1、4.5三角函数的图象与性质考试要求1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2上，正切函数在上的性质知识梳理1用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数ysinx，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)(2)在余弦函数ycosx，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysinxycosxytanx图象定义域RR值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k对称中心(k
2、，0)对称轴方程xkxk常用结论1对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期2奇偶性若f(x)Asin(x)(A，0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)正切函数ytanx在定义域内是增函数()(2)已知yksinx1，xR，则y的最大值为k1.()(3)ysin|x|是偶函数()(4)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数
3、f(x)的周期()教材改编题1若函数y2sin2x1的最小正周期为T，最大值为A，则()AT，A1BT2，A1CT，A2DT2，A2答案A2函数f(x)2tan的定义域是()A.B.C.D.答案D解析由2xk，kZ，得x，kZ.3函数y3cos的单调递减区间是_答案，kZ解析因为y3cos，令2k2x2k，kZ，求得kxk，kZ，可得函数的单调递减区间为，kZ.题型一三角函数的定义域和值域例1(1)函数y的定义域为_答案解析要使函数有意义，则即故函数的定义域为.(2)函数ysinxcosxsinxcosx的值域为_答案解析设tsinxcosx，则t2sin2xcos2x2sinxcosx，si
4、nxcosx，且t.yt(t1)21，t，当t1时，ymax1；当t时，ymin.函数的值域为.教师备选1函数y的定义域为_答案(kZ)解析要使函数有意义，必须使sinxcosx0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上ysinx和ycosx的图象，如图所示在0,2内，满足sinxcosx的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.2函数f(x)sin2xcosx的最大值是_答案1解析由题意可得f(x)cos2xcosx21.x，cosx0,1当cosx，即x时，f(x)取最大值为1.思维升华(1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助
5、三角函数的图象来求解(2)三角函数值域的不同求法把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域利用sinxcosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域跟踪训练1(1)(2021北京)函数f(x)cosxcos2x，试判断函数的奇偶性及最大值()A奇函数，最大值为2B偶函数，最大值为2C奇函数，最大值为D偶函数，最大值为答案D解析由题意，f(x)cos (x)cos (2x)cosxcos2xf(x)，所以该函数为偶函数，又f(x)cosxcos2x2cos2xcosx122，所以当cosx时，f(x)取最大值.(2)函数ylg
6、(sin2x)的定义域为_答案解析函数ylg(sin2x)，应满足解得其中kZ，3x或0x，函数的定义域为.题型二三角函数的周期性、奇偶性、对称性例2 (1)(2019全国)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是()Af(x)|cos2x|Bf(x)|sin2x|Cf(x)cos|x|Df(x)sin|x|答案A解析A中，函数f(x)|cos2x|的周期为，当x时，2x，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)|sin2x|的周期为，当x时，2x，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)cos|x|cosx的周期为2，故C不正确；D中，f(x)sin|x|由正弦函数图
7、象知，在x0和x0)的周期为，函数yAtan(x)(0)的周期为求解跟踪训练2(1)(2021全国乙卷)函数f(x)sincos最小正周期和最大值分别是()A3和B3和2C6和D6和2答案C解析因为函数f(x)sincossin，所以函数f(x)的最小正周期T6，最大值为.(2)已知f(x)Acos(x)(A0，0,00，0，00)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则_.答案解析f(x)sinx(0)过原点，当0x，即0x时，ysinx单调递增；当x，即x时，ysinx单调递减由f(x)sinx(0)在上单调递增，在上单调递减，知，.(2)已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围
8、是_答案解析由x0，得x0，kZ，解得k0，所以.教师备选(2022定远县育才学校月考)已知函数f(x)sin(x)，x为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则的最大值为()A11B9C7D1答案B解析因为x为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，所以T(nN)，即(nN)，所以2n1(nN)，即为正奇数因为f(x)在上单调，则，即T，解得12.当11时，k，kZ，因为|，所以，此时f(x)sin.当x时，11x，所以f(x)在上不单调，不满足题意；当9时，k，kZ，因为|，所以，此时f(x)sin.当x时，9x，此时f(x)在上单调递减，符合题意故的最大值为
9、9.思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0)在区间上单调递增，则的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析当x时，x0)在区间上单调递增，所以解得，因为0，所以的取值范围是.课时精练1y|cosx|的一个单调递增区间是()A.B0，C.D.答案D解析将ycosx的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y|cosx|的图象(如图)故选D.2函数f(x)的定义域为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案B解析由题意，得2sinx
10、10，x(kZ)，则x(kZ)3函数f(x)sincos是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为2的非奇非偶函数D最小正周期为的非奇非偶函数答案D解析由题意可得f(x)sincossincossin2，f(x)cos，故f(x)的最小正周期T，由函数奇偶性的定义易知，f(x)为非奇非偶函数4函数f(x)在，的图象大致为()答案D解析由f(x)f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A；又f1，f()0，排除B，C.5关于函数f(x)sin2xcos2x，下列命题中为假命题的是()A函数yf(x)的周期为B直线x是yf(x)图象的一条对称轴C点是yf(x)图
11、象的一个对称中心Dyf(x)的最大值为答案B解析因为f(x)sin2xcos2xsin，所以f(x)的最大值为，故D为真命题；因为2，故T，故A为真命题；当x时，2x，终边不在y轴上，故直线x不是yf(x)图象的一条对称轴，故B为假命题；当x时，2x0，终边落在x轴上，故点是yf(x)图象的一个对称中心，故C为真命题6(2022广州市培正中学月考)关于函数f(x)sin|x|sinx|，下列叙述正确的是()Af(x)是奇函数Bf(x)在区间上单调递增Cf(x)的最大值为2Df(x)在，上有4个零点答案C解析f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sinx|f(x)，f(x)是偶函数，A错
12、误；当x时，f(x)sinxsinx2sinx，单调递减，B错误；f(x)sin|x|sinx|112，且f2，C正确；在，上，当x0，当0x0，f(x)的零点只有，0，共三个，D错误7写出一个周期为的偶函数f(x)_.(答案不唯一)答案cos2x8(2022上外浦东附中检测)若在内有两个不同的实数值满足等式cos2xsin2xk1，则实数k的取值范围是_答案0k1解析函数f(x)cos2xsin2x2sin，当x时，f(x)2sin单调递增；当x时，f(x)2sin单调递减，f(0)2sin1，f2sin2，f2sin1，所以在内有两个不同的实数值满足等式cos2xsin2xk1，则1k12
13、，所以0k0)的最小正周期为.(1)求及f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)图象的对称中心解(1)f(x)4sinx12sin2x2sinxcosx11cos2xsin2x1sin2xcos2x2sin.最小正周期为，1，f(x)2sin，令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)令2xk，kZ，解得x，kZ，f(x)图象的对称中心为，kZ.10(2021浙江)设函数f(x)sinxcosx(xR)(1)求函数y2的最小正周期；(2)求函数yf(x)f在上的最大值解(1)因为f(x)sinxcosx，所以fsincoscosxsinx，所以y2(cosx
14、sinx)21sin2x.所以函数y2的最小正周期T.(2)fsincossinx，所以yf(x)fsinx(sinxcosx)(sinxcosxsin2x)sin.当x时，2x，所以当2x，即x时，函数yf(x)f在上取得最大值，且ymax1.11(2022苏州模拟)已知函数f(x)sin，则下列结论不正确的是()Ax是函数f(x)的一个零点B函数f(x)在区间上单调递增C函数f(x)的图象关于直线x对称D函数f是偶函数答案D解析对于A选项，因为fsin00，故x是函数f(x)的一个零点，A对；对于B选项，当x时，2x，所以函数f(x)在区间上单调递增，B对；对于C选项，因为对称轴满足2xk
15、，kZ，解得x，kZ，当k0时，x，C对；对于D选项，令g(x)fsinsin，则g0，gsin0，故函数f不是偶函数，D错12(2022厦门模拟)已知函数f(x)cos2cos2x，则下列结论正确的是()Af(x)的最大值为Bf(x)的图象关于点对称Cf(x)的图象的对称轴方程为x(kZ)Df(x)在0,2上有2个零点答案C解析f(x)cos2xcos2xsin2xcos2xsin，则f(x)的最大值为，A错误；易知f(x)图象的对称中心的纵坐标为，B错误；令2xk(kZ)，得x(kZ)，此即f(x)图象的对称轴方程，C正确；由f(x)sin0，得sin，当x0,2时，2x，作出函数ysin
16、x的图象，如图所示所以方程sin在0,2上有4个不同的实根，即f(x)在0,2上有4个零点，D错误13(2022绵阳中学实验学校模拟)已知sinxcosy，则sinxsin2y的最大值为_答案解析sinxcosy，sinx1,1，sinxcosy1,1，cosy，即cosy，sinxsin2ycosy(1cos2y)cos2ycosy21，又cosy，利用二次函数的性质知，当cosy时，(sinxsin2y)max21.14(2022苏州八校联盟检测)已知f(x)sinxcosx，若yf(x)是偶函数，则cos_.答案解析因为f(x)sin，所以f(x)sin，又因为yf(x)是偶函数，所以k
17、，kZ，即k，kZ，所以coscos.15(2022江西九江一中模拟)已知函数f(x)sin(0)，若方程f(x)0在0,2上有且仅有6个根，则实数的值可能为()A2B3C4D5答案B解析令f(x)sin0，则xk，kZ，所以x，kZ，所以当x0时，函数f(x)的第一个零点为x1，第六个零点为x6，第七个零点为x7，因为方程f(x)0在0,2上有且仅有6个根等价于函数yf(x)在0,2上有且仅有6个零点，所以2，所以.16已知f(x)sin2sincos.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若函数y|f(x)|m在区间上恰有两个零点x1，x2.求m的取值范围；求sin(x1x2)的值解(1)f(x)sin2sincossincos2xsin2xcos2xsin2xcos2xsin，结合正弦函数的图象与性质，可得当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，函数单调递增，函数yf(x)的单调递增区间为(kZ)(2)令t2x，当x时，t，sint，y(如图)要使y|f(x)|m在区间上恰有两个零点，m的取值范围为m或m0.设t1，t2是函数ym的两个零点，由正弦函数图象性质可知t1t2，即2x12x2.x1x2，sin(x1x2).
