1、2020年高考数学模拟试卷一、选择题.1.集合的非空真子集的个数为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】画出函数和的图象，根据图象知集合有3个元素，得到答案.【详解】画出函数和的图象，根据图象知集合有3个元素，故集合的非空真子集的个数为.故选：.【点睛】本题考查了真子集个数，方程的解，画出函数图象是解题的关键.2.复数满足，则对应点的轨迹为（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】B【解析】【分析】设复数，根据椭圆定义直接得到答案.【详解】设复数，则，根据椭圆定义知对应点的轨迹为椭圆.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的轨迹方程，意在考查学生对于椭圆基础知识
2、的理解.3.展开式中的常数项为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将二项式表示为，得出其通项，令的指数为零，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出展开式中的常数项.【详解】，展开式通项为，令，得，因此，二项式展开式中的常数项为，故选A.【点睛】本题考查二项式展开式中指定项系数的计算，解题的关键就是写出二项展开式的通项，根据指数求出参数的值，进而求解，考查计算能力，属于中等题.4.1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动
3、物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某种病毒细胞的总数和天数的函数关系为：，且该种病毒细胞的个数超过时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为（ ）天（）A. 25B. 26C. 27D. 28【答案】C【解析】【分析】计算，得到，得到答案.【详解】取，故，即，故该种病毒细胞实验最多进行的天数为.故选：.【点睛】本题考查了指数函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f（x）的图
4、象大致是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据奇偶性的判断可知f（x）为偶函数，排除A，再通过x1进行特值判断即可得解.【详解】函数的定义域为x|x1，f（x）f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，当x1时，f（x）0恒成立，排除B，D，故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的判断，有如下几个方法：（1）根据奇偶性判断；（2）根据特值判断；（3）根据单调性和趋势判断.6.当时，关于的不等式的解集是，则取得最值的充分条件是（ ）A. 有最大值，B. 有最小值，C. 有最大值，D. 有最小值，【答案】C【解析】【分析】计算得到，计算，根据充分条件的定义
5、得到答案.【详解】不等式的解集是，故，.，当，即时等号成立，根据充分条件的定义知满足.故选：.【点睛】本题考查了充分条件，不等式的解，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7.若有零点，值域为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数零点和值域得到，解得答案.【详解】，则，有零点，值域为，故，解得.故选：.【点睛】本题考查了三角函数值域和零点问题，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.8.已知数列首项，函数为奇函数，记为数列的前项之和，则的值是（ ）A. B. 1011C. 1008D. 336【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性得到，计算知
6、以6为周期循环，计算得到答案.【详解】函数为奇函数，则，即，周期为.，.解得，以6为周期循环.故.故选：.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，数列求和，确定以6为周期循环是解题的关键.二、多项选择题本题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（ ）A. 若随机变量，则B. 若，则C. 已知回归直线方程为，且，则D. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22【答案】AC【解析】
7、【分析】根据正态分布对称性知正确，计算，错误，将代入回归直线，计算得到正确，讨论三种情况得到可能数据的和为，错误，得到答案.【详解】随机变量，则，正确；，则，故，错误；将代入回归直线，计算得到，正确；设丢失的数据为，则平均数为，众数为，当时，中位数为，故，；当时，中位数为，则，；当时，中位数为，故，；故可能数据的和为，错误；故选：.【点睛】本题考查了正态分布，二项分布，回归方程，中位数，平均数，众数，意在考查学生的综合应用能力.10.设抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，直线与抛物线相交于两点，点，下列结论正确的是（ ）A. 抛物线的方程为B. 的最小值为6C. 存在直线，使得、两点关于
8、对称D. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切【答案】BD【解析】【分析】根据得到故，错误，正确，计算中点在抛物线上，错误，计算，正确，得到答案.详解】，故，故，错误；过作垂直于准线于，则，当共线时等号成立，故正确；设，设中点则，相减得到，即，故，故，点在抛物线上，不成立，故不存在，错误；如图所示：为中点，故，故为直径的圆与轴相切，故正确；故选：.【点睛】本题考查了抛物线方程，最值，对称，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力，综合应用能力.11.在长方体中，分别是上的动点，下列结论正确的是（ ）A. 对于任意给定的点，存在点使得B. 对于任意给定的点，存在点使得C. 当时，D.
9、 当时，平面【答案】ABD【解析】【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算，得到答案.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设， 设，得到，.，当时，正确；，取时，正确；，则，此时，错误；，则，设平面的法向量为，则，解得，故，故平面，正确.故选：.【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.12.新型冠状病毒属于属的冠状病毒，有包膜，颗粒常为多形性，其中包含着结构为数学模型的，人体肺部结构中包含，的结构，新型冠状病毒肺炎是由它们复合而成的，表现为.则下列结论正确的是（ ）A. 若，则为周期函数B. 对于，的最小值为C. 若在区间上是增函数，则D
10、. 若，满足，则【答案】ABD【解析】【分析】计算得到或正确，设，在上单调递增，在上单调递减，计算得到正确，化简即恒成立，计算故，错误，三角恒等变换知正确，得到答案.【详解】，则，代换整理得到：，若，则为周期函数；若，则，则为周期函数，正确；设，故，设，故，故单调递减，且，故存在使.在上单调递增，在上单调递减，当时，故，正确；在区间上增函数，则，即恒成立，设，则，故在上单调递增，故在上单调递减，故，错误； D. 若，满足，则，其中.，即函数关于对称，故，即，故正确；故选：.【点睛】本题考查了函数周期，最值，对称，单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，
11、共20分.13.已知椭圆的左右焦点分别为，且，若在椭圆上存在点，使得过点可作以为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范围为_.【答案】【解析】【分析】如图所示，根据题意知为正方形，故，解得答案.【详解】如图所示，根据题意知：为正方形，故，故，故，解得，又，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了椭圆离心率的范围，意在考查学生的计算能力和转化能力.14.已知是的外心，且，若，则_.【答案】【解析】【分析】计算，得到方程组，解得答案.【详解】，同理.，故，解得，故.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的应用，计算，是解题的关键，意在考查学生的计算能力和应用能力.15.已知三棱锥的顶点都在球的球
12、面上，且该三棱锥的体积为，平面，则球的体积的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据体积公式得到，根据余弦定理得到，根据正弦定理得到，根据得到，计算得到答案.【详解】，故.根据余弦定理：，即，当时等号成立.设外接圆半径为，故，即.设球的半径为，球心在平面的投影为外心，则，.故答案为：.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.16.设双曲线的左右两个焦点分别为、，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则点的轨迹曲线的方程_；在曲线上，点，则的最小值_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】延长与的延长线交于点，计算得到轨迹方程，取点，解得
13、答案.【详解】如图所示：延长与的延长线交于点，则，故轨迹方程为.取点，则，故，当共线时等号成立.故答案为：；【点睛】本题考查了轨迹方程，长度的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，取点证明相似是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的内角的对应边分别为，在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当_时，求的最大值.【答案】见解析【解析】【分析】根据正弦定理或余弦定理计算得到，再计算，得到最值.【详解】若选，则由正弦定理，若选，则由正弦定理知：，若选，则有正弦定理知，由余弦定理知：，所以当时，的最大值是.【点睛】本题考查了正弦定理
14、，余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.数列的前项和为，且满足，（1）设，求证：数列是等比数列；（2）设，求的最小值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）整理化简得到，化简得到，得到证明.（2）计算，根据题意，解得答案.【详解】（1），当时，易知，令，则，上式可化为是以为首项，公比为的等比数列，（2），设第项最小，.所以当或时，最小值为.【点睛】本题考查了等比数列的证明，数列的最值，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19.在三棱锥，中，平面，为的中点，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置并
15、给出证明，若不存在，说明理由；（3）若，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点为上的靠近的四等分点；（3）.【解析】【分析】（1）先证明平面，再利用面面垂直的判定定理得到结论；（2）取点为上的靠近的四等分点即，平面，利用面面平行，判断出线面平行，判断出结论成立；（3）根据题意，作于，过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，平面的法向量为，求出平面的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，求出角详解】解：（1）由平面，平面，故，由，平面，所以平面，平面，故平面平面；（2）存在点为上靠近的四等分点即，平面，证明如下：取的中点，连接，则，因为平面，平面，所以平面，又，平面
16、，所以平面平面，又平面，所以平面；（3）作于，过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由，得，故，设平面的法向量为，由，得，平面的法向量为，由，因为二面角为钝角，故所求二面角为.【点睛】考查线面，面面平行于垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和数学运算能力，属于中档题20.“未来肯定是非接触的，无感支付的方式将成为主流，这有助于降低交互门槛”.云从科技联合创始人姚志强告诉南方日报记者.相对于主流支付方式二维码支付，刷脸支付更加便利，以前出门一部手机解决所有，而现在连手机都不需要了，毕竟，手机支付还需要携带手机，打开二维码也需要时间和手机信号.刷脸支付
17、将会替代手机，成为新的支付方式.某地从大型超市门口随机抽取50名顾客进行了调查，得到了如表列联表：（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为使用刷脸支付与性别有关？（2）从参加调查且使用刷脸支付的顾客中随机抽取2人参加抽奖活动，抽奖活动规则如下：“一等奖”中奖概率为0.25，奖品为10元购物券张（，且），“二等奖”中奖概率0.25，奖品为10元购物券两张，“三等奖”中奖概率0.5，奖品为10元购物券一张，每位顾客是否中奖相互独立，记参与抽奖的两位顾客中奖购物券金额总和为元，若要使的均值不低于50元，求的最小值.附：，其中.【答案】（1）列联表见解析，没有把握；（2）6.【解析】【分
18、析】（1）由列联表求出，没有的把握认为使用刷脸支付与性别有关（2）由题意知的可能取值为，40，30，20，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列、数学期望，进而能求出的最小值【详解】解：（1）补充列联表，男性女性总计刷脸支付18725非刷脸支付121325总计302050所以，没有的把握认为使用刷脸支付与性别有关.（2）由题意知的可能取值为，40，30，20， 分布列为： 40 30 20 ，由，解得，的最小值为6.【点睛】本题考查独立性检验的应用，考查实数值的最小值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题21.已知动圆与轴相切于点，过点
19、，分别作动圆异于轴的两切线，设两切线相交于，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的轨迹方程；（2）过的直线与曲线相交于不同两点，若曲线上存在点，使得成立，求实数的范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设过点、与动圆相切的切点分别为，计算得到，得到答案.（2）设直线的方程为，联立方程得到，计算，代入椭圆方程计算得到答案.【详解】（1）设过点、与动圆相切的切点分别为，则，故，由、的坐标可知，由椭圆的定义可知，点是以、为焦点，长轴长为4的椭圆（不包括长轴端点）.设曲线的方程为：，即，故曲线的轨迹方程为（2）由题可知直线的斜率存在，设直线的方程为，由消得，且，设，则，当时，直线为轴，满足.当，时，
20、代入椭圆方程得，化简得，且，且，综上可得的取值范围为：.【点睛】本题考查了轨迹方程，根据直线和椭圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22.函数，（1）判断时，的零点个数，并加以说明；（2）正项数列满足，判断数列的单调性并加以证明.证明：【答案】（1）0个，说明见解析（2）数列为减数列，证明见解析 证明见解析【解析】【分析】（1）计算，设，确定函数单调递增，得到零点个数.（2）化简得到，则只需证，根据（1）知成立；只要证，即证即，设，求导得到单调性得到证明.【详解】（1）当时，在是增函数.，零点个数为0个（2）数列为减数列，证明如下：，要证为减数列，只需证，只需证，由，即，由（1）可知成立，要证明：，由，只需证，只要证，由于，此时成立.所以即证，即，即，令，故在递增，于是成立，所以原不等式成立.【点睛】本题考查了函数零点问题，数列的单调性，证明数列不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
