网格中画出四个三角形 （右1）1三边长都是有理数 2只有两边长是有理数3只有一边长是有理数
10、4三边长都不是有理数 【仿一仿】：例：在数轴上表示满足的 解： （右2） 仿：在数轴上表示满足的【赛一赛】：右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！ （右3）目的：进一步感受“新数”的存在，而且能把“新数”表示在数轴上 效果：加深了对“新知”的理解，巩固了本课所学知识 2.认识一个数是无理数还是有理数.例1：填空:0.351， 3.14159， 6， 5.2323332，1234567891011(由相继的正整数组成). 有理数集合无理数集合例2： 判断下列说法是否正确(1)有限小数是有理数; （ ）(2)无限小数都是无理数; （ ）(3)无理数
11、都是无限小数; （ ）(4)有理数是有限数. （ ）例3：以下各正方形的边长是无理数的是（ ） (A）面积为25的正方形； (B） 面积为的正方形；(C） 面积为8的正方形； (D） 面积为1.44的正方形. 35a例4：一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜边a是有理数吗?解:由勾股定理得: ，即.因为34不是完全平方数，所以a不是有理数.强调:1. 无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.2. 任何一个有理数都可以化成分数形式（q 0， p，q 为整数且互质），而无理数则不能.练一练：1.课本P23 随堂练习.2.已知：在数， ，1.424224222中，（1）写出
12、所有有理数；（2）写出所有无理数；（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“”连接.目的：通过例题的讲解、练习，让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别，感受数的分类.效果：通过学生练习，更加明确了有理数、无理数的概念，及它们之间的区别与联系，激发学生学习兴趣，巩固了对概念的理解.第六环节：课堂小结内容： 1通过本课学习，感受有理数又不够用了， 请问你有什么收获与体会？ 2客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？ 3除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？4无理数的定义.5你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？6请把已学过的数怎样分类？目的：引导学生自己小结本节课
13、的知识要点及数学方法，使知识系统化让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结，并整理成经验，形成知识体系，培养学生良好的学习习惯，提高其归纳总结能力.效果：学生总结、相互补充，学会进行概括总结师生共同总结补充，形成完整的知识体系.第七环节：布置作业习题2.1习题2.2 1.2.3.六、教学设计反思（一）生活是数学的源泉，兴趣是学习的动力大量事实都证明一点，与生活贴得越近的东西最容易引起学习者的浓厚兴趣，才能激发学习者的学习积极性，学习才可能是主动的本节课中教师首先用拼图游戏引发学生学习的欲望，把课程内容通过学生的生活经验呈现出来，然后进行大胆置疑，生活中的数并不都是有理数，那它们究竟是什么数呢？
14、从而引发了学生的好奇心，为获取新知，创设了积极的氛围在教学中，不要盲目的抢时间，让学生能够充分的思考与操作（二）化抽象为具体常言道：“数学是锻炼思维的体操”，数学教师应通过一系列数学活动开启学生的思维，因此对新数的学习不能仅仅停留于感性认识，还应要求学生充分理解，并能用恰当数学语言进行解释正是基于这个原因，在教学过程中，刻意安排了一些环节，加深对新数的理解，充分感受新数的客观存在，让学生觉得新数并不抽象（三）强化知识间联系，注意纠错 既然称之为“新数”，那它当然不是有理数，亦即不是整数，也不是分数，所以“新数”不可以用分数来表示，这为进一步学习“新数”，即第二课时教学埋下了伏笔，在教学中，要着重强调这一点：“新数”不能表示成分数，为无理数的教学奠好基6
