1、第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离的(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆(2)相关概念：两个定点 F1，F2 叫做椭圆的，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的和等于常数
2、焦点焦距课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考 1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示 2a 与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a|F1F2|动点的轨迹是线段 F1F22a|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2.椭圆的标准方程焦点位置在 x 轴上在 y 轴上标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形焦点坐标(c,0)(0，c)a，b，c 的
3、关系a2 b2c2课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考 2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？提示 a，b 的值及焦点所在的位置课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1思考辨析(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆x216y2251 的焦点坐标是(3,0)()(3)y2a2x2b21(ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆()提示(1)2a|F1F2|.(2)(0，3)(3)ab0 时表示焦点在 y 轴上的椭圆课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2以下方程表示椭圆的是()Ax
4、225y2251 B2x23y22C2x23y21Dx2n2 y2n220C A 中方程为圆的方程，B，D 中方程不是椭圆方程课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是 2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是()【导学号：73122091】A.x25y241B.x23y241C.x25y241 或x23y241D.x29y241 或x23y241C 若椭圆的焦点在 x 轴上，则 c1，b2，得 a25，此时椭圆方程是x25y241；若焦点在 y 轴，则 a2，c1，则 b23，此时椭圆方程是x23y241.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探
5、新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程：【导学号：73122092】(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点 A(3，2)和点 B(2 3，1)思路探究 求椭圆标准方程，先确定焦点位置，设出椭圆方程，再定量计算课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解析 (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为x2a2y2b21(ab0)2a 542 54210，a5.又 c4，b2a2c225169.故所求椭圆的标准
6、方程为x225y291.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上，设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，4a2 0b21，0a2 1b21，a24，b21.故所求椭圆的标准方程为y24x21.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(3)法一：当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)依题意有 32a2 22b21，2 32a2 1b21，解得a215，b25.故所求椭圆的标准方程为x215y251.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难
7、返首页当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab0)依题意有22a2 32b2 1，1a22 32b21，解得a25，b215.因为 ab0，所以无解综上，所求椭圆的标准方程为x215y251.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页法二：设所求椭圆的方程为 mx2ny21(m0，n0，mn)，依题意有3m4n1，12mn1，解得m 115，n15.所以所求椭圆的标准方程为x215y251.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 确定椭圆方程的“定位”与“定量”提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在 x 轴上和在 y
8、轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2By21(A0，B0，AB)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点分别为(0，2)，(0,2)，经过点(4,3 2)；(2)经过两点(2，2)，1，142.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)法一：因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以可设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)由椭圆的定义知 2a 4023 222 4023 22212，所以 a6.又 c2，所以 b a2c24 2.所以椭圆的标准方程为y236x2321.课时分层作业当堂达标固双
9、基自主预习探新知合作探究攻重难返首页法二：因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以可设其标准方程为y2a2x2b21(ab0)由题意得18a216b21，a2b24，解得a236，b232.所以椭圆的标准方程为y236x2321.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)法一：若椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)由已知条件得 4a2 2b21，1a2 144b21，解得 1a218，1b214.所以所求椭圆的标准方程为x28y241.同理可得：焦点在 y 轴上的椭圆不存在综上，所求椭圆的标准方程为x28y241.课时分层作业当堂达标固双基自主
10、预习探新知合作探究攻重难返首页法二：设椭圆的一般方程为 Ax2By21(A0，B0，AB)将两点(2，2)，1，142代入，得4A2B1，A144 B1，解得A18，B14，所以所求椭圆的标准方程为x28y241.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页与椭圆有关的轨迹问题 如图 2-1-1，圆 C：(x1)2y225 及点 A(1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M，求点 M 的轨迹方程.【导学号：73122093】图 2-1-1课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 由垂直平分线性质可知|MQ|MA|，|CM|MA|CM|M
11、Q|CQ|.|CM|MA|5.M 点的轨迹为椭圆，其中 2a5，焦点为 C(1,0)，A(1,0)，a52，c1，b2a2c2254 1214.所求轨迹方程为：x2254y22141.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出 a，c，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y
12、29，动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，求动圆圆心的轨迹方程课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 如图所示，设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页由题意动圆 M 内切于圆 C1，|MC1|13r.圆 M 外切于圆 C2，|MC2|3r.|MC1|MC2|16|C1C2|8，动圆圆心 M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆，且 2a16,2c8，b2a2c2641648，故所求轨迹方程为x264y2481.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页椭圆的定义及其
13、应用 探究问题1如何用集合语言描述椭圆的定义？提示 PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2|课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2如何判断椭圆的焦点位置？提示 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中 x2 项和 y2 项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3椭圆标准方程，a，b，c 三个量的关系是什么？提示 椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以 ab，ac，且 a2b2c2.(如图所
14、示)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 如图 2-1-2 所示，已知椭圆的方程为x24y231，若点 P 为椭圆上的点，且PF1F2120，求PF1F2 的面积【导学号：73122094】图 2-1-2课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究 由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用面积公式求解解 由已知 a2，b 3，得 c a2b2 431，|F1F2|2c2，在PF1F2 中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即|PF2|2|P
15、F1|242|PF1|.由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页代入解得|PF1|65.所以 SPF1F212|PF1|F1F2|sin 12012652 32 3 35，即PF1F2 的面积是35 3.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页母题探究：1.(变换条件)把本例条件“PF1F2120”改为“F1PF2120”求PF1F2 的面积解 由已知得 a2，b 3，c1，|F1F2|2在PF1F2 中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 120即
16、 4|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，由椭圆定义得|PF1|PF2|4，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页|PF1|PF2|12，所以 SPF1F212|PF1|PF2|sin 1201212 32 3 3，即PF1F2 的面积是 3 3.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2(改变问法)在例题题设条件不变的情况下，求点 P 的坐标解 设 P 点坐标为(x0，y0)由本例解答可知 SPF1F212|F1F2|y0|35 3，解得|y0|35 3，即 y035 3，将 y035 3代入x24y2
17、31 得 x85，所以点 P 的坐标为85，35 3.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F2 构成的 F1PF2 称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积，若已知F1PF2，可利用 S12absin C 把|PF1|PF2|看成一个整体，利用定义|PF1|PF2|2a 及余弦定理求出|PF1|PF2|，这样可以减少运算量.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1已知点 M 到两个定点 A(1
18、,0)和 B(1,0)的距离之和是定值 2，则动点M 的轨迹是()【导学号：73122095】A 一个椭圆B线段 ABC线段 AB 的垂直平分线D直线 ABB 定值 2 等于|AB|，故点 M 只能在线段 AB 上课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知椭圆x225y2161 上一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3，则到另一个焦点的距离为()A1 B5 C2 D7D 由|PF1|PF2|10 可知到另一焦点的距离为 7.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3椭圆x225y291 的两个焦点为 F1，F2，过 F2 的直线交椭圆于 A，B 两点
19、，则ABF1 的周长为()A10B20 C40D50B 由椭圆的定义得|AF1|AF2|2a10，|BF1|BF2|2a10，所以ABF1 的周长为|AF1|BF1|AB|20，故选 B.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4设 F1，F2 分别为椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右两个焦点，若椭圆 C 上的点 A1，32 到 F1，F2 两点的距离之和为 4，则椭圆 C 的方程是_【导学号：73122096】x24y231 由|AF1|AF2|2a4 得 a2，原方程化为x24y2b21，将 A1，32 代入方程得 b23，椭圆方程为x24y231.课时分层
20、作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5如图 2-1-3，在圆 x2y24 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足当点 P 在圆上运动时，求线段 PD 的中点 M 的轨迹图 2-1-3课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)，则 xx0，yy02.因为点 P(x0，y0)在圆 x2y24 上，所以 x20y204.把 x0 x，y02y 代入方程，得 x24y24，即x24y21.所以点 M 的轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（七）点击上面图标进入 谢谢观看
