1、4 不等式 真题热身1(2011上海)若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22abBab2 abC.1a1b 2abD.baab2解析 a2b22ab(ab)20，A 错误对于 B、C，当 a0，b0，baab2baab2.D 2(2011重庆)已知 a0，b0，ab2，则 y1a4b的最小值是()A.72B4 C.92D5解析 ab2，ab2 1.1a4b(1a4b)(ab2)52(2ab b2a)5222ab b2a92(当且仅当2ab b2a，即 b2a 时，“”成立)，故 y1a4b的最小值为92.C 3(2011天津)设变量 x，y 满足约束条件x1，xy
2、40，x3y40，则目标函数 z3xy 的最大值为()A4 B0C43D4解析 x1，xy40，x3y40表示的平面区域如图所示z3xy 在(2,2)取得最大值zmax3224.D 4(2011浙江)若实数 x，y 满足 x2y2xy1，则 xy 的最大值是_解析 由 x2y2xy1，得 1(xy)2xy，(xy)21xy1(xy)24，解得2 33 xy2 33，xy 的最大值为2 33.2 33考点整合 1不等式的性质(1)同向不等式可以相加，异向不等式可以相减：若 ab，cd，则 acbd(若 ab，cbd)；(2)左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，异向不等式可以相除：若 ab0，c
3、d0，则 acbd(若 ab0,0cbd)；(3)左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若 ab0，则anbn 或n an b；(4)若 ab0，ab，则1a1b；若 abb，则1a1b；(5)a2b22ab(a，bR)；(6)ab2 ab(a，bR)；(7)abba2(a，b 同号)；(8)ab(ab2)2 或 aba2b22(a，bR)；(9)a2b22ab2 ab 21a1b(a，bR)2不等式的解法(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式 ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等
4、式的解集(2)解含参数不等式的难点在于求参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因确定好分类标准、层次清楚地求解3解决线性规划问题的一般步骤(1)确定线性约束条件；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；(5)据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)4不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题(1)恒成立问题若不等式 f(x)A 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上f(x)minA；若不等式 f(x)B 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上f(x)maxA 成立，则等价于在区间 D 上 f(x)maxA；若在区间 D 上存在实数
5、x 使不等式 f(x)B 成立，则等价于在区间 D 上 f(x)minA 在区间 D 上恰成立，则等价于不等式 f(x)A的解集为 D；若不等式 f(x)B 在区间 D 上恰成立，则等价于不等式 f(x)2，y2；命题 B：xy4，xy4.则命题 A 是命题 B 的_条件(2)(2010安徽)若 a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的 a，b 恒成立的是_(写出所有正确命题的编号)ab1；a b 2；a2b22；a3b33；1a1b2.解析(1)x20y20 xy4，xy4.(不等式的性质)反之不然如：当x6，y1 时，有 xy6174，xy64，但 x2，y2，且 y2 不成立所以
6、 A 是 B 的充分不必要条件(2)ab(ab2)21，成立欲证 a b 2，即证 ab2 ab2，即 2 ab0，显然不成立欲证 a2b2(ab)22ab2，即证 42ab2，即 ab1，由知成立a3b3(ab)(a2abb2)3a2abb232(ab)23ab324323abab56，由知，ab56不恒成立欲证1a1b2，即证abab 2，即 ab1，由知成立答案(1)充分不必要(2)归纳拓展 在算术平均数与几何平均数不等式求最值时，一定要紧扣“一正，二定，三相等”这三个条件，即每个项都是正值，和或积是定值，所有的项能同时相等；而“二定”这个条件是对不等式进行拆分、组合、添加系数等处理，使
7、之可用基本不等式来解决如果要多次使用基本不等式求最值，必须保持每次取“”的一致性变式训练 1(1)命题 A：a0，b0；命题 B：ab0，ab0.则 A 是 B的_条件(2)(2010浙江)若正实数 x，y 满足 2xy6xy，则 xy 的最小值是_解析(1)若 a0 且 b0，由实数的性质可知，ab0，且 ab0；若 ab0a，b 同号，又 ab0a，b 同正，即 a0，b0.所以命题 A 是命题 B 的充要条件(2)x0，y0,2xy6xy，2 2 xy6xy，即 xy2 2 xy60，解得 xy18.充要18 二、简单的线性规划问题例 2 设 x，y 满足约束条件3xy60，xy20，x
8、0，y0，若目标函数 zaxby(a0，b0)的最大值为 12，则2a3b的最小值为()A.256B.83 C.113 D4解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线 axbyz(a0，b0)过直线 xy20 与直线 3xy60的交点(4,6)时，目标函数 zaxby(a0，b0)取得最大值 12，即 4a6b12，即 2a3b6，而2a3b(2a3b)2a3b6136(baab)136 2256，故选 A.答案 A归纳拓展 求解在线性约束条件下目标函数的最大值或最小值，一般要作出线性约束条件对应的平面区域若平面区域是一个封闭图形，那么目标函数一般在两直线的交点处取得最值因此，对于一些
9、简单的选择题或者填空题可以求出各直线的交点，逐个进行验证变式训练 2(1)(2011重庆)设 m，k 为整数，方程 mx2kx20 在区间(0,1)内有两个不同的根，则 mk 的最小值为()A8 B8 C12 D13(2)设 x、y 满足约束条件x0，yx，4x3y12，则2y3x1 的最大值是_解析(1)方程 mx2kx20 在区间(0,1)内有两个不同的根可转化为二次函数 f(x)mx2kx2 在区间(0,1)上有两个不同的零点 f(0)2，故需满足k28m0，0 k2m0，f(1)0k28m，m0，0k0，将 k 看做函数值，m 看做自变量，画出可行域如图阴影部分所示，因为 m，k 均为
10、整数，结合可行域可知 k7，m6 时，mk 最小，最小值为 13.(2)不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，2y3x1 2y32x1，令 ky32x1，k 表示阴影部分内的点(x，y)与点(1，32)连线的斜率显然点(0,4)与(1，32)连线的斜率最大，即 kmax4321，所以(2y3x1)max2(432)835.三、不等式的解法例 3(1)不等式 x5(x1)22 的解集是()A3，12 B12，3C12，1)(1,3 D12，1)(1,3(2)解关于 x 的不等式：ax2(a1)x10.(1)解析 x5(x1)22x52(x1)2x102x25x30 x1 解得12x3 且 x1
11、，解集为12，1)(1,3选 D.D(2)解 由已知可知原不等式的解与 a 的取值有关若 a0，则原不等式x11；若 a0 x1；若 a0，则原不等式(x1)(x1a)0，对应方程(x1)(x1a)0 的两根分别为 x11，x21a.故()当 0a1 时，(x1)(x1a)01x1a；()当 a1 时，(x1)(x1a)0(x1)21 时，(x1)(x1a)01ax1.综上所述：当 a0 时，解集为x|x1；当 a0 时，解集为x|x1；当 0a1 时，解集为x|1x1 时，解集为x|1ax1归纳拓展 在解不等式的过程中充分运用不等式的性质及相关知识，把原不等式等价转化为易解的不等式对不等式变
12、形时，要注意不等式的同解性，即注意保持字母在允许值范围不发生变化，解含参数不等式时，注意对参数分类讨论，做到不重不漏变式训练 3 已知二次函数 f(x)ax2x，若对任意 x1、x2R，恒有 2fx1x22f(x1)f(x2)成立，不等式 f(x)0 的解集为 A.(1)求集合 A；(2)设集合 Bx|x4|0.所以 f(x)ax2xaxx1a 0.解得 A1a，0.(2)Bx|x4|0，a 的取值范围为 00，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则1x 13y的最小值是()A2 B2 2C4 D2 3解析 据已知得：2x8y2x3y1，故1x 13y(1x 13y)(x3y)23yx x3y
13、223yx x3y4，当且仅当3yx x3y时取等号C 2若 x，y 满足约束条件xy1，xy1，2xy2，目标函数 zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，则 a 的取值范围是()A(1,2)B(4,2)C(4,0 D(2,4)解析 作出可行域如图所示，直线 ax2yz 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知1a22，即4a0，xx23x1a 恒成立，则 a 的取值范围是_解析 axx23x11x1x3对任意 x0 恒成立，设 ux1x3，只需 a1u恒成立即可x0，u5(当且仅当 x1 时取等号)由 u5 知 00，直线 b2xy10 与 ax(b24)y20 互相垂直，则 ab 的最小
14、值为_解析 k1b2，k2ab24，k1k2 ab2b241，ab2b24，abb4b2 44(b2 时取等号)4 5已知函数 f(x)13ax314x2cxd(a，c，dR)满足 f(0)0，f(1)0，且 f(x)0 在 R 上恒成立(1)求 a，c，d 的值；(2)若 h(x)34x2bxb214，解不等式 f(x)h(x)0，(12)24a(12a)0，即a0，a212a 1160，即a0，(a14)20，解得：a14，c14.(2)ac14.f(x)14x212x14.f(x)h(x)0，即14x212x1434x2bxb2140，即 x2(b12)xb20，即(xb)(x12)12
15、时，解集为(12，b)，当 b0)(1)将该厂日盈利额 T(元)表示为日产量 n(件)的函数；(2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？(31.73)解(1)由题意可知 p2100n(1n98，nN*)，日产量 n 件中，正品(npn)件，日盈利额 T(n)a(npn)a2pna(n3n100n)(1n98，nN*)(2)T(n)a 3n 300100n(a0)103(100n)300100n1032 30068.4，当且仅当 100n 300100n，即 n10010 3时等号成立，而nN*，且T(82)aT(83)a，故 n83 时Ta取最大值，即日产量为83 件时，T 取最大值返回
