1、5 导数及其应用(二)真题热身1(2011山东)函数 yx22sin x 的图象大致是()解析 因为 yx22sin x 是奇函数，所以其图象关于原点对称，因此可排除 A.为求解本题，应先研究x22sin x，即 sin x14x，在同一坐标系内作出 y1sin x 与 y214x 的图象，如图，可知，当 x0 时，y1sin x 与 y214x 只有一个交点，设其交点坐标为(x0，y0)，则当 x(0，x0)时，sin x14x，即 2sin x12x，此时，y12x2sin x0 时，可以有f(x)0，也可以有 f(x)2，则 f(x)2x4 的解集为()A(1,1)B(1，)C(，1)D
2、(，)解析 设 m(x)f(x)(2x4)，则 m(x)f(x)20，m(x)在 R 上是增函数m(1)f(1)(24)0，m(x)0 的解集为x|x1，即 f(x)2x4 的解集为(1，)B 3(2011辽宁)已知函数 f(x)ex2xa 有零点，则 a 的取值范围是_解析 函数 f(x)ex2xa 有零点，即方程 ex2xa0有实根，即函数 g(x)2xex，ya 有交点，而 g(x)2ex，易知函数 g(x)2xex 在(，ln 2)上递增，在(ln 2，)上递减，因而 g(x)2xex 的值域为(，2ln 22，所以要使函数 g(x)2xex，ya 有交点，只需 a2ln 22 即可(
3、，2ln 22考点整合 导数为我们解决有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具，导数的应用是高考考查的重点和难点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题，既有基本题也有综合题，综合题主要是考查导数在函数中的应用，知识载体主要是三次函数、指数函数与对数函数主要题型有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)求参数的范围、构造函数利用导数证明不等式以及与函数有关的探索性问题；(3)考查以函数为载体的实际应用题，主要是建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解不等式证明、不等式恒成立、求参数范围以及方程(超越方程)解的个数，图象交点个数问题都可以通
4、过转化成函数最值问题，这类问题比较灵活同时也有难度，是高考考查的热点和难点分类突破 一、利用导数求参数范围例 1 设函数 f(x)ln xpx1.(1)求函数 f(x)的极值点；(2)当 p0 时，若对任意的 x0，恒有 f(x)0，求 p 的取值范围解题导引(1)首先求导，对 p 的取值情况要分类讨论；(2)f(x)0 恒成立，只要满足 f(x)max0.解(1)f(x)ln xpx1，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xp1pxx，当 p0 时，f(x)0，f(x)在(0，)上无极值点；当 p0 时，令 f(x)0，x1p(0，)，f(x)、f(x)随 x 的变化情况如下表：x(0，1
5、p)1p(1p，)f(x)0f(x)单调递增极大值单调递减从上表可以看出，当 p0 时，f(x)有唯一的极大值点 x1p.(2)当 p0 时，f(x)在 x1p处取得极大值 f(1p)ln 1p，此极大值也是最大值要使 f(x)0 恒成立，只需 f(1p)ln 1p0，p1，p 的取值范围是1，)变式训练 1(2010全国)设函数 f(x)x(ex1)ax2.(1)若 a12，求 f(x)的单调区间；(2)若当 x0 时，f(x)0，求 a 的取值范围解(1)a12时，f(x)x(ex1)12x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)当 x(，1)时，f(x)0；当 x(1,0)时，f(x
6、)0.故 f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在(1,0)上单调递减(2)f(x)x(ex1ax)，令 g(x)ex1ax，g(x)exa.若 a1，则当 x(0，)时，g(x)0，g(x)为增函数，而 g(0)0，从而当 x0 时，g(x)0，即 f(x)0.若 a1，则当 x(0，ln a)时，g(x)0，g(x)为减函数，而 g(0)0，从而当 x(0，ln a)时，g(x)0，即 f(x)ln 21 且 x0 时，exx22ax1.(1)解 由 f(x)ex2x2a，xR 知 f(x)ex2，xR.令 f(x)0，得 xln 2.于是当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下
7、表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减极小值单调递增故 f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在 xln 2 处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明 设 g(x)exx22ax1，xR，于是 g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当 aln 21 时，g(x)取最小值为 g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意 xR，都有 g(x)0，所以 g(x)在 R 内单调递增于是当 aln 21 时，对任意 x(0，)，都有 g(x)g(0)而 g(0)0，从而对任意 x(0，
8、)，都有 g(x)0.即 exx22ax10，故 exx22ax1.归纳拓展 利用导数证明不等式的基本思路是：依据要证明的不等式的特点，构造函数，利用导数求函数的单调区间，利用函数的单调性得出不等关系变式训练 2(2010陕西)已知函数 f(x)x，g(x)aln x，aR.(1)若曲线 yf(x)与曲线 yg(x)相交，且在交点处有相同的切线，求 a 的值及该切线的方程；(2)设函数 h(x)f(x)g(x)，当 h(x)存在最小值时，求其最小值(a)的解析式；(3)对(2)中的(a)，证明：当 a(0，)时，(a)1.(1)解 f(x)12 x，g(x)ax(x0)，由已知得 xaln x
9、，12 xax，解得ae2，xe2，两条曲线交点的坐标为(e2，e)切线的斜率为 kf(e2)12e，切线的方程为 ye 12e(xe2)，即 y 12exe2.(2)解 由条件知 h(x)xaln x(x0)，h(x)12 xax x2a2x，当 a0 时，令 h(x)0，解得 x4a2.当 0 x4a2 时，h(x)4a2 时，h(x)0，h(x)在(4a2，)上单调递增x4a2 是 h(x)在(0，)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是 h(x)的最小值点最小值(a)h(4a2)2aaln 4a22a(1ln 2a)当 a0 时，h(x)x2a2x0，h(x)在(0，)上单调递增，无最
10、小值故 h(x)的最小值(a)的解析式为(a)2a(1ln 2a)(a0)(3)证明 由(2)知(a)2a(1ln 2ln a)，则(a)2ln 2a.令(a)0，解得 a12.当 0a0，(a)在(0，12)上单调递增；当 a12时，(a)0，(a)在(12，)上单调递减(a)在 a12处取得极大值(12)1.(a)在(0，)上有且只有一个极值点，(12)1 也是(a)的最大值当 a(0，)时，总有(a)1.三、导数的实际应用例 3(2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为x 米的
11、相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 x)x 万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为 y 万元(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式；(2)当 m640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？解(1)设需新建 n 个桥墩，则(n1)xm，即 nmx1，所以 yf(x)256n(n1)(2 x)x256mx1 mx(2 x)x256x mm x2m256.(2)由(1)知，f(x)256mx2 12 令 f(x)0，得512，所以 x64.当 0 x64 时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当 64x0，f(x)在区间(64,640)内为增
12、函数所以 f(x)在 x64 处取得最小值此时 nmx164064 19.故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小).512(223221xxmmx32x归纳拓展 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点变式训练 3(2011山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803 立方米，且 l2r.假设该容器的建
13、造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c(c3)千元设该容器的建造费用为 y 千元(1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的 r.解(1)设容器的容积为 V，由题意知 Vr2l43r3，又 V803，故 lV43r3r2803r243r43(20r2r)由于 l2r，因此 0r2.所以建造费用 y2rl34r2c2r43(20r2r)34r2c，因此 y4(c2)r2160r，0r2.(2)由(1)得 y8(c2)r160r2 8(c2)r2(r3 20c2),03，所以 c20.当 r
14、3 20c20 时，r320c2.令320c2m，则 m0，所以 y8(c2)r2(rm)(r2rmm2)当 0m92时，当 rm 时，y0；当 r(0，m)时，y0，所以 rm 是函数 y 的极小值点，也是最小值点当 m2，即 3c92时，当 r(0,2)时，y0，函数单调递减，所以 r2 是函数 y 的最小值点综上所述，当 392时，建造费用最小时 r320c2.规范演练 1函数 f(x)x22axa 在区间(，1)上有最小值，则函数 g(x)f(x)x 在区间(1，)上一定()A有最小值B有最大值C是减函数D是增函数解析 由函数 f(x)x22axa 在区间(，1)上有最小值，可得 a
15、的取值范围为 a0，所以 g(x)为增函数D 2若函数 yf(x)在 R 上可导，且满足不等式 xf(x)f(x)恒成立，且常数 a，b 满足 ab，则下列不等式一定成立的是()Aaf(a)bf(b)Baf(a)bf(b)Caf(b)bf(a)解析 令 F(x)xf(x)，则 F(x)xf(x)f(x)，由 xf(x)f(x)，得：xf(x)f(x)0，即 F(x)0，所以 F(x)在 R 上为递增函数因为 ab，所以 af(a)bf(b)A 3若曲线 f(x)ax3ln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数a 的取值范围是_解析 f(x)3ax21x(x0)，若函数存在垂直于 y 轴的切线，
16、即 3ax21x0 有解，a 13x3，x0，13x30，a0.(，0)4函数 f(x)2mcos2x21 的导函数的最大值等于 1，则实数 m 的值为_解析 显然 m0，所以 f(x)2mcos2x21m(2cos2x21)m1mcos xm1，因此 f(x)msin x，其最大值为 1，故有 m1.15(2011福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y ax310(x6)2，其中 3x6，a 为常数已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11千克(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，
17、试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为 x5 时，y11，所以a21011，所以 a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y 2x310(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)2x310(x6)2210(x3)(x6)2,3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值 42单调递减由上表可得，x4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当 x4 时，函数 f(x)取
18、得最大值，且最大值等于 42.答当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大6已知函数 f(x)1xax ln x.(1)当 a1 时，求 f(x)在12，2上的最大值及最小值；(2)当 1x2(x1)；(3)若函数 g(x)f(x)xa在区间(1,2)上不单调，求 a 的取值范围(1)解 当 a1 时，f(x)1xln x1，f(x)1x21xx1x2(x12，2)令 f(x)0，得 x1；f(x)0，得12x0，得 116，f(2)F(1)0.故 F(x)在(1,2)上单调递增，F(x)F(1)0，即(x1)ln x2(x1)(3)解 g(x)f(x)xa1xax ln xxa，g(x)1ax21x1ax2ax1ax2.g(x)在(1,2)上不单调，x2ax10 在(1,2)上有根且无重根，即方程 ax1x在(1,2)上有根且无重根，而 x1x(2，52)，2a52.返回
