1、2015年山东省青岛市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题每小题5分，共50分）1（5分）已知=1bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|abi|=（） A 3 B 2 C 5 D 【考点】： 复数求模【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 通过复数的相等求出a、b，然后求解复数的模【解析】： 解：=1bi，可得a=1+b+（1b）i，因为a，b是实数，所以，解得a=2，b=1所以|abi|=|2i|=故选：D【点评】： 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力2（5分）已知集合M=x|y=lg（2xx2），N=x|x2+y2=1，则MN=（） A 1，
2、2） B （0，1） C （0，1 D 【考点】： 交集及其运算【专题】： 集合【分析】： 求出M中x的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可【解析】： 解：由M中y=lg（2xx2），得到2xx20，即x（x2）0，解得：0x2，即M=（0，2），由N中x2+y2=1，得到1x1，即N=1，1，则MN=（0，1，故选：C【点评】： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3（5分）高三（3）班共有学生56人，座号分别为1，2，3，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是
3、（） A 30 B 31 C 32 D 33【考点】： 系统抽样方法【专题】： 概率与统计【分析】： 根据系统抽样的定义确定样本间隔即可【解析】： 解：样本间隔为564=14，则另外一个号码为14+17=31，故选：B【点评】： 本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔是解决本题的关键4（5分）已知函数，则使f（x）=2的x的集合是（） A B 1，4 C D 【考点】： 分段函数的应用【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 利用分段函数通过f（x）=2求出x的值即可【解析】： 解：函数，当x0时，2x=2，可得x=1（舍去）当x0时，|log2x|=2，即log2x=2，解得x=4，
4、或x=使f（x）=2的x的集合是故选：A【点评】： 本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力5（5分）已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2如图是一个算法的程序框图，当输入的值为25时，则输出的结果为（） A 4 B 5 C 6 D 7【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序框图，根据题意，依次计算MOD（n，i）的值，当i=5，MOD（25，5）=0，满足条件MOD（25，2）=0，退出循环，输出i的值为5【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得：n=25，i=2，MOD（25
5、，2）=1，不满足条件MOD（25，2）=0，i=3，MOD（25，3）=1，不满足条件MOD（25，3）=0，i=4，MOD（25，4）=1，不满足条件MOD（25，4）=0，i=5，MOD（25，5）=0，满足条件MOD（25，2）=0，退出循环，输出i的值为5故选：B【点评】： 本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的MOD（n，i）的值是解题的关键，属于基础题6（5分）设x，y满足约束条件，则下列不等式恒成立的是（） A x3 B y4 C x+2y80 D 2xy+10【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，利
6、用线性规划的知识进行判断即可【解析】： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：则C（2，3），B（2，5），则x3，y4不成立，作出直线x+2y8=0，和2xy+1=0，由图象可知2xy+10不成立，恒成立的是x+2y80，故选：C【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键7（5分）“a2”是“函数f（x）=|xa|在1，+）上单调递增”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 简易逻辑【分析】： 从两个方向去判断，先看“a2”能否得到“函数f（x）=|xa|在1，+）
7、上单调递增”：这个容易判断能得到；再看“函数f（x）=|xa|在1，+）上单调递增”能否得到“a2”：根据f（x）解析式知道f（x）在a，+）上单调递增，从而a1，并得不到a2，综合以上情况即可得出答案【解析】： 解：（1）若a2，x1，+）时，f（x）=xa；此时f（x）在1，+）上单调递增；“a2”是“函数f（x）=|xa|在1，+）上单调递增”的充分条件；（2）若“函数f（x）=|xa|在1，+）上单调递增”，则：xa在1，+）上恒成立；1a；即a1；得不到a2；“a2”不是“函数f（x）=|xa|在1，+）上单调递增”的必要条件；综上得“a2”是“函数f（x）=|xa|在1，+）上单调
8、递增”的充分不必要条件故选A【点评】： 考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值，比如本题中f（x）=，一次函数的单调性，以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念8（5分）将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（） A 18种 B 24种 C 36种 D 72种【考点】： 相互独立事件的概率乘法公式【专题】： 概率与统计【分析】： 把甲、乙两名员工看做一个整体，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有 种方法，再把这3部分人分到3个为车间，有种方法，根据分步计数原理，求得不同分法的种数【解析】： 解：把甲、乙两名员工看做一个整体，5
9、个人变成了4个，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有 种方法，再把这3部分人分到3个为车间，有种方法，根据分步计数原理，不同分法的种数为=36，故选：C【点评】： 本题考查的是分类计数问题问题，把计数问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题，属于基础题9（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x），当时，f（x）=log2（x+1），则f（x）在区间内是（） A 减函数且f（x）0 B 减函数且f（x）0 C 增函数且f（x）0 D 增函数且f（x）0【考点】： 函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明【专
10、题】： 函数的性质及应用【分析】： 令x，利用已知表达式及函数的奇偶性知f（x）=log2x，从而可得答案【解析】： 解：设x，则x1，根据题意，f（x）=f（x+1）=f（x1）=log2（x1+1）=log2x，故选：B【点评】： 本题考查了函数奇偶性的性质，属于基础题10（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，过F作斜率为1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若OFP的面积为，则该双曲线的离心率为（） A B C D 【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 先设F点坐标，然后根据点斜式写出直线l方程，再与双曲线的渐近
11、线联立，求出第一象限中的点P，根据三角形面积，求出a与b的关系，进而求出离心率【解析】： 解：设右焦点F（c，0），则过F且斜率为1的直线l方程为y=cx直线l交双曲线的渐近线于点P，且点P在第一象限为解得P（，）OFP的面积为，c=整理得a=3b该双曲线的离心率为=故答案为：C【点评】： 本题考查了双曲线的一些性质，离心率、焦点坐标等，同时考查了直线方程和三角形面积公式三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11（5分）已知不共线的平面向量，满足，那么|=2【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 平面向量及应用【分析】： 根据向量的坐标即可求得，而根据即可得到，从而得到，这样便
12、可求出答案【解析】： 解：；故答案为：【点评】： 考查根据向量的坐标求向量的长度的公式，两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的运算12（5分）某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N（110，102），已知P（100X110）=0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有8人【考点】： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】： 应用题；概率与统计【分析】： 根据考试的成绩服从正态分布N（110，102）得到考试的成绩关于=110对称，根据P（100110）=0.34，得到P（120）=0.16，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数【解析】： 解：考试的成绩服从正态分
13、布N（110，102）考试的成绩关于=110对称，P（100110）=0.34，P（120）=P（100）=（10.342）=0.16，该班数学成绩在120分以上的人数为0.1650=8故答案为：8【点评】： 本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关于=110对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解13（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是32；【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 根据几何体的三视图，得三棱锥的底面边长与对应的高，求出它的体积【解析】： 解：根据几何体的三视图，得；该几何体
14、是底面边长为8，该边上的高为6的三棱锥，且三棱锥的高为4；该三棱锥的体积为V三棱锥=864=32故答案为：32【点评】： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目14（5分）若函数f（x）=Asin（的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为；【考点】： 定积分【专题】： 导数的概念及应用【分析】： 由图象求出函数解析式，然后利用定积分求得图中阴影部分的面积【解析】： 解：由图可知，A=1，T=2，=1，则，图中的阴影部分的面积为=cos（）cos（）=1故答案为：【点评】： 本题考查了利用y=Asin（x+）的部分图象求函数的解析式，考查了定积
15、分的求法，是基础的计算题15（5分）若不等式2y2x2c（x2xy）对任意满足xy0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为【考点】： 函数的最值及其几何意义【专题】： 计算题；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】： 不等式x22y2cx（yx）对任意满足xy0的实数x、y恒成立，变形为c=，令=t可得c=f（t），利用导数研究函数f（t）的单调性极值与最值即可得出【解析】： 解：不等式2y2x2c（x2xy）对任意满足xy0的实数x、y恒成立，c=，令=t1，c=f（t），令f（t）=，则f（t）=，当t2+时，f（t）0，函数f（t）单调递增；当1t2+时，f（t）0，函数f（t）单调
16、递减；当t=2+时，f（t）取得最小值，f（2+）=24实数c的最大值为24故答案为：24【点评】： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、简答题（本大题共6小题，共75分）16（12分）已知向量，实数k为大于零的常数，函数f（x）=，xR，且函数f（x）的最大值为（）求k的值；（）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若A，f（A）=0，且a=2，求的最小值【考点】： 余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数【专题】： 解三角形；平面向量及应用【分析】： （）通过斜率的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析
17、式，然后通过解函数的最大值，求k的值；（）利用f（A）=0，得到A的值，然后利用余弦定理通过a=2得到bc范围，然后求的最小值【解析】： （本小题满分12分）解：（）由已知=（2分）=（5分）因为xR，所以f（x）的最大值为，则k=1（6分）（）由（）知，所以化简得因为，所以则，解得（8分）因为，所以则，所以（10分）则所以的最小值为（12分）【点评】： 本题考查斜率的数量积，余弦定理的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力17（12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度不超过22公里的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里已知
18、甲、乙乘车不超过6公里的概率分别为，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为，（）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望【考点】： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】： 概率与统计【分析】： （）求出甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为，求出甲、乙两人所付乘车费用相同的概率，即可求解甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率（）求出=6，7，8，9，10，求出概率，得到的分布列，然后求解期望即可【解析】： （本小题满分12分）解：（）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分
19、别为，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率（2分）所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率（4分）（）由题意可知，=6，7，8，9，10则（10分）所以的分布列为则（12分）【点评】： 本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，考查计算能力18（12分）如图，在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，A1B1=a，AB=2a，AA1=a，E、F分别是AD、AB的中点（）求证：平面EFB1D1平面BDC1；（）求二面角DBC1C的余弦值的大小注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台【考点】：
20、二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【专题】： 空间位置关系与距离；空间角【分析】： （）连接A1C1，AC，分别交B1D1，EF，BD于M，N，P，连接MN，C1P，证明BD平面EFB1D1，PC1平面EFB1D1，然后证明平面EFB1D1平面BDC1（）连接A1N，证明PMA1N，A1NAN，得到ACBD，以PA，PB，PM分别为x，y，z轴建立如图所示的坐标系，求出相关点的坐标，平面BDC1的法向量，平面BCC1的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角DBC1C的余弦值的大小【解析】： （本小题满分12分）证明：（）连接A1C1，AC，分别交B1D1，EF，BD于M，N，P，连接M
21、N，C1P由题意，BDB1D1因为BD平面EFB1D1，B1D1平面EFB1D1，所以BD平面EFB1D1（2分）又因为A1B1=a，AB=2a，所以，又因为E、F分别是AD、AB的中点，所以，所以MC1=NP，又因为ACA1C1，所以MC1NP，所以四边形MC1PN为平行四边形，所以PC1MN，因为PC1平面EFB1D1，MN平面EFB1D1，所以PC1平面EFB1D1，因为PC1BD=P，所以平面EFB1D1平面BDC1（5分）（）连接A1N，因为A1M=MC1=NP，又A1MNP，所以四边形A1NPM为平行四边形，所以PMA1N，由题意MP平面ABCD，A1N平面ABCD，A1NAN，因
22、为A1B1=a，AB=2a，所以，因为ABCD为正方形，所以ACBD，所以，以PA，PB，PM分别为x，y，z轴建立如图所示的坐标系：则，所以，（7分）设是平面BDC1的法向量，则，y1=0，令z1=1，则，所以（9分）设是平面BCC1的法向量，则，令y2=1，则x2=1，所以（11分）所以所以二面角DBC1C的余弦值的大小为（12分）【点评】： 本题考查平面与平面平行的判定定理的证明，二面角的求法考查空间想象能力以及计算能力19（12分）设an是等差数列，bn是各项都为正整数的等比数列，且a1=b1=1，a13b2=50，a8+b2=a3+a4+5，nN*（）求an，bn的通项公式；（）若数
23、列dn满足（nN*），且d1=16，试求dn的通项公式及其前n项和Sn【考点】： 等差数列与等比数列的综合；数列的求和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （）设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q0，利用a13b2=50，a8+b2=a3+a4+5，列出方程组，求解公差与公比，然后求解通项公式（）利用关系式推出，得到dn是奇数项与偶数项分别是等比数列；求出通项公式，然后求解前n项和Sn【解析】： （本小题满分12分）解：（）设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q0，且，即解得：，或，由于bn是各项都为正整数的等比数列，所以（2分）从而an=1+（n1）d=2n1， （4分
24、）（）log2bn+1=n，两式相除：，由d1=16，得：d2=8d1，d3，d5，是以d1=16为首项，以为公比的等比数列；d2，d4，d6，是以d2=8为首项，以为公比的等比数列 （6分）当n为偶数时，（7分）Sn=（d1+d3+dn1）+（d2+d4+dn）=（9分）当n为奇数时，（10分）Sn=（d1+d3+dn）+（d2+d4+dn1）n为奇数n为偶数n为奇数n为偶数Sn=，（12分）【点评】： 本题考查等差数列与等比数列的求和，递推关系式的应用，考查数列的函数特征，考查计算能力20（13分）已知抛物线C1：y2=2px（p0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在
25、圆C：x2+y2=9上（）求抛物线C1的方程；（）已知椭圆C2：=1（mn0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，若椭圆C2上存在关于直线l：y=对称的两个不同的点，求椭圆C2的离心率e的取值范围【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （）设点G的坐标为（x0，y0），利用已知条件列出x0，y0，p的方程组，然后求解抛物线方程（）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆C2上关于直线l：对称的两点，设出MN：y=4x+联立直线与椭圆方程，利用0，得到不等关系式，结合韦达定理求出中点坐标，纠错m的范围，然后求解离心率的范围【解析】：
26、 （本小题满分13分）解：（）设点G的坐标为（x0，y0），由题意可知（2分）解得：，所以抛物线C1的方程为：y2=8x（4分）（）由（）得抛物线C1的焦点F（2，0）椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合椭圆C2半焦距c=2，m2n2=c2=4（5分）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆C2上关于直线l：对称的两点，MN：y=4x+由（16m2+n2）x28m2x+m22m2n2=0（*）则=64m424（16m2+n2）（m22m2n2）0，得：16m2+n220（7分）对于（*），由韦达定理得：MN中点Q的坐标为将其代入直线l：得：（9分）由消去，可得：，椭圆C2的离心率，（13
27、分）【点评】： 本题考查直线与圆锥曲线方程的综合应用，椭圆的离心率的范围的求法，考查分析问题解决问题的能力21（14分）已知函数f（x）=1（a为实数）（）当a=1时，求函数f（x）的图象在点处的切线方程；（）设函数h（a）=3a2a2（其中为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，且存在a满足h（a）+，求的取值范围；（）已知nN*，求证：ln（n+1）1+【考点】： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】： 导数的综合应用【分析】： （）化简函数的解析式，求出函数的导数，利用切线方程的求法，求出斜率切点坐标求解即可（）通
28、过f（x）=0求出极值点x=a，利用函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，得到a的范围，然后转化条件为h（a）max，当0或时，当时，当时，分别求解h（a）max，推出的范围（）当a=1时，求出函数的导数：，当x（0，1）时，当（1，+）时，利用函数的单调性求出最大值，推出，令，推出，然后利用累加法推出结果【解析】： （本小题满分14分）解：（）当a=1时，则，函数f（x）的图象在点的切线方程为：，即2xy+ln22=0（4分）（），由f（x）=0x=a由于函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，所以a0或a2（5分）由于存在a满足h（a），所以h（a）max（6分）对于函数h（a）=3
29、a2a2，对称轴当或，即0或时，由h（a）max，结合0或可得：或当，即时，h（a）max=h（0）=0，由h（a）max，结合可知：不存在；当，即时，h（a）max=h（2）=68；由h（a）max，结合可知：综上可知：或（9分）（）当a=1时，当x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递增；当（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递减，在x=1处取得最大值f（1）=0即，（11分）令，则，即，ln（n+1）=ln（n+1）ln1=ln（n+1）lnn+lnnln（n1）+（ln2ln1）故 （14分）【点评】： 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及数列与函数的关系，考查导数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力
